流动性冲击和信息风险条件下的知情交易策略

马 丹,房振明,王春峰

(天津大学 管理与经济学部,天津 300072)

价格发现是资本市场的基本功能,反映了信息通过交易融入资产价格的过程,与投资者的订单策略和交易行为密切相关。对投资者行为与价格发现效率的研究一直是市场微观结构领域的重点。近年来,随着高频交易和算法交易的发展和应用,订单策略的制定与优化问题再次引起学术和实业两界的广泛关注。面对复杂多变的市场状态和信息分布,投资者应如何动态调整交易策略以提高信息交易收益? 投资者的信息交易行为又将如何影响市场出清和价格效率? 对这些问题的探究和回答不仅能够从投资者行为的角度揭示信息传导和价格发现过程,而且还能够为投资者订单策略的制定和优化提供理论依据。

基于期望收益最大化的目标约束,降低订单执行成本是提高交易收益的有效途径。在流动性有限的非完美市场中,与固定费率的交易手续费相比,订单执行过程中伴随着的价格冲击已成为交易成本的主要组成部分。尤其是对于交易规模较大的机构订单而言,急剧上升的价格冲击甚至会引起订单出现“执行陷阱”[1-2]。此时,将交易需求进行拆分和延迟以降低由瞬时流动性引起的价格冲击成本是连续交易市场中常见的订单策略[3-4]。对于知情交易者而言,拆分订单还有助于隐藏交易动机,扩大信息交易优势[5-7]。因此,流动性冲击的存在促使投资者采取相对保守的订单策略。但当投资者能够对市场信息进行学习和竞争时,知情交易者的私有信息存在被提前揭示的可能,延迟交易订单面临着失去信息优势的风险。Foucault等[8]认为知情交易行为可以分为两类:一类是基于更为精确的私有信息,另一类是基于更快的交易速度。因此,当信息不确定性较高时,知情交易者往往采取更加激进的交易策略,尽快执行订单以实现其私有信息的价值。可见,在流动性冲击和信息风险并存的市场中,知情交易者在订单规模和交易时机的选择上面临着两难选择:出于控制交易冲击成本和隐藏私有信息的目的,投资者倾向于拆分订单,保守交易;但同时,投资者不得不承担延迟交易订单的信息风险。因此,在连续交易市场中,如何分配跨期订单以平衡流动性冲击成本和信息风险是投资者订单策略制定和优化的主要目标,也是从交易行为的角度理解价格发现过程的关键。

对价格冲击与订单规模之间关系的刻画是研究交易成本与订单策略优化问题的起点。Kyle[9]认为信息是价格冲击的主要来源,且决定了资产价格的长期变动方向。基于信息均匀分布的假设,当信息含量是订单规模的线性函数时,价格冲击与订单规模之间的关系也是线性的。但越来越多的实证研究表明,订单规模与价格冲击之间的关系表现出明显的非线性特征,如平方根关系特征[10]、指数函数关系特征[11]以及对数函数关系特征[12]等。这主要是由于除了信息冲击外,交易对价格的冲击成分中还包括影响价格短期波动的流动性冲击部分[13-14]。Berkowitz等[15]认为降低流动性冲击是投资者控制订单执行成本的主要途径,并在最小化交易成本的目标约束下提出了VWAP 交易策略。在此基础上,学者们进一步丰富了对有限流动性市场中的交易成本控制和订单策略优化问题的研究[16-21]。综合来看,现有文献对冲击成本控制和订单策略优化的研究侧重于对价格冲击函数形式的刻画以及最小化交易成本条件下的订单拆分方面,鲜有考虑延迟交易订单所面临的信息风险问题。而对于信息不确定市场中的订单策略问题,大多文献是在忽略交易冲击成本的前提假设下研究特定信息分布条件下的策略选择,如订单类型和激进程度等[22-24],针对流动性冲击和信息风险条件下的知情交易策略问题还需进一步探索。

