化归转化思想在三角恒等变换题型中的应用

⦿甘肃省庆阳市镇原县第二中学

王 东

1 引言

三角变换中利用化归转化思想将复杂的三角函数问题化为形如f(x)=Asin(ωx+φ)+b简单易求解的函数模型.这类题型的设计往往为以下几种情况：结合三角函数求最大(小)值，利用实际问题构建函数模型解决问题，利用向量的运算求解角度或结合解三角形求边长等.熟记公式并灵活应用是解决此类题型的关键.

2 例题分析

分析：题目中给出的函数名称不同，而且次幂也不相同，所以我们要做的首先就是把高次幂函数降幂，其次把不同名的函数转化为同名函数.这类题型的解题思路就是逆用二倍角公式，结合辅助角公式将函数化归为f(x)=Asin(ωx+φ)+b形式，进而求得函数的最值.

图1

例2如图1，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上.当点C在什么位置时，这个矩形的面积最大？此时∠AOC等于多少度？

在Rt△FOC中，利用三角函数可得

FC=sinθ·OC=sinθ，OF=OC·cosθ=cosθ.

在Rt△OED中，

SEFCD=EF·FC

点评：此类题型的新颖之处在于，借助图形利用角的三角函数值表示未知边，通过面积公式构建函数模型，从而利用三角恒等变换解题.

分析：该题中利用两个平行向量的坐标关系建立等式是解题的突破口.利用三角形的内角和等于π这个隐含条件以及角的恒等变换可得sin(A+C)=sinB，再利用二倍角公式和同角的正余弦商的关系，可求得角B的大小.

在三角形ABC中，A+C=π-B，所以

点评：和差角的正余弦公式、二倍角公式等的源头是向量数量积的坐标的运算，所以借助向量的数量积、平行或垂直向量的坐标运算构建三角函数(或方程)模型是比较常见的命题方式，需要同学们构建相应的知识体系.

分析：这道题本质在于利用余弦定理解三角形，知道a,c两条边长，只需要借助转化与化归思想化简函数f(x)，求得a,c两边的夹角B，就可以利用b2=a2+c2-2ac·cosB，可求得b的值.

解：根据题意，得

所以,b=1.

点评：在函数模型的应用中求解三角形角度问题，一定要注意对角度范围的讨论，有时还需要进行分类讨论.

3 结束语

解决形如f(x)=Asin(wx+φ)+b的函数模型问题，教学中我们要强化基础知识的记忆——和差角的正余弦公式、二倍角公式、降幂公式以及辅助角公式，并合理利用这些有力工具来提升学生解题的基本技能，在学与练的过程中形成基本活动经验并产生基本思想[2].所以，教师要指导学生对某类题型模型化解题思路的整理，并在解题和应用方面不断灵活“切换”.