奇异摄动Volterra积分微分方程的分段Legendre谱配置方法*①

王子程，杨焕枫，隆广庆

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

1 引言

考虑如下的奇异摄动Volterra积分微分方程(简称SPVIDE)：

(1.1)

其中0<ε≤1是摄动参数,a(t),K(t,s)和g(t)都是光滑函数，并且存在常数α和α*使得α*≥a(x)≥α>0.在这些条件下,上述SPVIDE问题有唯一解.

SPVIDE是应用数学和工程问题中受到密切关注的研究对象,广泛出现于生态学、 医学、 物理学、 生物系统等研究领域[1-4].SPVIDE的高阶导数项包含有小参数ε，这导致SPVIDE的解在边界层快速变化,因此在均匀网格上的一般的数值方法很难求得其精确解,所以研究这类方程的数值方法十分重要.

近二十多年来,关于奇异摄动微分方程的数值方法的研究引起了人们的兴趣.一些学者研究了求解奇异摄动微分方程的有限元方法,其主要研究进展为:文[5,6]提出并分析了具有弱奇异核的第二类Volterra积分方程组的谱配置近似方法.文[7]采用局部细化网格和增加分段多项式次数的方法,设计求解奇异摄动Volterra积分微分方程hp型间断Galerkin方法的数值格式,数值结果计算表明,节点处hp型间断Galerkin解具有与奇异摄动参数无关的一致指数收敛.

在奇异摄动微分方程的有限元方法受到关注的同时,求解奇异摄动微分方程的有限差分方法也受到了一些学者的青睐.文[8]讨论在任意非均匀网格下的一类带参数的非线性奇异摄动问题的自适应移动网格方法,证明半离散格式自适应移动网格算法是一阶收敛的.文[9]研究了一种具有边界层的奇异摄动Volterra积分微分方程的自适应网格方法,所提出的自适应网格方法对摄动参数是一阶均匀收敛.文[10,11]提出在细网格应用中心差分和在粗网格应用中点差分算子的数值计算方法,所提出的方法对SPVIDE具有二阶一致收敛性.文[12]研究了非线性奇异摄动Volterra积分微分方程在任意非均匀网格上使用隐式有限差分离散格式.

目前关于奇异摄动Volterra积分微分方程数值方法的研究相对较少,特别是关于精度较高的谱配置方法.因此本文考虑如下奇异摄动Volterra积分微分方程的谱配置法.

(1.2)

方程(1.1)为

(1.3)

其中

(1.4)

2 Shishkin网格的构造和分段Legendre谱配置法

2.1 S-网格的构造

首先,将求解区间[0,T]分为边界层部分[0,σ]和光滑部分[σ,T],其中σ=min{1/2,(2/α)εlnM},M为偶数.然后将区间[0,σ]和[σ,T]都M/2等分,可得如下的Shishkin网格:

其中网格节点xi定义为

2.2 分段Legendre谱配置法

第一步:求配置点

首先,为了能够得到配置点,将区间[0,T]映射到[-1,1],网格节点为

ημ=2xi-1,μ=0,1,…,M.

其中子区间δμ=[ημ,ημ+1]⊂[-1,1],η0=-1,ηM+1=1,则子区间的步长为hμ=ημ+1-ημ,μ=0,1,…,M.设配置点为

其中xi是Legendre Gauss-Lobatto 配置点.

第二步:插值逼近

在区间[ημ,ημ+1]上构造如下的插值函数来逼近u(x)：

第三步:求解积分项

(2.1)

(2.2)

方程(2.2)可以写成

(2.3)

为使用Gauss求积公式求解积分项,作以下变换:

设

zr(v)=z(ηr,ηr+1,v),v∈[-1,1],r≥0.

由Gauss求积公式得

(2.4)

其中vk是区间[-1,1]上的Legendre Gauss-Lobatto点,ωk是对应的权函数,k=0,1,…,N.将方程(2.4)简化成

(2.5)

其中

Fj(v)是在[-1,1]上的Legendre Gauss-Lobatto点的第j个Lagrange插值基函数.

第四步:求解方程组

(2.6)

故(2.6)可由以下方程逼近：

(2.7)

其中

从而在S-网格下,联立(2.5)、(2.7)，得

(2.8)

其中

将(2.8)的第二个方程代入第一个方程,得

3 数值实验

例3.1考虑问题

其中f(t)=εcost+(2+t)sint+(t-2tε+ε2)exp(-t/ε)+t-2tcost+εt-ε2.问题的精确解为v(t)=sin(t)+exp(-t/ε).

例3.2考虑问题

其中f(t)=-ε/(1+t)2+1/(1+t)+tε(1-exp(-t/ε))+tlog(1+t).问题的精确解为v(x)=exp(-t/ε)+1/(1+t).

为验证分段Legendre谱配置方法的有效性,我们对这两个例子进行数值实验.以N=2为例,表1和表2分别列出了ε和M的不同值对例子进行计算得到的最大误差.由表2可见,当参数ε和N固定时,随着剖分段数M的增大,误差逐渐减小.为了更直观地比较数值解与精确解,我们取ε=10-10,N=2,M=128进行了数值模拟,例3.1和例3.2的数值解和精确解的曲线分别如图1和图2所示.数值模拟结果表明,该方法能达到较高的精度.

由图3和图4可知，本文所提出的数值方法在Shishkin网格上是一致收敛的.这些结果还清楚地表明该数值方法几乎达到二阶收敛.

表1 例3.1的数值结果(N=2)

表2 例3.2的数值结果(N=2)

图1 例3.1的数值解的曲线图

图2 例3.2的数值解的曲线图

图3 例3.1的误差图

图4 例3.2的误差图

4 结论

本文运用分段Legendre谱配置方法求解奇异摄动积分微分方程：首先将区间[0,T]映射为标准区间[-1,1],然后使用插值逼近所求函数u(x)及其导数u′(x),接着利用Gauss求积公式求解积分部分,得到在Shishkin网格上的离散格式.数值实验结果表明，该方法具有较高的精度.