基于上述分析,本文立足于连续交易市场理论框架[9],放松对于流动性冲击和信息风险的假设,对两者双重制约下的市场出清和知情交易策略特征进行理论分析和数值模拟,从交易行为的角度揭示市场价格发现过程。在现有文献中,与本文较为类似的是同时考虑交易冲击成本和机会成本时的订单策略制定和优化问题[25-27]。但在冲击成本函数形式的假设和目标约束条件的设定上有所不同。一方面,本文假设流动性冲击是订单规模的非线性函数,这与实证研究的结论较为一致;另一方面,相对于最小化交易成本,本文以最大化期望收益作为知情交易者的目标约束,这与信息风险条件下投资者的决策目标更为符合。

1 模型设定

假设在两期连续交易市场中存在单一风险资产,初始价格为p0,期末价格为完全信息价值v,且v服从N(p0,Σv)的正态分布。对于市场所有的参与者而言,风险资产的初始价格、当前价格以及信息价值分布都是先验信息。投资者在每一期初提交交易需求,连续两次交易之后,市场在第2 期末实现出清。

市场存在3类投资者:知情交易者、噪音交易者和竞争性做市商。当t=0时,知情交易者获得关于风险资产的价值信息v,并分别在第1期初和第2期初提交交易需求x1和x2。噪音交易者的需求ut随机,且服从N(0,Σu)的正态分布。Σu是噪音交易波动。在第t期初,做市商观测到市场的总需求yt=xt+ut,但无法区分来自哪一类交易者。根据总需求yt,做市商调整信念分布并据此进行定价pt,平衡市场需求。在第2期末,市场实现出清,资产价格为完全信息价值v。类比于订单驱动市场,知情交易者和噪音交易者可以看作是市价订单交易者,只决定t时刻的订单规模xt,并不限定订单的执行价格,是流动性需求者;做市商相当于限价订单交易者,以价格pt平衡市场需求,是流动性供给者。

知情交易者的交易需求xt不仅是私有信息v的函数,同时也受制于订单执行过程中的流动性冲击和信息风险。对于流动性冲击,假设冲击成本是订单规模的函数K(x1,x2),且只与投资者的期望收益有关,不影响资产的期末出清价值。且流动性冲击函数的分布是已知信息,投资者可以通过策略性地调整订单规模,拆分交易需求来控制流动性冲击成本。学者们从理论和实证的角度进行了多种尝试和探索[10-12]来刻画流动性冲击函数的分布。总之,流动性冲击函数需满足如下两个条件:①是订单规模的非线性单调增函数,即f(x1)≤f(x2),若x1≤x2。②投资者可以通过订单拆分来降低流动性冲击成本,即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)。本文假定流动性冲击是订单规模的二次函数,两期交易的流动性冲击函数分别为:联合分布函数为:K(x1,x2)=a(x1+x2)2,a为流动性冲击系数,反映了市场的流动性冲击水平,a≥0。

信息风险ρ指的是在投资者在第2期初提交交易需求之前,私有信息被揭示的可能性,且满足0≤ρ≤1。信息风险越高,延迟交易订单的信息损失越大,获利的可能性较低。当ρ=0时,信息不存在被提前揭示的风险,延迟交易订单的期望收益不受影响;当ρ=1时,信息被提前揭示,市场在第1期末即实现信息价值,第2期初提交的订单将无法获利。此外,信息风险ρ还反映了投资者对于信息的学习和竞争,竞争越激烈,信息被提前揭示的可能性越大,信息风险越高。

市场的交易出清规则包括如下两个方面:一方面,资产价格满足信息有效性约束,以确保市场的价格发现功能。在上述模型设定中,做市商在观测到市场总需求yt的基础上给出成交价格pt,因此,信息有效性要求资产价格是信息价值的条件期望,即:p1=E[v|y1],p2=E[v|y1,y2]。另一方面,基于期望收益最大化的目标约束,在第1期知情交易者交易决策为:x1=X(v,a,ρ),约束于私有信息v、流动性冲击a和信息风险ρ;在第2期,信息必然在期末揭示,不存在信息风险ρ的约束,交易决策仅受私有信息v和流动性冲击a的影响,即x2=X(v,a)。

当t=1时,知情交易者的交易收益目标函数为

式中,3项分别为第1期的期望收益、第2期的期望收益以及第1期的流动性冲击成本。

当t=2 时,知情交易者的交易目标如下式所示:

式中,两项分别为第2期的期望收益和流动性冲击成本。

2 价格发现与市场出清

基于经典的连续交易市场出清模型[9],本文拓展了对市场流动性供给水平和信息时效性的假设,研究流动性冲击成本和信息风险条件下的知情交易决策和价格发现过程。在两期连续交易市场的初始设定中,本文假设流动性冲击成本是订单规模的函数,只影响知情交易者的预期收益,并不影响资产的出清价值。信息风险反映的是在第1期末信息被揭示的可能性,与第2期订单的期望收益有关,影响投资者在交易期初的延迟订单决策。而在第2期末,市场实现出清,信息得以揭示,资产价格等于完全信息价值。因此,流动性冲击和信息风险只影响投资者的交易量和跨期订单分配,并不决定资产的定价规则。当两者外生给定时,模型所呈现的市场出清过程与Kyle[9]的两期交易模型基本一致,市场存在线性均衡,由此提出定理1。

定理1已知p0、Σv、Σu、a和ρ时,存在满足如下约束的一组常数α1、β1、α2、β2、λ1和λ2,使得市场存在线性均衡,即

证明假设存在一组常数α1、β1、α2、β2、λ1和λ2,满足线性均衡条件:

首先,将期望收益的约束条件代入式(2),知情交易者在第2期的期望收益可以变形为如下形式,此时使得式(9)取最大值的x2即为式(2)的解,

V2(x2)是x2的一元二次函数,存在最大一阶导数的条件为:

二阶导数条件为:λ2+a>0,第2期的最大期望收益为

式中,γt=λt+a。V1(x1)存在最大一阶导数的条件为

二阶导数条件为:γ1>(1-ρ)(γ1+a)2/(4γ2)。由x1=α1+β1v可知,

同时,结合x2=α2+β2v可知:

其次,基于价格的信息有效性约束,第1期的价格偏离可以表示为

第2期的价格偏离可以表示为

因此,已知p0、Σv、Σu、a和ρ,且满足

的条件下,市场均衡满足由式(11)～(16)组成的方程组,定理1得证。

这是一种递归线性均衡,当参数p0、Σv、Σu、a和ρ外生给定时,α1、β1、α2、β2、λ1和λ2存在唯一数值解。上述市场均衡的经济含义是,在同时考虑流动性冲击和信息风险的连续交易市场中,知情交易者在最大化期望收益约束下的最优订单策略是一种均衡策略。其中,β1和β2可以理解为知情交易者的信息交易强度。根据式(6),当a>0时,β2是β1的函数,两者之间存在相关性。这说明,在考虑流动性冲击的情况下,知情交易者将策略性的跨期分配交易需求,这从理论上解释了连续交易市场中知情交易者的拆分行为。λ1和λ2可以理解为交易的信息冲击系数,反映的是价格对信息交易的揭示,直接决定价格的动态变化过程。γt=λt+a反映的是知情交易冲击的总成本,包含信息冲击λt和流动性冲击a两部分,相对于信息冲击而言,流动性冲击成本可以通过策略性跨期交易来控制,只影响知情交易者的跨期订单分配,不影响资产的线性定价规则。

3 知情交易策略特征

资本市场的价格发现过程是信息通过交易融入资产价格的过程,因此,价格发现效率与知情交易者的订单策略和行为特征密切相关。对于连续交易市场中的市价订单而言,交易策略主要体现在交易规模和交易时机两个方面。在流动性冲击和信息风险不可忽略的市场条件下,如何分配跨期订单是投资者订单策略制定和优化的核心问题。对此,参考文献[28]中对跨期订单策略的研究,从平均交易量、订单拆分的均匀程度以及交易延迟3个角度,对特定市场状态下的知情交易策略特征进行理论分析。

首先,定义知情交易者的平均交易量为两期交易规模的平均值,即

定理2知情交易者的平均交易量与信息风险正相关,与流动性冲击成本负相关。

定理2的经济含义是,当信息风险不可忽略时,知情交易者通常会提高期初的交易量,以尽可能地利用其信息优势进行交易。信息风险越高,知情交易订单越激进,平均交易量越高。但同时,由于流动性冲击成本是订单规模的函数,因而较高的冲击成本会抑制投资者的交易需求,进而降低平均交易量。另外,定理2还反映出知情交易者的两难选择:一方面,为应对可能发生的信息风险,知情交易者需提高交易期初的交易量;另一方面,大量的交易伴随着较高的流动性冲击成本,因而知情交易者需降低交易期初的交易量,将部分订单推迟交易,以降低交易冲击。因此,知情交易者的订单策略是同时考虑流动性冲击和信息风险的条件下最优化策略。

