以题生题 构建框架 高效复习——“圆与角平分线”生长型复习课的教学设计与思考

湖北省武汉市吴家山第二中学 李幽兰 董冲冲

湖北省武汉市吴家山第三中学 阮 征

1 引言

圆是拥有最完美对称性的平面几何图形，也是初中阶段学生需要掌握的基本图形.本研究为笔者主讲的一节人教版九年级上册数学“圆与角平分线”生长型复习课的教学设计，从一道课本经典例题出发，根据所要复习的知识内容和学生已有的认知经验，践行“生长数学”的教学主张，通过“变图形”“变条件”“探结论”来体现知识的生长性，架设生长型路径，深化基本图形及其应用，构建知识框架，提升学生思维能力和几何素养.

2 “圆与角平分线”生长型复习课的教学设计

2.1 内容和内容解析

2.1.1 内容

通过对一道课本上关于圆的典型例题的深度挖掘与加工，复习圆的性质及探讨圆中角平分线的应用.

2.1.2 内容解析

本节课将从人教版教科书中的一道例题出发，深度挖掘该例题中线段的数量关系、线段位置关系、角的数量关系、面积关系等等，通过一系列“问题串”，以“一题一课”的模式组织教学，通过添加线段设置变式，将问题循序渐进层层推进，所设计变式涵盖圆周角、圆心角、弧长、旋转、内心、隐圆等知识，达到复习的目的和效果.

基于上述分析，确定本节课的教学重点为：深度挖掘课本习题，并通过变式训练复习圆的计算与证明中常用的思想方法.

2.2 目标与目标分析

2.2.1 目标

(1)进一步加深对圆中的基础知识的理解与应用，如圆的对称性、圆周角、圆心角、弦、圆内接四边形等.

(2)掌握圆中的一个基本图形及其基本结论，并能在复杂的图形和问题中加以运用，培养学生的数学建模能力和逻辑推理能力.

(3)通过对课本问题的层层探究，培养学生发现问题、研究问题的能力.

2.2.2 目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能说出圆周角定理、圆心角定理、圆的对称性等，并能够利用它们分析问题.

达成目标(2)的标志是：学生能够说出该基本图形的几何特征，以及它所包含的基本结论，并且能够从复杂图形中抽象出基本图形，并利用基本图形解决复杂问题.

达成目标(3)的标志是：学生能对课本上的基础问题进行适当改编，设置变式，从而获得更多更好的结论.

2.3 教学问题诊断分析

课本例题本身难度较低，学生易产生轻视感，从而导致缺乏解题后的归纳总结与反思，导致在解决较为复杂的问题时，不能熟练地进行知识迁移，不能用基础图形有效缩短条件与结论之间的距离.所以本节课教师要带领学生充分挖掘课本例题所提供的基本图形，并且引导学生在遇到复杂问题时，联想到已经解决的问题，从而打开解题的思路.

基于上述分析确定本节课的教学难点为：课本习题的总结归纳，变式训练的逻辑推理，以及对基本图形的抽象与应用.

2.4 教学过程设计

2.4.1 导思求学，引入例题

师：问题是数学的心脏.好的数学问题就像会下金蛋的母鸡，可以带给我们无尽的思考与收获.那么，好的问题从何而来呢？我们课本中就有很多这样好的问题.

例题(教材第87页例4)如图1，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.

图1

师生活动：学生独立完成.由勾股定理、圆周角定理、圆心角定理易求出.

2.4.2合作探究，深挖例题

问题1：从这个基本图形(图1)出发，你能得到哪些几何结构和度量性质(角度、线段长度、线段数量与位置关系、面积等)？并说明理由.

基本图形基本结论基本知识1.角度:∠ =∠ =90°,∠ =∠ =∠ =∠ =45°,……2.弧长:孤长:AD(= (= 3.线段:(1)位置: ⊥ , ⊥ ,……(2)长度:CD= (3)数量关系:AB= AO= AD= BD,AC+BC= CD,……4.面积:S四ABCD= 5.图形:△ABD是 三角形,圆具有 性

师生活动：学生独立完成，小组讨论，鼓励学生上台展示及讲解多种方法.教师引导学生发现基本图形，总结一般辅助线和解题方法：作垂线和补短法(旋转法).

