“七彩阳光”2022届新高考研究联盟——道试题的探究

⦿甘肃省张掖市临泽县第一中学

刘 义

1 引言

解三角形问题能自然合理交汇与融合代数关系式变换，以及函数与方程、三角函数、平面几何与平面解析几何、基本不等式、导数等相应的数学基本知识，背景简洁明了，思想方法丰富，技巧策略多样，能很好考查考生的数学基础知识、思想方法和数学能力，提供考生更多的机会与空间，充分展现学生的能力水平，倍受各方关注.

2 问题呈现

本题是一道涉及解三角形的最值的综合应用问题，通过给出三角形的面积，求解涉及三角形三边的代数关系式的最值.此类问题是近几年高考数学试卷中的一个热点，主要考查解三角形的相关知识，如正弦定理，余弦定理，面积公式等，同时交汇三角函数、基本不等式、函数与方程、导数等相关问题.

3 问题破解

思维视角一：三角函数思维.

点评：根据题目条件，结合三角形的面积公式加以转化，通过正弦定理化边为角的关系式，利用所求代数关系式的通分以及恒等变换，结合余弦定理与正弦定理转化为角的关系式，利用辅助角公式变形，利用三角函数的图象与性质确定最值.

点评：根据题目条件，结合三角形的面积公式加以转化，通过余弦定理的应用与关系式的变形，从另一角度将所求的代数关系式转化为同一角的三角函数关系式，结合辅助角公式的应用，利用三角函数的图象与性质确定最值.利用代数关系式的特征，巧妙合理变形，从而实现等量代换与变形，思维视角不同，方法技巧类似.

点评：根据题目条件，结合三角形的面积公式加以转化，通过余弦定理的应用与关系式的变形，同样可以将所求的代数关系式转化为同一角的三角函数关系式，结合辅助角公式的应用，利用三角函数的图象与性质确定最值.不同的公式应用与视角切入，抓住化边为角，转化为同一三角函数关系式，进而利用三角函数的图象与性质确定相应的最值.

思维视角二：坐标思维(坐标法).

根据基本不等式，可得

点评：通过构建平面直角坐标系，结合点的坐标，利用三角形的面积公式确定点C的坐标，通过两点间的距离公式的应用，通过关系式的恒等变形以及换元处理，利用基本不等式来确定相应的最值.

思维视角三：函数思维(导数法).

化简整理得4c4-6(a2+b2)c2+3(a2-b2)2=0，解得

点评：利用海伦公式用边的关系式来表示三角形的面积，通过关系式的转化，构建涉及c2的方程并加以求解，进而用涉及另两边的关系式来表示所求的代数关系式，通过换元处理，构建对应的函数，利用函数求导，结合导函数的零点来确定对应函数的最值.利用导数法求解最值时，关键是构建对应的函数，合理地换元处理为导数法求解提供条件.

4 变式拓展

探究1保留题目创新情境，简化求解代数式，使得问题更加简单快捷，难度中等偏下，较原题难度有所下降，比较适合大部分同学.

故填答案：4.

探究2保留题目创新情境，改变代数关系式，化减号为加号，从最值的另一个角度来求解，知识点考查的难度与原题相当，难度中等.

5 解后反思

(1)思路归纳，策略总结.

解三角形问题的一般思路有以下两种：①代数角度，利用正、余弦定理，寻找关于角或者边的关系进行合理化简.有时也可通过建立平面直角坐标系，将问题转化为函数最值问题进行求解.②几何角度，借助平面几何知识，寻找图形中蕴藏的几何关系，结合逻辑推理、数学运算等来分析与求解.

(2)最值问题，方法担当.

破解解三角形有关的求值与最值问题，关键是对已知条件的分析，从代数角度切入，将边角关系利用正、余弦定理进行转化.利用正弦定理化角，往往会结合三角恒等变换公式以及辅助角公式，转化为三角函数的值域问题；利用余弦定理化边，往往结合基本不等式和三角形三边关系进行求解；利用平面几何图形的变化规律，通过极端思维或端点效应来确定相应的最值问题.