基于小波变换的双光梳高精度绝对距离测量方法

张森，王勇，何鹏，练彬，孙敬华，梅领亮

(1.广东工业大学计算机学院，广东广州511400；2.东莞中科蓝海智能视觉科技有限公司，广东东莞523808；3.东莞理工学院电子工程与智能化学院，广东东莞523808；4.东莞市三航军民融合创新研究院，广东东莞523808)

1 引言

长度测量始终伴随着人类社会的进步和发展，是诸多重要科学研究的先导和基础，直接影响装备制造、精密加工、国防科技和航空航天技术等各个方面[1]。国际计量大会通过光速来定义长度米，因此长度的测量也与时间与频率紧密地联系在一起。而飞秒激光频率梳因其具有极高的频率精度，不仅可以当作是一把“频率尺”，亦可以作为一把“空间尺”用于长度测量。近年来，利用飞秒激光频率梳进行高精度绝对距离测量成为国际研究热点。而随着激光器光源和测距方法的不断进步发展，测距精度也在不断突破，从微米至纳米级别，可测得的距离也可达到数千米[3]。

实验中为了降低实验系统的复杂性，载波包络偏移频率是自由运行的，所以本文采取基于飞行时间法(Time-of-flight，TOF)来实现绝对距离测量[4]，首先需要提取干涉信号(载波)的包络线，然后对包络线进行高斯拟合，根据拟合之后的包络线峰值点计算测量距离。通常采用希尔伯特(Hilbert)变换算法提取信号的包络线。2009年，美国国家标准技术研究院(NIST)的Coddington.I等人[5]使用两台相位锁定的飞秒光梳，通过希尔伯特(Hilbert)变换算法得到载波信号的包络线，计算包络峰值点得到距离的粗测值，然后采用干涉测量法获得更高精度的距离值。2014年，清华大学吴冠豪课题组[7]通过模拟仿真以及实验研究了重复频率、重复频率差以及载波包络偏移频率对测距精度的影响，实验中利用希尔伯特(Hilbert)变换算法与傅里叶变换(FFT)算法对载波提取包络线，在通过对包络线进行高斯拟合减小误差，找到拟合之后包络线的峰值点并计算距离。希尔伯特变换算法在对干扰小，噪声小的较为平稳的信号包络提取方面效果显著，但由于在双光梳测距系统中的测距信号容易受噪声影响，从而影响测距精度。2015年天津大学梁飞、师浩森[8]等人研究了量子噪声对双光梳测距结果以及测量精度的影响，通过理论分析以及实验证明了激光器量子噪声、重复频率的稳定性以及数据采集与处理都会影响测距精度。在使用希尔伯特变换算法对双光梳测距信号进行包络提取时，由于实验过程中激光器的相位噪声、光强波动、重复频率的稳定性以及实验环境都会对干涉条纹产生影响，所得到的包络毛刺较多，包络不够平滑，影响最终的测距精度[10]。

而有着“数学显微镜”之称的小波变换算法[11]具有多尺度分析的特点，应用的领域也十分广泛，经常用来进行信号分析。小波变换突破了传统傅里叶变换(FFT)的时频局限性，通过选取不同的小波基函数可以有效在不同分辨率下对信号进行分层分析，可以有效地抑制噪声对包络提取的影响，得到更加理想的包络线。1997 年张绪省[12]分别讨论了希尔伯特变换与小波变换在信号包络提取方面的应用，并进行了分析与对比，说明了小波变换在提取非稳定信号包络方面更优于希尔伯特变换。

2 双光梳测距原理

双光梳的绝对距离测量实验原理如图1 所示。实验采用两台重复频率异步锁定的本振光梳(LO)与信号光梳(Signal),LO的频率为fr1，Signal的频率fr2，两台激光器的重复频率差为Δfr。信号光经过分束镜分成两份，分别在参考镜(Reference)与目标镜(Target)发生反射返回光脉冲信号，两束光返回的时间延迟Δτ对应着距离信息如公式(3)。两束返回光分别与LO 互相干涉，产生两个干涉图(一个由Reference 的反射光与LO 产生，另一个是Target 与LO 产生)。为了从干涉图中提取距离信息，可以利用具有Δfr的重频差的LO 激光器对Signal 信号激光器通过参考镜与目标镜反射回来的光脉冲进行线性光学采样，然后通过包络提取算法找到干涉图的包络线，在对包络线进行高斯拟合并得到包络线的峰值点位置。

