F1格范畴的表现定理

张立国

(沈阳理工大学 理学院，辽宁 沈阳 110159)

0 引言

完全分配格是经典格论的重要研究对象，对其结构的讨论一直是热点问题.无论是连续的DCPO理论[1-5]，还是Fuzzy拓扑学都对其做出过相关的研究[6-9].超分子作为完全分配格的刻划工具，文献[1]对超分子集SM(L)的结构进行讨论，发现当完全分配格的每个元素都具有唯一的极小集时，它的分子集M(L)的序是离散的.本文在此基础上研究这类完全分配格(即F1格)性质，构造F1格范畴CD*，讨论该范畴对象的结构与态射的性质，并证明它的表现定理，为连续格理论和Fuzzy拓扑学的后续研究奠定基础.

1 预备知识

设L是完全分配格，M(L)表示L的分子集.若a∈L，以β(a)表示a的最大极小集，β*(a)=β(a)∩M(L).可以证明a是分子当且仅当β*(a)是定向集.众所周知L是完全分配格，则M(L)是连续的DCPO.

2 范畴CD*的结构与性质

定义1 设L是完全分配格，若L的每个元素都有唯一的极小集，称L为F1格.

定义2[8]设L1，L2是完全分配格，映射f：L1→L2被称为广义序同态.如果f满足如下条件：

1)f(a)=0当且仅当a=0；

2)f有保并的右伴随.

定义3 以F1格为对象，以广义序同态为态射的范畴，称为F1格范畴，记作CD*.

命题1 设L为F1格，则M(L)的序是离散的，从而β*(a)={a}(其中a∈M(L))

证明只需证，若a、b∈M(L)，且a≠b，则a与b不可比.

由于b∈M(L)，则∀x∈β*(b)，必有∨[β*(b)(〗x}]≠b(否则：若∨[β*(b)(〗x}]=b.由于β*(b)(〗x}⊆β*(b)，于是β*(b)(〗x}可以加细β*(b)，因此β*(b)(〗x}是b的极小集.根据已知条件可得β*(b)(〗x}=β*(b)，矛盾)，故b∉β*(b).

若a(〗a}]=b.又因a∈β*(b)，故∨[β*(b)(〗a}]≠b矛盾，因此a≤/b.

同理可证a≥/b，即a与b不可比，从而β*(a)={a}.

命题2 设L为F1格，则L≅2M(L).

证明设f是L到2M(L)的映射，即∀a∈L，f(a)=β*(a).由L的性质可知，f是映射，故只需证明f为同构映射.

若a、b∈L，且a≠b时，则β*(a)≠β*(b)，从而f(a)≠f(b)，即f为单射.

若A∈2M(L)，则∨A∈L，从而f(∨A)=A.事实上，x∈A，则∨A>x.由前面证明可知x∈β*(∨A)=f(∨A)，从而A⊆β*(∨A)=f(∨A)，因此A是∨A的极小集.由于∨A有唯一的极小集，所以A=β*(∨A)=f(∨A)，即f为满射.

若a、b∈L，且a

综上所述，L≅2X.

由命题1和命题2可得如下结论.

命题3 设L为F1格，则存在集合X使得L≅2X，且|M(L)|=|X|.

任给集合X，令2X={A|A⊆X}.按包含序2X是偏序集.由于其满足完全分配律，故2X为完全分配格，分子集为M(2X)={{x}|x∈X}.而2X的每个元素A都有唯一的极小集{{x}|x∈A}，因此2X为F1格.显然有如下结论.

命题4 设X为集合，则2X是F1格，且X≅M(2X).

定义4 以集合X为对象，以单射为态射的范畴，称为集合范畴，记作Set*.

命题5 设L1、L2是F1格，若f：L1→L2是广义序同态，则T(f)=f|M(L1)：M(L1)→M(L2)为单射(其中f把分子映射成分子).