在连续交易市场中,将订单进行拆分,平滑交易规模是常见的交易策略,这不仅可以利用市场的流动性降低交易冲击,还有助于知情交易者隐藏其信息交易行为,以保留信息优势。因此,订单拆分的均匀程度也是知情交易者订单策略的重要特征。对此,本文定义衡量跨期订单规模差异性的指标

值域为[0,1]。若投资者不拆分订单,交易集中于其中一期完成,则Split=0;若平均拆分订单,则Split=1;Split越大,订单被拆分得越均匀。将Split对a求偏导,并将附录A 的结论代入,化简可知,流动性冲击成本越高,知情交易者的订单拆分得越均匀。定义代入并化简可知:Yρ=0<0,Yρ=1>0。结合,因此,存在最小值,即随着ρ的增加,与之间的差距先变小后变大,跨期订单拆分的均匀程度先提高后降低。于是,有定理3。

定理3当不考虑信息风险时,流动性冲击成本越高,知情交易订单拆分得越均匀;当不考虑流动性冲击成本时,随着信息风险的提升,知情交易订单拆分的均匀程度先提高后降低。

定理3的经济含义是,在连续交易市场中,为降低成交时的流动性冲击成本,投资者会策略性地拆分订单跨期交易,以平滑订单规模。且单位交易量的流动性冲击成本越高,跨期订单被拆分得越均匀。但当信息风险不可忽略时,投资者在进行跨期订单分配时,还需考虑延迟交易的可获利性。较高的流动性冲击成本会使得Split向更大的方向移动,而当信息风险高于某一临界值时,投资者往往将更多的交易需求在第1期完成,进而扩大两期订单规模的差异性,使得Split向更小的方向移动。因此,当同时考虑流动性冲击和信息风险时,两者对Split的相反方向作用,使得存在一组最优的参数(a*,ρ*),由此使得订单拆分的均匀程度最大。

交易延迟是与订单拆分相伴而来的问题。在信息完全垄断的市场中,知情交易的期望收益只与信息交易规模有关,不受交易时机的影响。然而,当投资者具有信息学习和竞争能力时,跨期订单策略的制定不得不考虑延迟交易所面临的信息风险。对此,本文从延迟订单规模占比的角度定义交易延迟指标,

Delay是处于[1,2]之间的数,Delay越接近1,订单越集中于第1期,交易延迟越小;Delay越接近2,订单越集中于第2期,交易延迟越大。结合

因此,有定理4。

定理4信息风险越高,知情交易者的交易延迟越小。

定理4表明,随着信息风险ρ的提高,投资者更倾向于将订单集中于交易初期完成,以降低交易延迟,控制信息风险。

综合上述分析,知情交易者的订单策略是考虑流动性冲击成本和信息风险条件下的均衡策略,随着流动性冲击大小和信息风险水平的变化,平均交易量、订单拆分的均匀程度以及延迟交易占比表现出不同的特征。但值得特别指出的是,在投资实践中,根据私有信息的性质以及交易机制的不同,知情交易者的行为约束和策略特征也会存在差异。例如在卖空交易受到限制的市场中,当私有信息是利好消息时,知情交易者策略性地提交买入需求,既想拆分订单以降低冲击并隐藏信息,又想尽快交易以控制信息风险,其行为特征与上述理论分析基本一致。然而,面对利空的私有信息,知情交易者倾向于尽可能快地执行卖出订单,此时信息风险是主要考虑的因素,流动性冲击成本可以忽略不计,即0≤ρ≤1,且a=0。这可以看作是上述理论模型的一种特例情况。就交易量而言,在资产价格波动和噪音交易水平给定的情况下,知情交易者的交易规模只与信息风险有关,同时结合可知,考虑信息风险时(ρ>0)知情交易者的交易量高于无信息风险时(ρ=0)的交易量,且信息风险越高,交易初期的交易量越大。就订单延迟程度而言,

