巧建坐标系探讨高考数学题中空间角的求解技巧

石 巧 陈国华

(湖南人文科技学院数学与金融学院 417000)

1 求异面直线所形成的角

在求异面直线所成角θ时(θ∈(0°，90°])，首先建立空间直角坐标系，然后求出两直线的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因为θ为锐角，所以选正值即可.

例1(2015年全国Ⅰ卷理科第18题)如图1，四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD，BE=2DF,AE⊥EC.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

图1 图2

解析由∠ABC=120°，四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD.

如图2，以G为坐标原点，分别以BG，CG为x轴，y轴.设|BG|=1,建立空间直角坐标系G-xyz.

小结向量法是纯代数运算，避免了繁琐的推理论证，已成为求解立体几何问题的主要方法.但是特别要注意的是直线与直线所成角为锐角，所以最后结果要取正值.

2 求直线与平面所成的角

求直线与平面所成角θ(θ∈[0°，90°])与求直线与直线所成角大抵相同，在建立空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量，再代入公式求出题目中的相关问题.

例2(2020年全国Ⅱ卷理科第20题)如图3，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上的一点，过B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F.设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

图3 图4

连接NP,则四边形AONP为平行四边形.

3 求平面与平面所成角即二面角

求二面角时先建立空间直角坐标系，再求出题目里需要用到的点的坐标，进而求得两个所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

例3(2017年全国Ⅰ卷理科第18题)如图5，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

图5 图6

分析首先找到垂直于底面的一条线作为z轴，我们可以找到等腰△PAD,所以可以以三角形的高作为z轴，从而建立空间直角坐标系，然后求出平面与平面的法向量，将二面角的平面角转化为向量的夹角,向量法求二面角的大小,是当前解这类题型的主要方法.

解析在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为点F.

由题知，AB⊥平面PAD.故AB⊥PF.

可得PF⊥平面ABCD.

设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量，

设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量，

可取m=(1,0,1)，则

小结建立空间直角坐标系求解二面角时要将二面角的大小转化成两个半平面的法向量的夹角.如果两个半平面的法向量所指的方向当中，一个指向了二面角的外部，另一个指向二面角的内部,那么法向量的夹角等于二面角的平面角.如果两个半平面的法向量所指的方向均指向二面角的内部或者外部,那么法向量的夹角等于二面角的平面角的补角,最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小时要先确定两个半平面的法向量,然后再根据法向量的方向确定二面角的大小.

本文通过对空间角常考的三个方面进行了分析，主要介绍了如何建立空间直角坐标系来求解这些问题，以及求解这类问题时的一般步骤和求解技巧.探讨了高考题中这类问题应该如何思考，在建立空间直角坐标系时三维坐标应该如何选取才能使计算得到最简单化，计算出来的结果应该注意哪些方面尤其是二面角，要注意观察.