“多边形的内角和”教学设计

张 璇

（上海市民办新华初级中学）

一、内容和内容解析

1.内容

本节课选自沪教版《九年义务教育课本·数学》八年级第二学期第22章“四边形”第1节第1课时“多边形的内角和”，主要内容为多边形概念及探究多边形内角和定理.

2.内容解析

在此之前，学生已经掌握三角形概念及三角形内角和等知识.多边形是三角形的推广与延伸.三角形是最简单的多边形，是研究多边形的基础.一方面，研究多边形可以借助研究三角形的基本思路；另一方面，可以将多边形分割成三角形，借助三角形的性质研究多边形，将多边形的学习与三角形的学习有机结合.

本节课是“四边形”这一章的起始课.多边形及其相关概念是基础知识，多边形的内角和反映了内角之间的数量关系，它属于“图形与几何”领域中“图形的性质”部分的重要内容之一.多边形内角和定理是三角形内角和定理的应用、推广和深化，是培养学生空间观念、运算能力、推理能力、归纳能力、几何直观和符号意识等数学素养的良好素材.本节课内容的学习为后续探究平行四边形、梯形、正多边形与圆的关系等内容提供了方法和条件.

本节课的探究是从“三角形的内角和为180°”“矩形、正方形的内角和为360°”等学生已有的知识经验出发，逐步提出一般的问题，进而获得一般的结论.探究过程是从具体的四边形内角和入手，类比推导得出n边形的内角和，并引导学生自主发现分割成的三角形个数与多边形的边数之间的关系，进而发现多边形内角和与其边数之间的关系，并推导出多边形内角和定理.整个探究过程充分体现了从特殊到一般的研究问题的方法.

在多边形内角和定理的探索阶段，将多边形问题转化为三角形问题来解决的思路，充分体现了将复杂图形转化为简单基本图形的化归思想.这不仅是探索多边形内角和定理的关键，也是学生今后学习和研究数学所必备的思想方法.通过探索多边形内角和定理，引导学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，为学生充分体验从简单到复杂、从特殊到一般，以及化归与转化的数学思想方法创设了有效的数学活动情境.在探究的过程中，合情推理和演绎推理两种推理相辅相成，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论.在观察、实验、猜测、计算、推理、证明等过程中，充分关注与发展学生的推理能力、运算能力、数学抽象等数学核心素养.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：多边形内角和定理及其推导过程的探索.

二、目标和目标解析

1.目标

本节课的教学目标设置如下.

（1）理解多边形的定义及其相关概念，会用多边形内角和定理解决简单问题.

（2）经历多边形概念的形成过程，能类比三角形的研究经验体会类比思想.

（3）经历多边形内角和定理的探索过程，进一步体会从特殊到一般的研究问题的方法和化归思想.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能基于三角形的概念形成多边形的概念，会判断一个几何图形是否是多边形，并能指认该多边形的边、内角、对角线等相关概念.会用多边形内角和定理解决简单问题，并能在多边形相关的问题情境中，自发联想运用多边形内角和灵活解决相关问题.

达成目标（2）的标志是：引导学生再次经历研究几何图形的基本经验，整体建构几何图形的一般研究思路与方法.

达成目标（3）的标志是：经历多边形内角和定理的探索过程，体验将多边形问题转化为三角形问题来解决的转化思想和由特殊到一般的归纳方法.本节课的研究从具体的特殊四边形内角和出发，利用“三角形的内角和是180°”，逐步探索四边形、五边形、六边形、…、n边形的内角和，同时能够利用多种不同分割方法，验证多边形内角和定理，体会类比、化归思想，体会从特殊到一般的研究问题的方法，感悟推广方法的价值，体验数学和谐美.

三、学生学情分析

学习本节课之前，学生已经掌握三角形及其相关内容，对三角形的整体研究思路与方法有了一定的感性认识，这为探索多边形内角和定理提供了认知基础.同时，八年级学生具备一定的观察、分析、推理能力，为本节课的深入探究提供了保障.学生能够较好地表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但是在探究新的数学问题时还是存在一定的困难.特别是研究什么、如何研究，以及怎么把新问题转化为已知问题来解决，都是现阶段学生学习路上的障碍.

本节课，学生在探索推导多边形内角和定理的过程中，对以下系列问题会感到有一定难度：如何获得将多边形分割成多个三角形来解决问题的思路？如何得到不同分割方式？不同的分割方式之间有什么联系与区别？如何确定多边形内角和与边数之间的关系？因此，在探索该定理的教学环节，通过组织学生经历观察想象、交流合作、提出猜想、推理验证等活动，让学生亲历观察、实验、交流、猜想、计算的学习过程，明确将复杂的图形转化为简单的基本图形才是解决问题的关键.通过引导学生观察相关要素在不同分割方法中的内在联系与区别，归纳得到点的位置选取决定了不同分割方法的本质.同时，为了让规律更加直观，在探究过程中借助表格等方式辅助教学.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：将多边形分割成三角形来解决问题的思路.