证明设a∈M(L1)，f(a)≤b∨c，则a≤g(b∨c)=g(b)∨g(c)(其中g为f的右伴随)，从而a≤g(b)或a≤g(c)，因此f(a)≤b或f(a)≤c.由于a≠0，可知f(a)≠0，所以f(a)∈M(L2)，所以f(a)∈M(L2).

若x、y∈M(L1)，f(x)≠f(y)，则f(x)∧(y)=f(x∧y)=0.由于f是广义序同态，因而x∧y=0，从而x≠y，因此f为单射.

命题6 设L1、L2是F1格，若f：M(L1)→M(L2)是单射，若a∈L1，令L(f)(a)=∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}，则L(f)：L1→L2是广义序同态，且L(f)|M(L1)=f.

证明(1)设a、b∈L1，a≤b.若x∈M(L1)，x≤a，则x≤b，因而{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}⊆{f(x)|x∈M(L1)，且x≤b}，从而∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}≤∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤b，即L(f)(a)≤L(f)(b)，故L(f)为序同态.

(2)设a、b∈L1，a≠b，则{x∈M(L1)|x≤a}≠{x∈M(L1)|x≤b}.由于f为单射，故{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠{f(x)∈M(L2)|x≤b}.据命题1可知，∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤b}，即L(f)(a)≠L(f)(b)，从而L(f)为单射，因此L(f)(a)=0当且仅当a=0.

(3)令L(f)*(b)=∨L1{y∈M(L1)|f(y)≤b}.若L(f)(a)≤b，则∀x∈M(L1)且x≤a，都有f(x)≤b，从而x∈{y∈M(L1)|f(y)≤b}，因而x≤L(f)*(b)，故a≤L(f)*(b).反之，若a≤L(f)*(b)，据L(f)的保序性可得L(f)(a)≤b.故L(f)*是L(f)的右伴随.

(4)设L(f)*为L(f)的右伴随.

(5)若a∈M(L1)，据命题1可知，{x|x∈M(L1)，且x≤a}={a}，因而∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}=f(a)，因此L(f)|M(L1)(a)=f(a).

综上所述，L(f)为广义序同态，且L(f)|M(L1)=f.

命题7 设X、Y为集合，若f：X→Y是单射，若A⊆X，令L(f)(A)={f(x)|x∈A}，则L(f)：2X→2Y是广义序同态，且L(f)|X=f.

证明由命题3和命题6可证.

设L是F1格，令T(L)=M(L)，由命题1可知，M(L)∈ob(Set*).设f：L1→L2是广义序同态，令T(f)=f|M(L1)，已经证明f为广义序同态当且仅当T(f)为单射，所以T是从范畴CD*到范畴Set*的函子.

设X是集合，令E(X)=2X，由命题3可知，2X∈ob(CD*).设f：X→Y是单射，令E(f)=L(f)：2X→2Y，即E(f)(A)=∪{f(x)|x∈A}(A∈2X)，已经证明E(f)广义序同态当且仅当f为单射，所以E是从范畴Set*到范畴CD*的函子.

定理1 函子T是完全忠实函子.

(2)任取h∈HomSet*(T(L1)，T(L2))，由命题5可知存在L(h)∈HomCD*((L1，L2))，使得TL(h)=h，所以T为完全函子

定理2 函子E是完全忠实函子.

命题8[10]设C和D是范畴，F：C→D是函子，则下列条件等价：

(1)范畴C和D等价；

(2)函子F是完全忠实函子，并且任取B∈ob(D)，都存在A∈ob(C)，使得F(A)≅B.

F1格范畴CD*的表现定理：

定理3 范畴CD*与范畴Set*等价.

证明由命题3、定理1和命题8可证.

3 结束语

F1格是每个元素都有唯一的极小集的完全分配格，其结构相对简单.结合本文取得结论可以看到，F1格实为建立在经典集合上的幂集格(按包含序)，而其上的广义序同态与经典集合之间单射相对应等.这为从集合论的角度研究完全分配格提供新想法，也带来新问题.

问题F1格上的广义序同态是否为经典集合之间单射所诱导.