小学数学运算教学中高阶思维培养浅谈

曾 焕，王少平

（广东省深圳市盐田区云海学校，广东 深圳 518083）

运算能力作为小学数学学习中的关键能力，其主要特征包括“正确运算、理解算理、方法合理”三个方面。从曹培英教授关于运算能力的“四面体结构模型”可以看出（如图1）：基本口算是基础，算理和算法是运算能力的一体两翼，不可有偏颇。

图1 四面体结构模型

但在小学阶段的实际教学中，“运算教学”时常被片面地认为是一种纯粹的“技能训练”，这显然是错误的。从学生发展的角度看，仅靠大量机械训练形成的计算技能，只是一种短暂认知，不利于学生的长远发展。而实际运算教学中大量的分析比较、抽象与概括的内容是帮助学生建立知识间的联系形成整体知识结构、发展辩证思维和创新思维等高阶思维的典型学材。

本文结合算理的理解和算法的归纳谈谈小学数学运算教学中如何运用知识间蕴藏的规律性建立知识联系，形成整体和辩证性思维；如何在算理理解与算法归纳中发展分析、概括和创新思维。笔者做了如下尝试，以期与同行商榷。

一、在算理理解中培养整体思维与辩证思维

整体性思维可帮助学生整体把握事物间的相互关系并建立统一联系进而发现规律，辩证思维可帮助学生运用事物间的关系进行合理归纳和演绎。运算教学中将二者结合，利于学生对运算步骤做出分析和推理，从而帮助学生理解算理，继而再从整体上对学习内容做出判断，有益于形成稳定的、有联系的知识体系。

以“口算”教学为例。在口算教学中，可以通过数感的培养、数学思想的渗透、归纳与演绎等推理能力的培养等多种方式，将整体思维和辩证思维具体化，从而促进学生从本质看待问题、分析问题，促进结构化知识的形成。

（一）口算中将数感培养与渗透数学思想相结合

在基本的口算教学中，如“10 以内加减”“20 以内加减”“整十（整百）数乘一位数”……这些看似简单的口算，其背后都包含着丰富的内容：不仅有数感的培养、数学运算的方法技巧，更有数学的理性思考和数学思想蕴含其中。以“10 以内的加减”教学为例，不少孩子还没有进入小学，就已经能计算10 以内加减了。那么，一年级学习这部分知识时，还可以教什么、怎么教呢？有位一年级数学教师从“认识数字5”开始，便结合数的分与合，让学生们整理“（）＋（）＝5”，结果发现孩子们的整理有两种类型，一种是全部整理了出来，但无序；一种是全部整理了出来，但是有序（如图2、图3）。

图2

图3

图2 呈现出的思维是无序的点状状态，而图3 呈现出的思维是有序的，表现出初步的结构性思维。教师有意识地引导学生对比两种结果，感悟其中的排列规律，学生在观察、比较与感悟中发展了数感。接下来教学“6——10 的分与合”时，教师都有意识地引导学生整理，学生不仅掌握了数字中“分与合”的知识，而且让学生从整体上感悟到了“10 以内的口算”中蕴含的递增、递减的规律，并且体悟到“加数”与“和”之间的相互依存关系。其间，既体现了思维的整体性、辩证性，也有“有序性”数学思想的渗透。这样的教学，其价值远远大于纯粹的口算练习。

（二）在算理理解中融入归纳、概括等演绎思维

为帮助学生理解算理并掌握算法，离不开归纳概括和演绎推理。以“整十（整百）数乘一位数口算”为例，当教师出示一道算式“20×3”时，好多孩子不假思索地就说出结果“等于60”。问学生“是怎样算的？”学生的解释是“2 乘3 得6，在后面添个0 就行了”。可见，学生虽然会计算，但对其中的算理仍处于懵懂的状态。一位教师在教学这节课时，进行了如下设计：首先出示一组算式“2×3＝，20×3＝，200×3＝ ”，学生报出每一题的结果分别是“6、60、600”。教师提出问题：“对比这几题的计算过程，有什么相同之处，又有什么不同之处？”学生们对比交流后答：“相同之处是这几题都用到了一句相同的乘法口诀‘二三得六’；不同的是第一题是2 个一乘3，得6 个一，结果是6；第二题是2 个十乘3，得6 个十，结果是60；第三题是2 个百乘3，得6 个百，结果是600。所以，在第二题的后面要添一个0，第三题的后面要添两个0。”

这里，学生的回答是融合了“乘法的意义”“数的组成”“位值制”等多个知识点之间的联系进行的演绎推理。接着，教师又引导学生在几组练习中进行算法归纳。这样的设计，促使教师整体把握教材、利用知识之间的内在联系合理架构教学环节，借助“比较说理、总结算法”，让学生的思维在归纳概括、演绎推理中得到进阶。

二、在算法掌握中培养实践思维与创新思维

高阶思维强调学生面对真实问题时的实践思维能力，以及面对开放性问题时思维的灵活性与独创性。因此，教学中要引导学生在直观理解算理的基础上探究算法，既可以通过分析、判断等能力探究解决问题的方法，又可以从个性化视角彰显问题解决过程中的创新性，通过迁移实现算法优化。具体做法如下：