四、教学策略分析

教师是学生学习的引导者、组织者、合作者.根据这一理念，本节课采用“引导探索法”组织教学.结合学生已有的知识储备和年龄特点，在学法上，力求体现操作实践、探索发现、合作交流等方式，在师生的共同活动中，引领学生会探索、会发现、会分析、会总结规律.

根据上述分析，制订了如下教学策略.

1.系统思考，学会数学思维

系统思考有助于学生更好地理解和掌握数学知识.数学思维指学生在数学学习过程中形成的思维方式，能应用于解决各种问题（不仅仅局限于数学问题）.例如，在推理与证明时，运用类比、归纳和演绎思想；在阐述观点时，运用推理、观察、实验、比较、分析、猜想、综合、抽象、概括和建模等思想方法；等等.

本节课中，以多边形的相关内容研究为载体，把数学思想方法融入其中，主要体现在以下三个方面.

一是类比三角形概念获得多边形概念，确定研究对象之间具有相似的性质，可以将三角形的研究方法迁移到多边形，引领学生深刻认识新对象.

二是研究多边形性质时，思考注重运用从定性到定量的方法，这种方法也常常适用于解决其他问题.

三是在探究多边形内角和时，从特殊情形入手，即从最简单的四边形开始，直到n边形，这种从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法具有普遍意义.

2.问题驱动，感悟数学思想

随着数学知识的形成、发展和应用，数学思想蕴含其中，它在更高层次上抽象和概括了数学知识和方法.因此，本节课的设计更多地关注数学思想在知识形成过程中的渗透，使学生在深刻理解概念、定理的本质的同时，学会了如何发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.

3.直观递进，增进数学理解

数学的抽象与学生思维的形象、直观之间的矛盾是初中生数学学习的一个障碍点，而几何直观是化解这一矛盾的有效措施.在本节课的教学中，充分发掘数学学科中的直观资源，运用直观化的手段，逐层递进地助推学生的数学理解.本节课可以分为以下三个阶段.

第一个阶段可以用“看、说、画”三个字来概括，即通过观察为神舟十二号航天员移送椅的图片，以及学生美术课上为宇航员设计的杯垫，让学生说出看到的几何图形，说一说它们的特征，逐步得到多边形的定义.

第二个阶段可以用“探、猜、证” 三个字来概括，即通过对四边形、五边形、六边形内角和的探索，猜测n边形的内角和，并对基于特殊情况归纳得到的猜想进行逻辑论证.

第三个阶段可以用“推、悟、用”三个字来概括，即从函数的视角对多边形内角和定理进行再认识，领悟其中蕴含的数学思想方法，学会运用多边形内角和定理解决简单的数学问题，并将其应用在生活中.

五、教学过程设计

1.创设情境，导入新课

（1）问题情境设置.

①展示神舟十二号载人飞船返回舱平安着陆，航天员顺利出舱后，给航天员移送椅的图片，座椅如图1所示.

图1

②图2是学生按照美术老师要求完成的美术作业.作业要求：利用边长及内角分别相等的三角形、四边形、五边形、六边形和八边形为航天员设计杯垫，拼出一个在某一顶点无缝隙且不重叠的平面图形.

图2

问题1：在以上这些图片中，有哪些熟悉的平面图形？

【设计意图】数学教学需要从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会，使学生走进生活学习数学.从神舟十二号载人飞船成功返航的现实情境导入，有助于学生感受数学与生活之间的联系，激发学生进一步探究的热情与民族自豪感.

问题2：在日常生活中，我们经常会接触到除三角形以外的边数更多的平面图形，如四边形、五边形、六边形等，我们可以将这类平面图形统称为多边形.你能尝试给多边形下个定义吗？

多边形的定义：由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形.

【设计意图】三角形的三个顶点总是共面的，它一定是平面图形.但边数大于3的多边形不是这样的，它们的顶点存在不共面的情况.在这一环节设置认知冲突，引发学生深度思考.通过实例，使学生进一步理解多边形的概念.

（2）多边形在生活中的应用举例.

学生举例说明现实生活中的多边形及其应用；教师利用课件展示现实世界中多边形及其应用（如图3）.

图3

【设计意图】列举和展示多边形在各领域中的存在和应用，使学生感悟数学来源于生活，体验数学的和谐美.