订单的延迟程度能够反映出交易初期与交易末期的交易量占比,信息风险对交易延迟的影响通过反映出来,信息风险越大,越大,Delay越接近1,交易越集中于交易初期。因此,持有利空信息的知情交易者会在交易初期迅速、大量地提交卖出交易需求,这与Barbon等[29]的实证研究结论相一致,能够为投资者的恐慌性卖出行为提供理论解释依据。

4 数值分析

为便于直观理解,对前文中所描述的市场均衡状态和知情交易策略特征进行数值模拟,并进一步阐述研究结论。参数的取值范围如表1所示。

表1 参数的取值范围

(1)市场均衡状态特征。根据定理1,当外生变量给定时,市场存在均衡解,且与均衡状态有关的参数有外生变量决定。结合外生变量的经济含义,设定资产价值波动为:Σv=50,噪音交易波动为:Σu=3 000,风险资产的初始价格p0=10。通过动态调整流动性冲击a和信息风险ρ,模拟两者对知情交易强度(β1,β2)和价格动态规则(λ1,λ2)的影响。数值模拟结果如图1所示。其中:图1(a)和图1(b)呈现了给定a=0.001时市场均衡状态特征与信息风险之间的关系;图1(c)和图1(d)呈现了给定ρ=0.2时市场均衡状态特征与流动性冲击之间的关系。

图1 市场均衡状态特征与流动性冲击和信息风险的关系

由图1(a)和图1(c)可以看出,流动性冲击对知情交易者的交易强度有负向作用,信息风险对知情交易者的交易强度有正向作用,两者具有相反方向的作用力。这与前文的分析一致,即较高的信息风险要求知情交易者采取更加激进的订单策略,而较高的流动性冲击成本则要求知情交易者的订单策略趋向于保守,知情交易者的最优策略是在流动性冲击和信息风险双重约束下的均衡策略。由图1还可以看出,知情交易强度(β1,β2)和价格动态规则(λ1,λ2)是外生变量a和ρ的映射,这也能够说明在特定的市场状态下,知情交易者具有最优订单策略,同时市场存在均衡解。

(2)知情交易策略特征。为描述不同市场状态下的知情交易策略特征,从平均交易量、订单拆分的均匀程度和交易延迟3个角度分别进行数值模拟。设定资产价格波动为:Σv=50,噪音交易波动为:Σu=3 000。平均交易量与流动性冲击和信息风险之间的关系如图2所示。

图2 平均交易量与流动性冲击和信息风险的关系

图2(a)模拟了当ρ=0,0.5,1时平均交易量与流动性冲击之间的关系,可以看出,知情交易者的平均交易量随着流动性冲击成本的提高而降低。图2(b)模拟了当a=0,0.001,0.002时平均交易量与信息风险之间的关系,可以看出,平均交易量随着信息风险的提高而提高。这与定理2相一致,即知情交易者的平均交易量与信息风险正相关,与流动性冲击成本负相关。

订单拆分的均匀程度与流动性冲击和信息风险之间的关系如图3所示。

图3 订单拆分的均匀程度与流动性冲击和信息风险的关系

图3(a)模拟了当ρ=0,0.25,0.6时订单拆分的均匀程度与流动性冲击之间的关系,可以看出,两者之间关系的单调性受信息风险ρ的影响。当ρ=0时,订单拆分的均匀程度随着流动性冲击的提高而提高;当ρ=0.25时,随着流动性冲击的提高,订单拆分的均匀程度先上升后下降;当ρ=0.6时,随着流动性冲击的提高,订单拆分的均匀程度随着流动性冲击的提高而降低。图3(b)模拟了当a=0,0.001,0.002时订单拆分的均匀程度与信息风险之间的关系,可以看出,当a=0时,随着信息风险的提高,订单拆分的均匀程度先上升后下降,且随着a的增加,信息风险对订单拆分的均匀程度负向作用更加明显。图3的数值模拟结果与定理3基本一致,即当不考虑信息风险时,流动性冲击成本越高,知情交易订单拆分得越均匀;当不考虑流动性冲击成本时,随着信息风险的提升,知情交易订单拆分的均匀程度先提高后降低。