图1 双光梳的绝对距离测量实验原理图

基于非线性强度互相关的异步光学采样信号如图2所示，经参考镜与测量镜反射回来的信号与本振脉冲发生干涉，会生成周期性的干涉信号，周期如下式：

图2 非线性光学异步采样时域干涉图

式中：本振信号分别与参考信号以及测量信号干涉产生固定周期ΔT的干涉信号，时间延迟Δτ经异步光学采样后被放大为干涉信号包络峰值间隔Δt:

与目标镜和参考镜的之间的距离差D成正比。

相对于飞行时间法，双光梳测距法将时间间隔放大了fr1/Δfr倍，将纳秒量级Δτ放大到微秒量级Δt进行计算，从而提升测量的精度。

飞秒锁模激光器所发射的光脉冲要考虑重复频率fr的锁定以及载波包络偏移频率fceo的变化情况。当脉冲在介质中传播时，由于色散的作用，导致相速度和群速度不一样，使光脉冲在谐振腔内往返一周后脉冲包络相位与其载波相位之间会产生相位差Δφ，在时域上表现为载波与包络的峰值不重合如图3。而实验中未对fceo进行锁定，所以在基于飞行时间法的双光梳绝对距离测量计算过程需要对载波信号进行包络提取，找到包络的峰值点并计算距离。

图3 飞秒激光频率梳时域示意图

3 包络解调方法

3.1 希尔伯特变换包络解调算法

一个实信号f(t)通过希尔伯特变换后(Hilbert)定义为：

式中∗表示卷积运算。

则f(t)解析信号s(t)为：

所以s(t)的幅值：

解析信号s(t)的振幅G(t)便是原信号f(t)的包络线，解析信号s(t)的相位就是原信号的相位。

对(6)式进行傅里叶变换：

其中f(ω)是原信号f(t)的傅里叶变换，sgn(ω)为符号函数。可以看出解析信号s(t)实际是滤除了原信号在频域部分的负频成分，只保留了正频部分，且幅值增大为原来的两倍，所以Hilbert 变换算法提取非平稳信号的包络时，容易受噪声影响，毛刺很多，而且包络线不够光滑，存在大量高频部分，影响包络提取的精度。

3.2 小波变换包络解调算法

3.2.1 小波变换理论

小波变换继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，可以在不同分辨率对信号进行分层分析。所谓小波变换就是通过对母小波函数ψ(t)进行一系列伸缩与平移变换后得到的不同尺度的小波系数。设尺度(伸缩)因子a,平移(位置)因子b,则其伸缩平移后得到的函数形式：

这里的母小波ψ(t)满足，通过对母小波伸缩来实现动态分辨，当a减小时，频率变高，时域分辨率变高，频域分辨率降低。反之，增大a，频率降低，时域分辨率降低，频域分辨率升高，所以小波变换被誉为“数学显微镜”。

对于信号f(t)，其小波变换的定义为：

由公式(9)可知基函数会在某种尺度下与信号相乘得到一个最大值，因为此时两种信号有一种重合关系，那么就可以得到该信号所包含的频率成分。因此便于我们分析非稳定信号。

3.2.2 Morlet小波包络解调算法

因为复Morlet 小波[13]在表达式上与双光梳干涉信号相似，二者都是具有高斯包络的调制信号，所以选择复Morlet小波作为小波变换的小波基函数。该小波基函数表达式如下式：

其中fc是小波中心频率，fb小波带宽参数。

复Morlet 小波是一种常用的复数小波，是由法国J.Morlet等人提出，是一种复余弦调制的Gaussian 小波。对Morlet 小波实部与虚部分别做傅里叶变换：

由公式(11)、(12)可以看出复Morlet 小波实部与虚部具有相同的频率成分，两者相位差90°，两者具有正交关系。根据信号解调理论，如果两个信号幅值相同，相位相差90°，可以通过解调的方法找到其中的幅值分量。根据公式(9)对双光梳测距信号f(t)进行复Morlet小波变换得到：