2.师生互动，探索新知

（1）多边形相关概念的认识.

问题3：类比三角形，你能指出如图4所示的多边形的各组成部分的名称吗？

图4

问题4：我们知道多边形的边可以看成连接两个相邻顶点的线段，那么，在多边形中，还可以连接两个不相邻顶点的线段，这又是什么呢？

对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

【设计意图】除对角线以外，多边形的其他相关要素与三角形完全相同，可以通过类比直接得出.根据多边形的边的概念引出对角线的概念，两者进行对比，逐步得出对角线的概念，使学生更容易理解知识内在的联系与区别.

问题5：如图5所示的两个五边形有什么区别？

图5

操作活动：画一画：双向延长如图5所示的两个五边形的每一条边.

【设计意图】通过让学生动手操作引出凹多边形，揭示凸多边形的定义.

（2）多边形内角和定理的探索.

问题6：三角形是最简单的多边形，我们是从哪些方面研究三角形性质的？

问题7：三角形的内角和为180°，且不会随着三角形的大小和形状发生改变，它始终是一个定值.任意多边形的内角和是多少？它有什么规律？

追问1：多边形有无数种，你打算怎么研究呢？

【设计意图】类比三角形单元中研究三角形的方法，引导学生按照“定义—概念—性质”的思路进一步研究多边形.通过类比三角形的研究脉络，先确定研究多边形的角的性质（内角和）.

探究活动1：探究任意四边形的内角和.

问题8：任意四边形的内角和是多少？为什么？

任务1：学生以小组为单位采用多种方法证明四边形的内角和.

预设：学生可用如图6所示的几种方法证明.

图6

追问2：这些方法有什么相同之处和不同之处？

【设计意图】从简单的四边形开始探究，经历从猜测到论证的过程，引领学生从多个角度进行观察和思考，建立四边形与三角形之间的联系，使学生体会类比思想，为探究n边形的内角和奠定基础.

探究活动2：探究任意n边形的内角和.

问题9：n边形的内角和是多少？为什么？

任务2：学生完成表1，并小组交流讨论各自选用的方法.

表1 多边形内角和探究表

追问3：这些方法各自有什么特点？有什么共性？

学生可以得出多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.问题10：对于n边形内角和公式，你有哪些思考和发现？

【设计意图】借助已有的四边形内角和的研究经验，引导学生自主建构多边形内角和的研究方法，自发探索五边形、六边形、…、n边形内角和，感悟从特殊到一般的研究方法.将研究方法进行迁移，体会将多边形分割成几个三角形的化归过程.为了便于学生总结规律，借助表格帮助学生分析问题，使得规律更加直观，跃然于纸上.利用精心设计的填表活动，为学生创设了类比、思考、讨论、概括的机会，使学生感受边数、分割的三角形个数和内角和之间的关系，有利于学生更好地探究多边形的内角和，从而达到分解本节课的教学难点的目的.将直观操作、合情推理与逻辑推理有机地结合在一起，使推理论证自然地成为学生观察、实验、探究得出结论的延续，使学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想.得到多边形内角和定理后，引导学生进一步深入思考，从函数的视角对定理进行再认识，领悟其中蕴含的数学思想方法.

（3）有关多边形内角和数学史的了解.

介绍数学家泰勒斯，以及欧几里得的数学著作《几何原本》.

【设计意图】利用数学史料，向学生介绍科学领域取得的巨大成就都依赖于一代代的数学大师付出的艰苦卓绝的努力，鼓励学生像泰勒斯一样多去发现问题、探索问题，从而潜移默化地唤起学生崇高的科学奉献精神.

3.例题变式，内化新知

例 利用边长和内角分别相等的三角形、四边形、五边形、六边形和八边形，能够拼出如图7所示的杯垫.求八边形的内角和.

图7

变式1：能否在图7中选取内角和是1440°的多边形？为什么？

变式2：能否在图7中选取内角和是2020°的多边形？为什么？

【设计意图】通过让学生简单应用多边形内角和定理，促进学生对多边形内角和定理的理解.变式旨在正用、逆用多边形内角和公式，解决与多边形内角和有关的简单计算问题，发展学生的运算能力、推理能力等.

4.回归引入，深化新知

对于美术老师布置的作业：利用边长和内角分别相等的三角形、四边形、五边形、六边形和八边形，能够拼出一个在某一顶点无缝隙且不重叠的平面图形.

