基于模型预测控制的路径跟踪技术研究

赵奉奎，成海飞，朱少华，张 涌

(南京林业大学 汽车与交通工程学院,江苏 南京 210037)

0 引 言

近年来，汽车在朝着智能化和网联化的方向飞速发展，无人驾驶是最终的发展目的。无人驾驶可以有效地减少交通事故发生的概率以及推动其他相关领域的技术发展。按照分层递阶系统架构，智能汽车可分为感知、规划决策与控制3个层次。路径跟踪控制是控制层面的关键研究内容，在汽车自主控制驾驶方面扮演着重要的角色。路径跟踪控制是在车辆动力学基础上，通过添加控制量和控制增量约束条件来实现对预先路径轨迹的跟踪控制[1]。

现阶段的路径跟踪控制研究中，所用控制理论主要集中在PID控制[2]、变结构控制[3]、H∞控制[4]以及模糊控制[5]等。PID在闭环控制方面有着较优的效果，通过参数整定使响应命令达到快、准、稳，但是因为汽车在真实行驶工况下，会被外界带来的扰动影响，使得在进行补偿过程中无法调控较大范围内的渐进循环控制。变结构控制(滑模控制)[6]可以根据系统当前的状态轨迹做出相应的应答与动作，使得系统不得不向预期轨迹接近，克服了非线性控制系统的不确定性，如J.ACKERMANN等[7]利用滑模控制实现横摆角速度跟踪参考横摆角速度，但是滑模控制会在未建立模型的高频动态特性时发生抖动，如果传感器信号波动剧烈或者执行器的控制效果不好时，状态轨迹难以严格遵守滑动模态面向平衡点靠拢，车辆的操纵稳定性就无法得到保证。H∞控制通过抑制噪声与理想输出之间的偏度来使得系统得到的结果满足预期模型效果，在应用到汽车跟踪控制时，需要求控制器具有较高的控制阶数与计算复杂度[8]。模糊控制不需要对系统进行精确建模，但是模糊控制要实现必须在先验知识基础上建立实用的规则库，因此理论稳定性是无法论证的。模型预测控制(MPC)具有较强的多模型约束处理能力，能够很好地协调自动驾驶过程中运动学和动力学两者之间存在的限制，能够实现带有多种约束的控制系统最优求解[9]。

笔者设计基于MPC的自动驾驶车辆控制系统，建立车辆三自由度动力学模型，在添加控制量和控制增量约束条件外还额外考虑了输出量质心侧偏角和轮胎侧偏角的约束，设计了一种基于动力学约束模型预测控制的路径跟踪控制器，通过MATLAB/CarSim联合仿真，对控制算法进行了验证。

1 车辆动力学建模

车辆动力学模型可以反映车辆的实际驾驶状况[10]，但随着约束条件或者复杂程度的增加，会直接导致求解过程的困难。因此，笔者在对汽车动力学建模时相对简化了汽车动力学约束，并做出以下假设：

1)车辆行驶的工况为良好平坦路面。

2)可忽略垂直方向的平动或者转动运动，因为车辆和悬架系统是刚性连接结构。

3)不考虑左右轮胎在行驶过程中垂向载荷的转移。

4)忽略不计行驶过程中产生的空气阻力。

5)转向控制的输入为前轮转角，所以可以将转向系统忽略。

通过限定的各种约束，最终建立了一个汽车沿x、y轴平动、绕z轴转动的三自由度的车辆动力学模型。其示意如图1。

图1 车辆动力学模型Fig. 1 Vehicle dynamics model

车辆质心在3个轴位的微分方程为：

(1)

由于式(1)中三角函数的影响，造成了模型在模拟过程中冗杂度增加。为了方便计算，笔者引入以下假设：车辆前轮转角和轮胎侧偏角的关系较接近，即应用等价关系如式(2)：

(2)

由于车身坐标系与大地坐标系的设定基准不一样，所以必须通过两坐标系之间的纽带进行转换，由此可以得到相应迭代后的式(1)，使得车辆非线性动力模型如式(3)，φ为车辆横摆角：

(3)

2 线性化与离散化车辆模型

式(3)描述的动力学模型是非线性系统，为了简化分析过程，对式(3)所示动力学模型进行线性化[11]。由于文中研究的路径跟踪问题的预期轨迹存在某些状态信息点无法满足的现象，因此特地采用状态轨迹的方法来使车辆动力学方程线性化。该方法的特点是施加恒定不变的系统控制量，以此得到一条合乎预测曲线的状态轨迹，并通过与实际偏差的对比模型预测控制算法进行协调。不需要预先可知预期轨迹上所有工作点的位置是这个方法的一个优点，也就是说实时路径上的点位与控制信息是可观的。

式(3)建立的非线性车辆动力学模型可以采用修正状态轨迹的方法处理，得到线性模型随时间变化的方程为：

(4)

对式(4)采用一阶差分的方法进行离散化处理，得到离散状态控制表达式为：

(5)

