KH2PO4晶体已加工表面频率特征对亚表层温度场的影响

束梓豪 庞启龙 况良杰

1.南京林业大学机械电子工程学院，南京，2100372.上海市质量监督检验技术研究院，上海，200000

0 引言

KH2PO4(KDP)是一种具有优越性能的电光非线性光学晶体，作为重要的光学元件广泛运用于高功率激光系统、惯性约束核聚变等领域[1-6]。当超过KDP晶体的激光损伤阈值后，可能会出现一系列光学损伤现象，如烧蚀、熔融和热损伤等，甚至直接造成晶体的破坏[7-9]。通常认为，KDP晶体的光学损伤阈值受晶体亚表层结构和成分的影响，例如点缺陷、位错以及晶体内的杂质如金属离子、有机物、培育晶体的环境和籽晶等[10-15]。近年来，研究人员发现表面形貌特征也会对KDP晶体的光学损伤阈值产生一定的影响，如超精密单点金刚石飞刀切削加工的KDP晶体表面上所存在的沿切割方向的中频波纹度误差会引起晶体折射率畸变和相位失配，导致其激光损伤阈值降低[16-21]。

准确提取已加工表面的形貌特征有利于进一步分析其对材料性能的影响。目前，常用的表面形貌分析方法有功率谱密度、分形方法和小波方法等。PRABHAKAR等[22]通过傅里叶变换和离散小波变换测量了铣削部件的表面粗糙度。石爱娟等[23]采用小波分析了经磨削加工后的复杂表面。王贵林[24]采用功率谱密度方法分析了经超精密车削加工后的KDP晶体的加工特征和误差形态。CHENG等[25]利用傅里叶膜法研究了经过单点金刚石飞切后KDP晶体表面不同形状的划痕对激光损伤阈值的影响。国内外研究者发现已加工表面的形貌特征对其光学性能的影响的主要因素有表面频率、表面划痕和表面裂纹等。陈明君等[26]研究了经过单点金刚石铣削后KDP晶体表面的小尺度波纹对晶体能量透过率和抗激光损伤性的影响，发现小尺度波纹波长对衍射效率的影响稳定，但幅值对光强分布有较大的调制作用，导致吸收和反射效应增强。任寰等[27]研究了高功率激光系统的表面划痕型缺陷对其光场质量的影响，发现随着划痕长度、宽度和深度的增加，元件亚表层以及传输光场的峰值强度和对比度均会增强，光束近场的光强对比度也会略微增大。YANG等[28]进行激光损伤试验，并观察了KDP晶体表面的激光损伤形貌，发现KDP晶体表面的横向裂纹是导致KDP晶体激光损伤的主要原因。CHENG等[29]研究了KDP晶体光学材料的微铣削修复过程中表面残留刀痕对其光学性能的影响，发现光强度取决于刀痕的周期和残留高度。LIU等[30]分析了微球头铣削过程中刀痕的周期和剩余高度对KDP光学元件内部光增强的影响，发现光的增强周期与刀痕的周期密切相关，刀痕的周期越大，光增强的密度越小，激光损坏的可能性就越小。CHENG等[31]使用傅里叶膜法探究了通过金刚石加工的高质量KDP晶体表面的划痕特征对其损伤阈值的影响，发现在存在2.5 μm宽度和0.1 μm深度表面划痕的情况下，阈值强度将从132 TW/cm2降至102 TW/cm2。

综上可知，目前研究表面频率特征对光学材料光学性能的影响时，计算所使用的频率特征大多是理想频率特征，与表面形貌中客观存在的实际频率特征关联度较小，会使分析结果产生一定程度上的误差。并且分析表面频率特征时所采用的方式大多是离散小波变换，无法提取任意频率段的频率特征。为更加真实准确地分析KDP晶体表面频率特征对其温度场的影响，本文采用连续小波变换提取和重构KDP晶体已加工表面上实际存在的任意频率特征，并基于波动光学理论分析其对KDP晶体亚表层光场和温度场分布的影响规律，为优化实际加工参数以获得具有更高激光损伤阈值的KDP晶体元件提供借鉴。

1 实验与方法

1.1 切削实验

利用单点金刚石飞刀切削方法对KDP晶体进行加工以获得晶体表面形貌信息，具体切削参数及刀具参数见表1。

表1 切削参数和刀具参数

本文采用白光干涉仪对加工后的KDP晶体表面进行测量，取样面积为360 μm×360 μm，取样点数256×256，取样周期Δ=1.412 μm/pixel。获得的KDP晶体已加工表面的三维表面形貌和提取的二维轮廓分别如图1a和图1b所示。