问题2：如图2,作∠BAC的平分线AE交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，CE.例题中其他条件不变.你能求出AE的长度及四边形ACEB的面积吗？

图2

师生活动：学生独立完成，小组讨论，学生上台展示及讲解.教师点拨并补充，引导学生比较和发现问题1与问题2之间的联系.

问题3：如图3,连接BF，在问题2条件下探究：

图3

(1)点F是△ABC三条的交点，是△ABC的；

(2)∠AFB=；

(3)请直接写出AD,BD,DF之间的数量关系：；

(4)请写出点A,B,F与点D之间的关系：.

(5)你还能写出其他结论吗？

师生活动：引导学生探究隐圆及相关性质.

设计意图：对课本例题深挖和推理的过程，也是在回顾圆的基本概念、性质、定理,以及角平分线模型常见解题方法的回顾与巩固.教师在几何画板中演示动点运动过程，学生在教师的引导下进行探究和积累经验，为后面解决复杂问题做好准备，提供“脚手架”.

2.4.3 变式拓展，应用提升

(2019武汉中考第9题)如图4，AB是⊙O的直径，M,N是弧AB(异于A,B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C,E两点的运动路径长的比是( ).

图4

设计意图：本题为2019年武汉市中考数学卷第9题，它与课本例题基本图形十分吻合，出自课本，又高于课本.前面对课本例题的深挖和探究，为其做好充足的铺垫，学生在解决问题时会容易找到思路和切入口，提高图形感知能力和图形抽象能力.

2.4.4课堂总结，温故知新

本节课你有哪些收获？

2.4.5板书设计

基本图形基本知识圆心角、圆周角、弧长、内心、隐圆……基本方法垂线段法、旋转法(补短)、连半径……

3 生长型复习课的教学思考

3.1 重视课本典例挖掘，探究题目变式拓展

学生在前面已经学习过圆的基本知识与性质，以及角平分线邻边相等对角互补的基本图形，然而这些知识是零散的.课本中许多题目都极其经典，值得我们教师去钻研深挖它的变式，将它们联系起来，产生新的知识火花，学生根据教师搭建的立体式、生长型构架中的“梯子”，重新认识所要复习的知识，并通过知识的生长过程，看清数学本质，达到一定的认知高度，形成“一览众山小”的体验，切实提高解决问题的能力，进而提升数学素养.

3.2 重视引导思考方向，合理把握思考空间

好的问题可以引导学生思考的方向，学生从中得到启发.问题1中给出表格，学生需要在表格右侧填写出相应结论所链接的与圆相关的知识，并思考理由，既保留学生思维的开放性和探索力，又避免学生没有方向和盲目摸索；既是复习旧知识，又是构建新的知识结构；既指引学生思考的方向，又留有思考的空间.问题1和问题2存在图形和方法上的类比和迁移，问题2 中设计上没有再让学生去发现和回顾，而是目标明确，直接思考和求解两题中相关联的问题，体现课堂高效以及符合学生思维特点.

3.3 重视学生思维主体，引导学生积极探究

教师在课堂上整体把握学生的生长空间，关注学生思维发展的一个个节点，也就是思维的转折点、变化点、发展点这些关键点就像甘蔗一样，它会留下一串串生长节.学生的生长起点是思维的出发点，它是由学生现有的基础和经验决定的，终点是思维的落脚点，它是由生长目标、发展方向决定的.问题3中合理地拓展到三角形内心，探究4个动点的关系，引导学生思考和探究圆与隐圆之间的关系，将一个较难的问题在一个个阶梯式的设问中恰当自然地呈现出来，学生在参与课堂活动的过程中，提升自己的思维能力和数学核心素养，实现自己的主体地位.

4 结语

教师应钻研教材，深挖典型例题，设计螺旋式变式题目，研究教法和学生，将“教”与“研”结合，从学生的认知出发，为思维发展铺垫阶梯，让学生达到这一阶段思维的终点.