例谈含参数问题的运算优化策略*

⦿启东市教师发展中心

沈 辉

1 引言

含参数问题主要考查函数的单调性、最值和分类讨论思想，是高考、模拟考试中重要考点.如果方法选择不当，计算起来会比较复杂，甚至做不下去，或出现遗漏等情况.本文主要谈谈几个含参数问题如何回避讨论，或降低讨论难度的方法.

2 运算优化策略

2.1 特殊值法——局部缩小

综上得，a=e.

点评：如果由f′(x)的表达式研究函数的单调性讨论其最小值,则需分①2a≤1,②1<2a

例2(2008年江苏高考卷第14题)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=.

解析：由f(1)=a-2≥0，f(-1)=-a+4≥0，解得2≤a≤4.

故a=4.

点评：本题若化为fmin(x)≥0,但在求f(x)的最小值时需要对a分大于、等于、小于0三种情况讨论，计算繁琐，小题大做.利用上述特值限定参数范围,则无需讨论,简洁明快.

2.2 参变分离——避免讨论

方程有解(函数存在零点)、不等式恒成立、不等式存在性等含参数问题，很多情形下可以把参数和变量分离，将式子变成其中一边不含参数的形式，从而避免讨论.

例4(2014年江苏卷第19题第Ⅱ问)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围.

解：由mf(x)≤e-x+m-1，得m(ex+e-x-1)≤e-x-1.

因为ex+e-x-1≥2-1>0，所以

评注:上述例3、例4两题分别是含参数的方程有解问题和不等式恒成立问题,采用参变量分离法,避免了分类讨论.

2.3 转换视角——选择主元

例5(2012年浙江理第22题第Ⅱ问)已知a>0,b∈R，函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.

证明：当0≤x≤1时，f(x)+|2a-b|+a≥0.

分析：要证f(x)+|2a-b|+a≥0，即证4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0.注意到不等式左边含有x，a，b三个字母，如果把它们看成地位相当的三个变量,几乎无处发力，很难展开研究.所以需要根据题目结构特征，人为划分主从地位，选择适当变量作为主元.本题如果将x看作主元，字母a，b当作参数，则不等式左边是一个关于x的三次函数，研究起来较繁.换一个研究视角,将字母b看作主元，这样不等式左边就是一个关于b的一次分段函数，且每段的单调性很容易得出.选择字母a为主元，虽然也是一次分段函数，但每段的单调性还需讨论.

又a>0,故gmin(b)≥0，即4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0得证.

例6( 2014年江苏苏北四市二模15)设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R).若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意的x∈R,t∈[-2,1]恒成立, 求实数m的取值范围.

分析：本题含有x，m，t三个字母，如果视三个字母地位相等，平均使用力气，则无助于解决问题.读题后发现，可以先把x看成变量，m，t看成常量，逐个击破.

解：设g(x)=f(x)+f(-x)=log4(4x+4-x+2)≥log44=1，则由题意得mt+m≤gmin(x)=1.

所以，问题转化为“mt+m≤1 对∀t∈[-2,1]恒成立，求m的取值范围”.这时，就可以把t看成变量，把m看成参数，则把mt+m≤1看成关于变量t的一次函数(m≠0时) .

评注:解答上述一类含多个参数的问题,关键是对变量和参数关系的转换.而变量和参数是相对的，在一定条件下可以相互转换，需依次进行，逐次变化，体现了事物是联系、变化、发展的辩证观.

2.4 整体思想——消元减参

有些含多个参数的分类讨论问题，如果是从局部出发，看成是几个不相干的变量来处理，则难以奏效或计算冗繁.因此，需要调整视角，把一些关于多个变量的代数式作为一个有机整体，对整体结构进行全面深刻地分析改造，找到解决问题的途径和办法.

分析：根据两点之间线段最短，可以得到a,b,c之间满足一些不等关系，利用这些不等关系，逐步缩小，最后化成一元问题解决.

2.5 数形结合——形象直观

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在含参数问题的处理中，如果从“数”的角度解答困难，不妨转换角度，从“形”入手，根据数的几何意义，画出图形，数形结合的思想往往能起到重要的作用，便于解答.

例8(2014年天津第14题)已知函数f(x)=|x2+3x|，x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______.

解析1：显然a>0.

如图1，当y=-a(x-1)与y=-x2-3x相切时，a=1，此时f(x)-a|x-1|=0恰有3个互异的实数根.

图1

图2

如图2,当直线y=a(x-1)与函数y=x2+3x相切时，a=9，此时f(x)-a|x-1|=0恰有2个互异的实数根.

结合图象可知，a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).

图3

3 结语

含参的数学问题是高中各级各类考试中常见的题型，解决的通法是对参数的取值进行分类讨论.但有时候通过分类讨论去解决，情况多，计算量大，学生解答思维混乱，容易卡壳或算错.上面探讨了几种转化方法优化运算解决参数问题的策略.因此，在让学生掌握通性通法的基础上，还要教会学生根据不同的条件具体分析，充分理解参数的意义及参数与主元的关系，对症下药，找出灵活有效的解决办法.