(a)KDP晶体已加工表面三维形貌

(b)KDP晶体已加工表面二维轮廓图1 轮廓信息Fig.1 Profile information

1.2 表面实际频率特征提取重构方法

利用功率谱密度(power spectral density，PSD)方法对表面微观形貌进行定量频谱描述。PSD一维形式为

(1)

式中，f为空间频率；L为取样长度；z(f,L) 为二维轮廓数据z(x)的傅里叶变换。

根据PSD获取的结果，可以分析表面上可能存在的频率特征，再采用连续小波变换(continuous wavelet transform, CWT)方法，利用提取出的表面实际频率特征进行重构。连续小波的定义式为

(2)

(3)

式中，Wψ为由ψ(x)确定的连续小波系数，ψ(x) 为本文中的Mexh小波基；f(x) 为原始信号；p为比例因子；b为平移因子(本文中b=0)。

连续小波变换的尺度因子a可表示为小波基与特定频率之间的关系，在表面微观形貌上，对频率特征进行小波分析时，需确定a的取值，其计算公式为

(4)

其中，fc为Mexh小波基中心频率(fc=0.25)；Δ为测量仪器的采样周期；fs为实际频率特征的中心频率，与实际频率特征关系为

fs=2fL/N

(5)

式中，f为表面的实际频率特征；N为采样边界长度上的采样点数目。

小波系数是连续小波变换的结果，它表示原信号与小波基函数的相似性，但与实际频率的表面轮廓并无关系。实际频率的二维轮廓需重构小波系数，其定义式为

(6)

式中，Cψ为允许性条件；f(t)为实际频率特征的重构轮廓信号。

2 光场及温度场的仿真模型

根据功率谱密度和连续小波的计算结果所获得的表面频率特征对光场和温度场的仿真示意图见图2。

图2 表面频率对温度场影响的分析模型Fig.2 Analysis model for simulating the influence of frequency features on temperature field

激光束在晶体亚表层传播的平面波方程可表示为

(7)

(8)

其中，n为折射率；J为电流密度。激光束在晶体亚表层的热传导方程可表示为

(9)

式中，ρ为密度；c为质量热容；T为温度；t为时间；z为z轴方向坐标；k为热导率。

上下轮廓的边界条件分别为

(10)

(11)

式中，h为晶体在计算模型z方向上的深度。

设定两侧边界均处于绝热状态，边界条件为

(12)

求解波动电磁场问题时，需模拟一个带有开放边界的域，使计算域的边界支持电磁波以无反射的方式通过，因此，需要使用散射边界条件和完美匹配层。只考虑二维模型问题时，其中电磁波在xz平面内传播，电场沿y方向极化。将假定除模型自身外其余空间完全真空(不吸收能流密度)，外部对所有辐射透明，上下边界的散射边界条件为

(13)

式中，Ey为电场y轴方向的分量。

电磁波的入射方向为z轴负方向，当模型上边界距离下边界无穷远时，电磁波由上边界通过晶体亚表层不发生反射，可认为此时能量被完全吸收。根据几何模型只在电磁场作用下的二维均匀吸波状态，设定入射电磁波和热传导的参数和实验条件如下：采用单位线偏振光垂直入射，光束平行于晶体主轴；入射光束的功率为20 MW/μm2；入射光束的波长为1.064 μm；晶体表面及亚表层的初始温度T0=293.15 K；光束作用时长t=1 ns。光束实际作用范围决定晶体的轮廓尺寸。

本文主要研究精加工晶体表面的频率特征对晶体亚表层电磁场传播和温度分布的影响，因此在建立模型时，不考虑晶体亚表层的结构特征，只考虑晶体的表面形貌，以简化计算。KDP晶体相关的参数如表2所示，本文热膨胀系数取值为13×10-6K-1。

表2 KDP晶体的参数

在理想特征情况下，分析晶体的亚表层温度随晶体表面频率特征的分布规律具体可分为两步：先根据热传导方程和设定的边界条件对晶体内的电磁损耗进行求解；再根据电磁损耗的能量形式转化为亚表层温度变化，求解出晶体内的经入射光照射1 ns时的温度分布。

3 结果与分析

3.1 实际频率特征的获取

图3 已加工表面上实际存在的频率特征Fig.3 Actual frequency features existing on the machined surface