式中：T为采样周期;Ak,t=In+T×A(t);Bk,t=T×B(t)；In为单位矩阵；Δu(k)为控制量增量。

该系统模型的输出结果是一一对应的，其表达式为：

λ(k)=Ck,t×ξ(k)

(6)

在对车辆动力学模型模糊化处理后，其可以写成相应的关系式为：

(7)

3 带约束的模型预测控制器的设计

MPC是一种典型的过程控制策略。其具有基于模型的控制预测、滚动优化、闭环反馈校正的基本特征，尤其适用于难以建立精确数学模型或者具有约束的控制系统。

典型的MPC控制流程如图2。在每个采样时刻，这是通过收集系统的瞬时状态信息来估计的，并且该信号应尽可能在系统上的状态预测中用作初始条件。分配给受控对象的值是通过有限的预测时域中的在线开环优化问题获得的。目前最优控制序列的第1个元素。在下一次采样时，系统的未来初始条件将以新条件或状态估计为特征，并且在不中断前面步骤的情况下重复上述步骤[12]。

图2 MPC流程Fig. 2 MPC flow chart

3.1 目标函数设计

可以从ξ(t)中的当前状态量和控制时域中的控制增量ΔU(t)获得预测时域中的状态量。但是，无法在通过传感器或估算值控制的平台上获得系统控制增量，需要通过设置合理的优化目标来解决。 通过计算组态的目标函数，可以获得一系列最佳控制增量。并在上一节中将序列的第1个元素添加到将来系统状态的计算和输出中。求解过程中考虑到车辆稳定性，采用如下形式的目标函数为：

(8)

式(8)系统跟踪过程的准确性是由第1项求解参考路径与系统输出之间的误差来表达。车辆稳定性的能力是由这个公式里的第2项在跟踪过程中来保持的。Q和R是系统权重矩阵，可以专注于系统的准确性和稳定性。总的来说，系统在跟踪控制阶段在保持准确性的同时也要保持车辆行驶稳定性。这是整个目标函数的功能和目的，也是初始系统的要求。

为了得到未来一段时域的控制序列，在这一节中对带约束的目标函数进行了求解。由于系统是实时的，可能会出现有的时刻目标函数出现无解现象。为了规避这种不可控情况的发生，笔者又添加了可调整因子。这样就可以很大程度上减免系统因为目标函数解不存在而导致崩溃或者卡死的现象。如式(9)：

(9)

为了便于计算机语言的编写，需要对目标函数进行再次处理，主要通过一系列矩阵的运算，转换为目标函数二次型形式，如式(10)：

J[ξ(t),u(t-1),ΔU(t)]=

[ΔU(t)T,ε]THt[ΔU(t)T,ε]+Gt[ΔU(t)T,ε]+P

(10)

式中：

P=E(t)TQE(t)。

在每个控制周期内，对式(10)进行求解。会得到一段控制增量序列为：

ΔU(t)=[Δut,Δut+1,…,Δut+Nc-1]T

(11)

将上面所得的一段序列中的第1个加入到未来输出量的计算中去,即：

u(t)=u(t-1)+Δu(t)

(12)

该控制增量仅适用于系统中的当前时刻。下一刻将添加新的预测输出。为了解决本节中描述的目标函数以获取新的控制序列信号问题，在系统中应用它，其目的是为系统创建最佳的滚动控制。

3.2 模型预测控制器的约束条件

在路径跟踪的问题中主要的约束条件是关于对控制因数以及输出结果的限制。另外，在路线跟踪过程中，需要考虑或增加动态车辆约束，以提高车辆稳定性。

首先对前轮的轮胎转角及其轮胎转角增量进行约束。根据车辆侧向跟踪能力试验，汽车前轮转角δ及其增量极限约束条件设置为：

(13)

在良好的道路附着条件下，当轮胎侧偏角满足不超过5°时，侧向力会保持在线性区域内。在道路的附着条件比较差的情况下，轮胎侧偏角要限制在2°以下，才会使侧向力保持在线性区域内。为确保自动驾驶汽车在换道过程中的稳定性，因此对轮胎侧偏角做如下约束为：

-2.5°≤α≤+2.5°

(14)

当质心侧偏角在侧向力线性区域以外的时候，这种情况则对车辆的稳定性影响很大。因此为了使其保持在相对稳定的范围内，需要对车辆的质心侧偏角进行设定。通过考虑车道变换转向时的行驶工况，根据相关文献进行的车辆稳定性研究，取其在低附着路面上的极限阈值进行约束，约束条件设置为：

-3°≤β≤+3°

(15)

4 路径跟踪仿真验证

通过Simulink和CarSim联合搭建车辆控制实验仿真平台。其中车辆的输入和输出的接口设置以及动力学参数问题主要由CarSim来设定完成，也就是车辆的动力学模块由CarSim提供。路径跟踪的控制器在Simulink中搭建，由系统函数格式编译控制程序/代码。在输入以及输出的接口处，仿真只对车辆的前转向轮进行操作，这也表明了由控制器提供前轮转向角度的输出，并且控制器中的控制求解过程要求输出端口表征汽车动力学系统的6个状态量。4个轮胎的转向角度的输入是靠Carsim来完成的。另外，Simulink和CarSim中对角度和速度单位的定义与设定方式是不一致的，所以单位的转换是必要的步骤。