（一）算理的直观性与分析思维的抽象性相结合

算理是算法的理论依据，它是算法思维方式的直观呈现，保证了计算的合理性与正确性，让学生不仅知其然，还知其所以然。例如在《分数乘分数》的运算教学中，就需要借助直观图形引导学生探索分数乘分数的计算方法。以为例，先表示出“整体1”的再把平均分成4 份，表示出的继而发现算式与结果之间的数值关系，得出是“整体1”的（见图4）。通过图形的直观演示，融合了分数的意义、分数乘法的意义，打通了知识间的内在联系。学生运用知识间的联系对运算结果做出逻辑判断，实践思维、分析思维、创新思维得到培养。

图4

算理是客观存在的规律，需要在操作中探究最优方法，从而为概括算法做好铺垫。纵观小学数学教材中整数的加减乘除，无一不是借助直观操作帮助学生理解算理的，而且这种方式迁移到了小数、分数的运算。由此可见，小学数学运算教学离不开直观化的操作，唯有这样才可以引导学生经历从实践思维到形象思维，再到分析与创新思维的发展。

（二）算法优化和培养创新性思维相结合

在教学两位数除以一位数时，教师用小棒帮助学生理解算理，出现了两种思路。计算“68÷2”，展示如下：

思路1：先把6 捆平均分成2 份（1 捆表示1 个十），每份3 捆；再把8 根平均分成2 份，每份是4 根（如图5）。

图5

思路2：先把8 根平均分成2 份，每份是4 根；再把6 捆平均分成2 份，每份3 捆（如图6）

图6

显然，无论是先分十位的数还是先分个位的数，两种思路都是正确的。在计算“52÷2”时，再让学生用小棒分一分。同样，也出现了两种思路：有的学生是先分5 个十，后分2 个一（如图7）；有的学生先分2个一，后分5 个十（如图8）。随后，教师让学生对比这两种分法，结果发现：先分十位上的数计算更简便。这就优化出了更具普遍性的算法：从高位算起。

图7

图8

这里借助图示，把分小棒的过程与竖式计算步骤紧密结合，在操作中进行对比分析引发认知冲突，在对先前的认知进行自我否定的基础上，进行逻辑判断并做出正确选择，实现方法的优化，学生的创新思维得到发展。

三、建立运算模型发展运算能力，培养反思思维与批判思维

数学学习过程中需要为学生构建帮助学生理解和思考的模型，使学生可以根据教师的引导对知识和问题进行反复追问和质疑，推动学生不断加深对问题的理解，进而培养反思思维和批判思维。同时，要鼓励学生对学习过程进行不断反思，在反思中总结经验、提升能力。小学数学课程标准强调要注重数学思想的渗透，其中就包括模型思想，而模型的建构过程利于规律的习得，利于发展反思思维和批判思维。

以“加法结合律”为例。教师出示一个问题情境，学生列出形如“a×（b＋c）”“a×b＋a×c”这两种不同思路的算式，通过比较发现这两道算式间的相等关系，并提出大胆猜想：“一个数乘两个数的和，等于用这个数分别去乘两个数的乘积之和。”接着引发质疑，对结论的合理性进行追问：“这个规律成立吗？”促使学生自发寻找可以作为支撑的例子，并对列举出的例子进行反复甄别判断，直至举不出反例。这一过程就是反思思维和批判思维得以彰显和培养的过程。学生们通过不完全归纳发现规律，统一用字母式表示为“a×（b＋c）＝a×b＋a×c”，再运用这一规律进行简便运算。就这样，在“比较——猜想——质疑——验证——归纳——运用”中，经历逐步抽象的过程，促进运算能力的形成，完成运算模型建构，同时发展了反思、批判等高阶思维，让模型建构过程成了思维训练场。

四、问题类化调整认知建构数学模型，培养创新思维

“类化”，即将数学问题按其结构、解题思路的相同特点归为一类，同一类的数学问题成为一种模型。在解决问题时学生通过对问题情境的识别，对该问题的结构、解法等作出判断，将当前的问题与已有的知识或数学问题联系起来，运用已有的模型解决当前的问题，或者建构新的模型，从而培养创新思维。通过问题类化将已有模型运用于新问题，并在解决新问题中构建出新模型的过程中创新思维得到培养。但需要指出的是，对问题进行模式识别不是机械地套用已有的解法，而是需要将待解决的问题与已有的认知经验建立联系，利用已有经验解决问题。

五、小结和反思

随着问题解决中高阶思维的研究和实施，学生在解决问题中能根据问题信息准确分析信息间的逻辑联系，能采用合适的操作方法呈现信息间的关联，继而确定正确的问题解决步骤，并能将其不断优化。在这一过程中，分析、创新、反思、评价等高阶思维得到发展。数学是培养思维的学科。数学运算作为小学数学教学中的重要内容，其教学绝不是简单纯粹的技能训练，应该结合运算教学的目标要求渗透数学思想、构建数学模型，培养学生的分析、反思、批判、创新等高阶思维能力。唯有这样，才可以让学生在掌握知识的同时，发展数学思维、提升数学素养，实现育人目标。