根据PSD方法得到已加工表面上的3种较明显的频率f分别为0.0084 μm-1、0.0112 μm-1、0.0277 μm-1，如图3所示。这3种较为明显的频率具有不同的功率密度值，其余频率的功率量趋近于0，说明表面微观形貌主要由这3种频率重构的轮廓特征组成，其他频率重构轮廓对表面基本没有影响。

功率谱密度方法只能用于识别最小采样间隔的整数倍的频率，而空间频率在加工表面上是连续分布的。 连续小波方法可用于补偿功率谱密度的这种不足，并从加工表面提取更真实的频率特征。根据功率谱密度计算结果，通过连续小波变换对3个实际频率特征进行提取及重构，其结果如图4所示。图4a中频率特征的波长约140 μm，振幅约30 nm；图4b中频率特征波长约50 μm、振幅约10 nm；图4c中频率特征波长约14 μm，振幅约5 nm。

(a)f=0.0084 μm-1的重构曲线

(b)f=0.0112 μm-1的重构曲线

(c)f=0.0277 μm-1的重构曲线图4 重构出的表面频率特征Fig.4 Reconstructed surface frequency features

根据已加工实际表面上存在的频率特征，结合图3和图4，拟合出3种相对应的表面频率特征曲线进行计算分析。拟合后的曲线呈周期性变化，为简化计算量，分别选取合适的周期进行计算，所建立的模型参数及波形图分别见表3和图5，其曲线分布规律类似正、余弦三角函数，具有周期变化和幅值变化。为了更加全面地分析晶体表

表3 仿真模型轮廓参数

(a)λ=14 μm,A=5 nm

(b)λ=50 μm,A=10 nm

(c)λ=140 μm,A=30 nm图5 用于计算的表面频率特征曲线Fig.5 Frequency features for calculation

面频率对其光学性能的影响，添加了理想表面(波长幅值都为0)以及表面频率波长与入射光波长相同的轮廓进行光学仿真。与入射光波长相同的曲线波长为1.064 μm、振幅为14 μm。

3.2 光场和温度场分析

为综合分析表面频率特征对晶体光学性能的影响，首先分析理想平面对KDP晶体亚表层光场和温度场分布的影响，其结果如图6a和图6b所示。当光束照射晶体后，在晶体亚表层仍然处于垂直入射的状态，并产生纵向波动，方向沿原入射方向，最高温度出现在被光束照射的表面，随着深度的增加，温度降低，温度变化仅有0.02 K，这主要是因为理想表面轮廓是一条理想直线，光束在晶体亚表层传播时不会出现能够引起光场和温度场畸变的自聚焦等现象。

(a)光场 (b)温度场图6 理想轮廓对光场和温度场的影响Fig.6 Ideal profile light field and temperature field

3.3 已加工表面上存在的频率特征的光场和温度场分析

KDP晶体已加工表面上实际存在的频率特征对其亚表层光场的分析结果如图7所示。表面频率特征的波长为1.064 μm、幅值为30 nm时的光场分布如图7a所示，相比理想平面的光场，此时晶体亚表层处于相同水平位置的光场出现差异，产生了聚集和衰减两种不同状态，这说明光束通过晶体亚表层时发生了沿x轴方向的波动，存在明显的光学畸变。此时，可以把波长为1.064 μm的表面当作一种光栅设备，光束通过表面进入晶体后会发生碰撞或者偏离，即干涉或衍射现象。由此而产生的干涉条纹会妨碍光束保持沿直线传播的状态，具有一定的光波扰动性。表面频率特征实际存在的波长14 μm、幅值5 nm的光场分布如图7b所示，光束在晶体亚表层传播时仍然发生波动，并且在轮廓波峰下有能量聚集，原因是此时的轮廓表面改变了光束的聚集点，使其位置离轮廓边界稍远。相比波长为1.064 μm的轮廓表面对光束传播的影响，波长14 μm的轮廓表面的影响程度略小。表面频率特征为50 μm、幅值为10 nm和波长140 μm、幅值30nm的光场分布图分别如图7c和图7d所示，光束传播规律与波长为14 μm的情况相似，光束依然在轮廓的波峰下汇聚，但是随着波长的增大，晶体表面轮廓更加接近一条水平线，光束穿过晶体时发生的畸变现象变弱。

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm图7 已加工表面上存在的频率特征对光场的影响Fig.7 Influence of frequency features on light field