图4描述了交易延迟与流动性冲击和信息风险之间的关系。图4(a)呈现了当ρ=0,0.5,1时交易延迟与流动性冲击之间的数值关系,可以看出,交易延迟程度随着流动性冲击的提高而降低,且高信息风险能够加速两者之间的负向关系,并进一步降低交易延迟。图4(b)是当a=0,0.001,0.002时交易延迟与信息风险之间的数值关系,可以看出,两者之间存在接近于线性的负向关系,交易延迟程度随着信息风险的提高而降低,与定理4一致。

此外,本文还给定流动性冲击为a=0.01、信息风险为ρ=0.2的条件下,数值模拟了知情交易策略特征与资产价格波动Σv和噪音交易Σu之间的关系(见图5)。其中:图5(a)和图5(b)分别描述了平均交易量随资产价格波动Σv和噪音交易Σu的变化关系,可以看出,两者均对平均交易量有正向作用,即较高的资产价格波动以及较高的噪音交易都会促进知情交易者提高交易规模。图5(c)和图5(d)分别描述了订单拆分均匀程度与资产价格波动Σv和噪音交易Σu之间的关系,可以看出,订单拆分均匀程度随资产价格波动的提高而降低,随噪音交易波动的提高而提高。这说明,资产价格波动越高,知情交易者的跨期订单拆分得越不均匀,订单规模的差异性越大;市场的噪音交易越高,知情交易者的跨期订单拆分得越均匀,订单规模的差异性越小。图5(e)和图5(f)分别描述了资产价格波动Σv和噪音交易Σu对交易延迟的影响,可以看出,资产价格波动越高,知情交易订单的延迟程度也越高,而噪音交易波动越高,知情交易订单的延迟程度越低。

5 结语

本文基于连续交易市场出清模型,对流动性冲击和信息风险条件下的市场均衡与订单策略特征进行了理论分析和数值模拟。研究表明,在特定的市场状态下,两期连续交易市场存在均衡解,知情交易者的最优订单策略对应市场条件下的均衡策略。此外,本文从平均交易量,订单拆分的均匀程度和交易延迟3个方面刻画了知情交易者的订单策略特征。结果显示,知情交易者的平均交易量随着信息风险的提升而提高,随着流动性冲击成本的提升而降低。订单拆分的均匀程度与流动性冲击成本和信息风险之间关系的单调性受两者之间相对大小的影响,当不考虑信息风险时,流动性冲击成本越高,知情交易订单拆分得越均匀;当不考虑流动性冲击成本时,随着信息风险的提升,知情交易订单拆分的均匀程度先提高后降低。信息风险是影响交易延迟的主要因素,信息风险越高,知情交易订单的延迟越小。研究结论揭示了“市场环境-投资者行为-价格发现”中的信息传导过程,能够为通过引导投资者交易行为来改善价格效率提供理论依据,为投资者优化交易决策提供参考。

附录A

基于定理1所示的市场均衡关系,本部分理论推导市场均衡系数与知情交易约束之间的关系,分析信息风险约束和流动性冲击约束对各阶段期望交易量的影响。

以信息风险约束为例,式(11)中所示β1的表达式可以变形为

令A=2γ2-(1-ρ)(γ1+a),B=4γ1γ2-(1-ρ)(γ1+a)2。

结合市场均衡约束条件,

可知:A>0,B>0,将β1 对ρ求偏导数,并化简可得

在第1期,α1=-p0β1,知情交易者的交易量为:其中,v服从N(p0,Σv)的正态分布,根据正态分布的性质,若x～N(μ,σ2),则知情交易者在第1期的交易量对信息风险ρ的偏导关系为

可见,知情交易者在第1期的期望交易量与信息风险正相关。

在第2期,市场存在均衡的条件下,

x2服从正态分布,且有:结合模型初始设定,在两期连续交易模型,信息必然在第2期期末揭示。因此,投资者在第2期的交易决策不存在信息风险ρ的约束,知情交易者在第2期的交易需求x2受私有信息v和流动性冲击a的影响,即x2=X(v,a)。x2与ρ无关,有:是μx2和σx2的表达式,因此,有

可见,知情交易者在第2期的期望交易量与信息风险无关。