（1）如果只选择一种多边形，你认为应该选择哪一种，为什么？

追问：为什么三角形、四边形和六边形可以拼出符合要求的平面图形？五边形、八边形不可以？

（2）如果选择两种多边形来拼出符合要求的平面图形，你有哪些方案？（课后思考.）

【设计意图】进一步强化对多边形内角和公式的应用，引导学生主动获取数学知识，不断丰富数学探索的经验，学会学习，感受数学学习的乐趣；在学习知识和方法的应用过程中深化新知，增强数学应用意识，体会数学的价值.

5.反思总结，升华新知

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）在探究多边形内角和公式的过程中，你觉得有哪些重要的方法？

（3）你还有什么收获和问题？

【设计意图】在此环节引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形转化为简单的基本图形的化归思想，巩固从特殊到一般的研究问题的方法.通过小结锻炼学生的语言表达能力，关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握.同时，教师帮助学生归纳零散的知识，形成体系，使学生内化所学知识.

6.课后作业，强化新知

基础题：配套练习册中本节内容的习题.

思考题：（1）为了美化同学们设计的杯垫，有同学将材料中的八边形的每个内角画上了半径为1的彩色扇形（如图8），求这些扇形的面积和.

图8

（2）将一个多边形剪去一个角后形成的多边形内角和为1980°，你能求出原多边形的边数吗？

【设计意图】分层设计作业旨在关注学生的学习差异，使不同的学生在数学上得到不同的发展.学生在分层作业的弹性空间充分展示自己的学习能力，体验数学学习的乐趣，进一步增强数学学习的兴趣，进而提高数学教学效果.

六、教学目标检测

检测作业1：在学习完本节课后，进一步查找资料，围绕关于多边形内角和的证明方法写一篇数学小论文，并与班级同学交流、分享.

评价建议：（1）能给出一种多边形内角和的证明方法，可评价为合格；（2）能给出三种以上多边形内角和的证明方法，可评价为良好；（3）不仅能给出多种多边形内角和的证明方法，而且能对这些方法进行剖析与梳理，可评价为优秀.

检测作业2：在探究活动2的基础上，结合本节课的学习提出一个新的问题，并给出该问题的解答方案.

建议：（1）小组合作完成；（2）从特例起步，类比探究活动2中的问题及其解答方案；（3）记录问题研究过程，说明研究结果或疑惑.

评价建议：（1）通过小组合作，模仿探究活动2中的问题提出一个类似的问题，且提出一种解决该问题的方案，可评价为合格；（2）在探究过程中，提出了一个较有新意的问题，且提供了至少一种解决方案，可评价为良好；（3）在探究过程中，提出了一个富有创意的问题，且提供了多种解决方案，可评价为优秀.

七、教学反思

1.值得肯定的方面

本节课以问题为驱动，引导学生积极主动、有向有序地经历完整的学习过程.通过问题串，帮助学生建立多边形与三角形之间的联系，启发学生运用类比思想，获得多边形的整体研究思路.在多边形内角和定理的探索阶段，设计两个探究活动，点燃学生的探究热情，促使学生主动获取数学知识，丰富探索经验，感受数学学习的乐趣.在讨论、交流、展示的过程中，使学生进一步感受合情推理与演绎推理的辩证统一，体会从特殊到一般的研究方法，感悟化归、类比等数学思想，从而达成了本节课的教学目标.

2.需要改进的方面

在问题的设计上，本节课的教学还有如下几个方面需要改进.

（1）设计宏观问题，构建整体研究思路.

学生在得到多边形相关概念之后，可以设计问题“我们学过了三角形及其相关内容，它是怎么研究的？”帮助学生回顾研究三角形的基本思路，即“定义—性质—应用”，构建几何图形研究的一般思路，引导学生自主生成研究多边形性质的想法.

在研究多边形性质时，可设计问题“多边形有哪些重要的性质？”引导学生自主类比三角形的性质进行研究，明确研究方向.

（2）加强追问，引导反思，揭示思维过程.

有学生对于问题“多边形有无数种，你打算怎样探究？”，提出“矩形、正方形的内角和是360°”，此时教师可以追问“同学们有什么疑问吗？”引导学生自主提出“任意四边形的内角和是多少？”的问题.

在探究活动1中，学生交流任意四边形内角和的证明方法时，可以追问学生“你是如何想到的？”以揭示学生的思维过程，挖掘方法背后的思维价值.

在探究活动1中，学生总结多种证明方法的相同之处时，都是将多边形内角和转化为三角形内角和，此时可以追问学生“这些三角形有什么共同特征？”以培养学生的归纳、总结能力，帮助学生更好地理解方法之间的联系与区别.

在探究活动2中，学生利用多种方法得到多边形内角和公式后，可以追问学生“能否对这几种方法进行梳理和总结？”以引导学生类比探究活动1中的研究经验，自发探究方法之间的联系与区别，积累研究经验.