线性代数教学案例设计——向量组线性相关性

刘建丰，李秀展

(山东华宇工学院，山东 德州 253000)

随着现代科学的进一步发展，线性代数这门数学类基础专业课程在多领域得到了广泛应用。相较于高等数学，线性代数的具体内容更加抽象化，新含义与定理比较多，非数学专业类学生学习起来较为困难。在课堂教学中，要引入恰当的实例，通过构建难题分析模型来提升学生思考的专注度与深度，这是提升学生学习效果的有效方法。

1 线性代数教学存在的问题

(1)学生方面。与学生同时期学习的专业课程相比，线性代数的知识理解更为困难，难以用具体的图像来直观展示其相关概念性质，学生对线性代数的重要性认识不够，难以提高学习积极性；(2)教师方面。教师在教学过程中主要关注线性代数知识的理论性和系统性，缺乏知识实践性和应用性方面的拓展，难以与学生所学专业学科进行互动。

2 线性代数教学中使用教学案例的必要性

教学案例有现实意义，较为典型，能够给学生带来一定启发，帮助学生养成良好的学习行为习惯，擅长运用数学思维解决问题，强化学生的刻苦钻研精神、项目合作意识及科学文化素质。

3 教学设计

A.教学背景。向量组的线性相关性是线性代数中求线性方程组的重要知识点，通过引入教学案例启发学生思考，引出线性表示、线性相关等概念，让学生能够应用所学知识解决实际问题。

B.教学内容。向量组的线性组合与线性表示的概念、向量组的线性相关性与线性无关性、极大线性无关组的概念、用向量组的秩判断向量组线性相关性的方法。

C.教学重难点。教学重点：向量组线性相关性的定义、判断向量组线性相关性的两种方法、向量组线性相关性的相关结论；教学难点：向量组的线性相关性的判定。

D.教学理念。用问题吸引学生主动学习，问题设计要紧紧围绕向量的线性相关性这一重要知识点。通过生活中的例子引入知识点，让学生发现生活中的数学内在规律并掌握其应用方法。

E.教学方式。使用“难题情境—查看反思—形成数学概念—应用实例”的结构设计。提出问题：剖析问题，创造问题情境；查看反思：从学生已经掌握的知识点出发，提出相对简单的问题，逐步吸引学生进行观察、剖析、思考，使学生在剖析难题的过程中了解数学，探究数学，掌握数学现象与基本规律；形成数学概念：由浅入深，让学生用原有的向量运算方式理解线性相关性，用相对简单的例子帮助学生形成具体的数学概念。

4 案例分析

A.引入案例。问题引入：某药厂使用9类药品，编号分别为A～I，按如下比例配制成了7种新的成品药，如表1所示。

表1 成品药配置 (单位：g)Tab.1 Finished drug configuration (unit:g)

试解答：(1)某厂家准备要购买成品药，但药厂的3号成药和6号成药已经卖完，请问能否用其他成品药配制出这两种药品？(2)某医院想配制3种新的特效药，表2给出了3种新的特效药的成分含量，请问如何配置？

表2 3种新药成分含量 (单位：g)Tab.2 3 kinds of composition content of new drug (unit:g)

利用线性相关性的概念进一步求出3种新药的配制方法：可假设3种新药分别为v1,v2,v3，分别列得线性方程组求解，最终可得v1=m1+3m2+2m4，v2=3m1+4m2+2m4+m7，即可得到v1,v2两种新药的配制方法，而v3无法用mi线性表示，即无法用原药品配置3号新药。

C.典型例题讲解，练习巩固。例：讨论向量组

解：设存在不全为0的数字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即

0×α1+(-2)×α2+0×α3+1×α4=0

存在不全为0的数字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即向量组α1，α2，α3，α4线性相关。

总结性质：从向量组线性相关性的概念推导出其对应性质。在推导的过程中，使学生进一步理解向量组线性相关性的含义。

D.掌握算法，拓展延伸。在案例中能否配制6号成品药的问题与3号、6号成品药能否同时配制成功的问题可拓展为向量组的线性相关性在实际生产生活中的应用实例。

E.总结方法，深化理解。结合所讲习题活学活用，进行小结，掌握解题的办法及基本规律，引导学生总结判别方程组线性相关的办法。

F.课后思考。提出思考题：(1)若由向量组组成系数矩阵构成的齐次线性方程组无解，则该向量组是否线性相关？(2)若存在一向量组线性无关，在添加部分向量组后是否会改变线性相关性？考虑向量组是否线性相关是检验学生对向量组线性相关性定义的理解，而添加向量组判断线性相关性则是为下一个内容极大无关组做铺垫，起到承上启下的作用。

5 特色与创新

以问题驱动和互动式学习为教学形式，以学生为活动主体，课堂教学过程由易到难，简单明了地讲解了深层次的课程知识。从生活中的常见案例和目前的时代背景出发，启示学生梦想与坚持是密不可分的，要学习持之以恒、团结协作、永不言弃的精神，提高学生的学习热情和内在动力。