意外的解法引起的思考

湖北省武汉市七一中学 马仕雄

1 引言

几何类比探究题一般作为整个试卷的几何压轴题，试题设置层层递进，逐步深入，往往以常见的几何模型为背景探索一个基本结论，然后类比探究到较为复杂或缺失某些条件的图形，利用解题积累的经验，运用或构造数学模型解决问题.这类题考查从特殊到一般、类比思想，考查逻辑推理、几何直观、想象能力、创新精神等.在一次中考模拟测试中，学生对一道类比探究型的解法引起了笔者的思考.

2 试题呈现

(1)【特殊发现】如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，连接BD，过点A作AF⊥BD，交BD于点E，交BC于点F，若BF=1，BC=3，则AB·CD=；

图1

(2)【类比探究】如图2，在线段BC上存在点E，F，连接AF，DE交于点H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD，求证：AB·CD=BF·CE；

图2

(3)【解决问题】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM∥BC，在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H，使∠FHC=∠ABC，问：DF·BC是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

图3

3 试题解答

解：(1)3；

(3)因为AB=AC，DF∥BC，所以∠ACB=∠ABC=∠ADM=∠AMD，于是AM=AD.又因为AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，所以AE=2，AM=AD=1，AC=4.因为∠FHC=∠ABC，所以∠ACB=∠FHC，即∠EBH+∠HBC=∠HBC+∠BCE，得∠EBH=∠BCE.同理可得∠ACE=∠HBC.

解法1：如图4，在DA的延长线上取点S，使∠S=∠ADF.由AB=AC，DM∥BC，可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB=∠FMC=∠S.

图4

所以SB·BE=SD·AB.

依题意得AD=DE=1，BE=2，所以2SB=4SD，即SB=2SD.

所以SD=BD=3，从而SB=6.

则SF·BC=6×2=12，即DF·BC=12.

解法2：如图5，延长CE于点S，使ES=CE，连接BS，AS，则四边形ASBC为平行四边形.过点F作FT∥AB交BC于点T，则四边形FDBT为平行四边形，∠FHC=∠ABC，∠SBC+∠ACB=∠ABC+∠FTC=∠FHC+∠SHF=180°，所以∠SBC=∠FTB=∠SHF，所以△BSC∽△TBF，所以BS·FT=BT·BC，又BS=AB=4，BD=FT=3，所以BS·FT=DF·BC=12.

图5

图6

图7

图8

图9

图10

4 教学思考

4.1 强化类比思路

显然，解法1和解法2是命题者希望看到的方法，但在实际测试中班上48人中有35人做出了第(3)问，而用解法1和解法2的学生只有9人.这一现象引起了笔者的思考，为什么学生没有按命题者设计的思路思考问题呢？题目要类比什么？怎样用类比来探究问题？可以发现，类比的不仅是几何模型，还有证题方法和解题思路.解决问题的关键在于模型的识别，要找出待解决的问题和几何模型的相同点与不同点，待解决的问题中有没有此几何模型中的基本特征，如果有，结论是什么？如果没有，缺什么？需构造什么？如何构造？这就需要学生发挥想象力，展开联想.为此在原题的基础上设计了一道补偿练习题训练学生类比探究的思路.

图11

(2)如图12，在等边△ABC中，点E，D分别在边AB，BC上，连接AD，CE交于点V，且AE=BD，过点D作DF∥AC交CE的延长线于点F，若BD=1，CD=3，求DF的长.

图12

图13

图14

4.2 培养解题习惯

在教学中应加强学生的阅读能力和解题意识的培养.注重审题、阅读习惯的培养，解题时不要孤立地去思考问题，应将思维过程基于基本模型识别和应用之上,注重问题的前后关联，运用类比思想简化解题思路.这个过程需要教师的引导，更需要学生的领悟.

对于类比探究型的几何综合题的教学，教师要选取切合学生思维的最近发展区，而且导向性明确的试题，让学生能合理、自然地类比探究，在潜移默化中提升思维能力.Z