在参考了大量研究文献之后，将模拟仿真路面设置为车速为10 、30 m/s，路面附着系数为μ=0.8的常规路面，并获得以下的相关分析结论与曲线示意。

1)路面附着系数为μ=0.8，车速为10 m/s时，仿真结果如图4及图5。

在常规路面下，从图3和图4可以看出，控制器具有良好的路线跟踪效果。路面附着系数为0.8、速度为10 m/s时，该控制器可以准确地跟踪参考路线，实际路径曲线与参考路径非常吻合，并且在低速情况下有非常好的鲁棒性。由图4可知，横摆角虽然与理论有所偏差，但波动范围在可控范围之内。

图3 u=0.8, 车速为10 m/s时横向路径跟踪Fig. 3 Lateral path tracking when u=0.8 and vehicle speedis 10 m/s

图4 u=0.8,车速为10 m/s时横摆角跟踪Fig. 4 Yaw angle tracking when u=0.8 and vehicle speedis 10 m/s

2)路面附着系数为μ=0.8，车速为30 m/s时，仿真结果如图5及图6。从图5中可以看出，控制器对路径跟踪在较高车速的情况下仍然可以保持良好的跟踪效果。这说明了车速发生较大变化时此控制器也有着较优的路径跟踪能力。由图6可知，在高速情况下，在t=3.5 s附近，输出横摆角速度有微弱的波动，但是偏差非常小，在整个仿真时间段内，输出横摆角速度与参考横摆角速度基本一致。

图5 u=0.8, 车速为30 m/s时横向路径跟踪Fig. 5 Lateral path tracking when u=0.8 and vehicle speed is30 m/s

图6 u=0.8, 车速为30 m/s时横摆角跟踪Fig. 6 Yaw angle tracking when u=0.8 the vehicle speedis 30 m/s

以上分析验证了所设计系统能够在常规路面的路径跟踪情况，为了进一步验证系统的路径跟踪能力，在湿滑路面对系统进行仿真验证，设置路面附着系数μ=0.5，并在车速为10、30 m/s的条件下分别进行仿真分析。

3)路面附着系数为μ=0.5，车速为10 m/s时，仿真结果如图7及图8。

在湿滑或者雨天情况下，附着系数虽然有所下降，从图7和图8可以看出，在路面附着系数为0.5，速度为10 m/s时，控制器仍能够实现路径跟踪。在速度为10 m/s时，由图7可知，实际路径曲线与参考路径横向偏差微小，由图8可知，相同时间点时，横摆角偏差微小，经计算小于0.3°。

图7 u=0.5, 车速为10 m/s时横向路径跟踪Fig. 7 Lateral path tracking when u=0.5 and vehicle speedis 10 m/s

图8 u=0.5, 车速为10 m/s时横摆角跟踪Fig. 8 Yaw angle tracking when u=0.5 and vehicle speedis 10 m/s

4)路面附着系数为μ=0.5，车速为30 m/s时，仿真结果如图9与图10。

从图9和图10可以看出，在速度为30 m/s时，控制器仍能够实现路径跟踪。由图9可知，实际路径曲线与参考路径横向偏差微小，由图10可知，由于路面附着系数较低，在时间为3.5 s时，横摆角有了小幅波动，但最大波动值也仅为0.1°，仍能够保持车辆转向的稳定。说明所设计系统在低路面附着系数高速行驶时，仍能实现路径跟踪。

图9 u=0.5, 车速为30 m/s时横向路径跟踪Fig. 9 Lateral path tracking when u=0.5 and vehicle speedis 30 m/s

图10 u=0.5, 车速为30 m/s时横摆角跟踪Fig. 10 Yaw angle tracking when u=0.5 and vehicle speedis 30 m/s

综上所述，基于模型预测控制的路径跟踪系统在不同路面附着系数，可实现低速和高速的路径跟踪。

5 结 语

笔者研究自动驾驶汽车路径跟踪控制问题过程中，建立了车辆三自由度动力学模型，区别于一些文献中提到只通过添加控制量和控制增量约束条件，这往往会使理想与实际路线的规划控制存在较大的波动。除了考虑以上因素之外，还添加了输出量质心侧偏角和轮胎侧偏角的约束，设计了一种基于动力学约束模型预测控制的路径跟踪控制器，以此确保车辆在路径跟踪过程中的可控性和稳定性。进行了CarSim和Simulink联合仿真，结果表明：笔者所设计的MPC路径跟踪控制器，道路附着系数无论在0.8还是0.5的情况下，车速为10 m/s和30 m/s均有较强的跟踪能力，有着具有较好的鲁棒性。使得汽车有适度的不足转向，从而提高操纵稳定性。下一步的工作将对车辆动力学的多方面因素进行综合考虑，对模型目标函数的选用或者权重因子进行优化设置，达到路径跟踪控制过程中车辆的稳定性与信号的响应程度更进一步接近理想效果。