所以信号的包络线为：

其中WfRe为经过小波变换后小波系数的实部，WfIm为小波系数的虚部，二者具有正交关系。随着尺度参数与位置参数的不断变化，当小波函数的频率与信号的某个局部位置的频率接近时，此时两者的相关程度最高，从而求得信号的包络线。

4 实验与结果分析

此次实验采用两台互相独立的掺铒光纤激光器，重复频率为150MHz，两台激光器的重频差约为3kHz，使用光电探测器(Photo Detector，PD)接收采样信号，示波器的采样率为250MHz，在50ms的采样时间内，对150组数据进行结果分析。

实验过程中，首先需要对采样信号进行降噪处理。本次实验中采用小波降噪算法，小波降噪的主要思想为对小波分解后的各层小波系数中模值大于或者小于某阈值的系数进行量化，然后对量化后的小波系数进行重构，重构后的信号就是去噪之后的信号。实验中选择合适的小波基函数、分解层数、阈值以及阈值函数对降噪的效果都极为重要。

实验是使用Matlab工具对采样信号进行处理，Matlab是一个包含大量算法的集合，方便用户实现所需各种计算功能。利用Matlab中的小波分析工具箱，选择小波函数以及分解层数后便于人们直观地对信号进行分析与处理。

对重构后的信号进行包络提取，能够进一步提升精度。通过与不同包络提取算法进行对比，结果表明，小波变换包络提取算法在双光梳测距信号中，能够适应不同波形的信号，且包络线较为平滑，精度较高。

将双飞秒光学频率梳绝对距离测距实验采集的数据导入Matlab中，图4为采样信号以及重构后的信号。

图4 采样信号与重构信号

由图5可以看出，希尔伯特(Hilbert)算法提取包络线会有很多毛刺，不够平滑，影响包络线的精度。Envelope 函数是通过找到峰值点，然后对峰值点进行样条插值使包络线更加平滑，但这种方法提取的包络线易受采样信号中干涉条纹峰值点影响，而且由于实验采样数据较多，调用该函数计算时间较长。相反小波变换在双光梳测距信号的包络提取方面能够不仅能降低噪声对提取包络的影响，而且调整小波中心频率以及带宽参数后，可以适应各种不同形状的载波信号，对包络线的提取的精度相较其他包络提取方法也较高。

在提取包络线后，通过高斯拟合，进一步提高包络线的平滑度，然后找到包络线的峰值点，计算参考信号与测量信号之间的时间间隔。表1是不同包络提取算法在不同时间内的Al‐len方差结果。对比三种方法的结果可以发现小波变换算法在提取双光梳测距信号包络方面可以获得更好的效果。

由图中可以看出，希尔伯特(Hilbert)算法提取包络线会有很多毛刺，包络线不够平滑，影响数据精度。Envelope 函数是通过找到峰值点，然后对峰值点进行样条插值使包络线更加平滑，但这种方法提取的包络线易受采样信号中干涉条纹峰值点影响，而且由于实验采样数据较多，调用该函数计算时间较长。相反小波变换在双光梳测距信号的包络提取方面能够不仅能降低噪声对提取包络的影响，而且调整小波中心频率以及带宽参数后，可以适应各种不同形状的载波信号，对包络线的提取的精度相较其他包络提取方法也较高。

在提取包络线后，通过高斯拟合，进一步提高包络线的平滑度，然后找到包络线的峰值点，计算参考信号与测量信号之间的时间间隔。表1是不同包络提取算法在不同时间内的Al‐len方差结果。对比三种方法的结果可以发现小波变换算法在提取双光梳测距信号包络方面可以获得更好的效果。

表1 不同包络提取方法的双光梳绝对距离测量Allen方差

图5 是通过对重构信号经过不同算法提取包络信号的效果图：

图5 不同算法包络提取结果示意图

5 结论

本文提出的基于小波变换(采用复Morlet小波)的双光梳测距信号包络线提取方法，通过与希尔伯特变换(Hilbert trans‐form)包络解调算法以及Matlab 中Envelope 函数提取信号包络的方法进行对比实验，验证了小波变换具有更好的抗噪特性，能够很好地提取双飞秒激光测距信号的包络线。而且通过对小波降噪处理后信号进行包络线提取能进一步提升测距精度。