(a)λ=1.064 μm (b)λ=14 μm

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm图8 已加工表面上存在的频率特征对温度场的影响Fig.8 Influence of frequency features on temperature field

表面频率对KDP晶体亚表层温度场的分析结果如图8所示。计算结果表明，当表面频率特征波长与入射光波长1.064 μm一致、幅值为5 nm时，如图8a所示，KDP晶体亚表层温升约72 K，最高温度399 K，出现在晶体深度为15 μm处，主要原因为光束叠加处会产生局部能量密集使温度升高，同时产生的介电损耗也增加，形成了一定的温度差。表面频率波长为14 μm、幅值为5 nm的晶体亚表层温度分布如图8b所示，晶体亚表层温升约56 K，最高温度为384 K，出现在晶体深度为160 μm处。表面频率波长为50 μm、幅值为10 nm的晶体亚表层温度分布如图8c所示，晶体亚表层温升约20 K，最高温度266 K，出现在晶体深度为160 μm处。表面频率波长为140 μm、幅值为30 nm的晶体亚表层温度分布如图8d所示，晶体亚表层温升约12 K，最高温度362 K，出现在晶体深度为160 μm处。当表面频率波长分别为14 μm、50 μm和140 μm时，与表面频率波长为1.064 μm的温度分布规律相同，具体表现为在轮廓波峰下面出现长条状的持续温升变化。温度场受到光场强度的影响，最大温升出现在光束能量最密集的地方，即光束波动的最大波峰波谷处，只考虑轮廓特征与温度分布的位置关系的条件下，可得出结论：在轮廓特征的波峰处与其对应的亚表层位置处温度较高，但波谷处温升近似为零，这表明光束在通过变化较大的轮廓特征表面后，进入晶体亚表层的聚集点与离散点和晶体的热透效应相同。同时图8b～图8d也表明，虽然晶体的深度相同，但是表面频率特征的波长越大，温升越小，最高温度越低，并且随着表面频率特征中波长的增长，最大温度点距离入射边界的距离越远，会出现在晶体内部的更深处，这说明表面频率特征影响着光束能量的聚集位置，与晶体的热透镜效应相符。

为全面分析波长和幅值对KDP晶体亚表层光场和温度场的影响，选取表面频率特征的波长范围为0～50 μm，振幅为1～200 nm，计算结果如图9所示。计算结果表明，当波长越接近入射光波长1.064 μm时，表面频率特征对KDP晶体亚表层的最高温度的影响程度越大；当波长处于1～10 μm区间时，温度会骤降；当波长处于10～20 μm区间时，最高温度随波长的增大缓慢下降；当波长λ>20 μm，随着波长增大且振幅没有变化时，最高温度基本无变化，这是由于此条件下主导温度变化的因素从波长变成幅值。当处于同一波长时，温度升高伴随着振幅的增大，两者是一种线性关系，振幅对温度的影响程度取决于表面频率波长与入射光波长的差距，越接近入射光波长，影响程度越大。可以解释为晶体表面频率的波长等于入射光束基频波长1.064 μm时，衍射能级最大，能量最密集，此时温度随着振幅的增加而升高且上升速度最快。

图9 频率特征对温度场的影响Fig.9 Influence of frequencies on the temperature field

以上计算分析表明，KDP晶体已加工表面上的波长和幅值都会对其亚表层的光场和温度场产生影响，因此，在KDP晶体加工过程中为保证其光学性能，在确保表面粗糙度满足要求的同时应尽量避免产生波长在0～10 μm、振幅大于50 nm范围内的表面频率特征。

4 结论

(1)表面频率特征的波长越接近入射光波长时，光束通过晶体亚表层时会发生明显的横向波动，能量局部聚集，使材料发生较多介电损耗，对光场和温度场的影响最剧烈。幅值不变时，表面频率特征的波长处于1.064～10 μm时，温度呈缓慢下降趋势，波长超过20 μm后最高温度基本无变化。

(2)当表面频率的波长不变时，表面频率特征的幅值对KDP晶体亚表层的温度场产生影响。KDP晶体亚表层温度随着振幅的增加而升高，两者成线性正相关。

(3)不同波长的频率特征除对KDP晶体亚表层的温度值具有影响外，对最高温度值在KDP晶体内部的位置也有影响。当表面频率特征的波长增加时，KDP晶体内部最高温度点出现的位置向晶体内部延伸。