非均质和各向异性裂缝边坡稳定性分析

梁承龙 刘 芳

（广西交通职业技术学院土木建筑工程学院，南宁 530023）

0 引 言

土坡稳定性长期以来是岩土工程一个热门问题，许多学者对此做了大量研究[1-3]。极限分析以其便捷的运算被广泛应用于土坡稳定性。极限分析通过构建运动许可的速度场直接求解极限状态下的极限荷载，所求的极限荷载是不小于真实值的上限解。最早由 Drucker和 Prager[4]提出极限分析理论，随后Chen[5]运用极限分析理论详细研究了岩土体边坡的稳定性，并推导出二维土坡破坏面是一条对数螺旋线。

而裂缝边坡普遍存在于实际工程之中，研究表明裂缝的存在会降低边坡稳定性。Utili[6]综合研究了裂缝深度和位置对边坡稳定性的影响。Michalowski[7]论述了孔隙水压力及裂缝形成对边坡稳定性的影响。Zhao等[8]分析了地震作用下边坡稳定性并得出地震效应将大幅度降低边坡稳定性。罗强等[9]探讨了坡顶超载对均质土坡稳定性的影响。基于非线性Mohr-Coulomb屈服准则，Li和Yang[10]分析了孔隙水作用下裂缝边坡稳定性；李得建等[11]研究了地震效应下裂缝边坡稳定性。然而，实际中土体表现出某种程度的各向异性以及非均质性，上述研究都是针对均质土坡，因此得出的结果较为保守同时也会造成经济损失。Chen[5]给出了非均质和各向异性土坡的稳定系数。栾茂田等[12]进行了阻滑桩加固非均质各向异性土坡稳定性分析并得出最优加固位置。夏元友和陈春舒[13]提出了水平条分极限分析方法研究非均质性及各向异性锚固边坡抗震稳定性。王珍等[14]采用拟合多项式近似描述对数螺旋线对非均质边坡稳定性上限分析评价研究。

上述所研究的非均质各向异性土坡都不含有裂缝，因此本文基于极限分析上限定理，考虑土体非均质性和各向异性，研究孔隙水压力作用下裂缝边坡稳定性，通过优化算法求解边坡稳定系数，并结合算例验证本文计算方法的有效性，探讨了边坡土体非均质性和各向异性参数变化对其稳定性以及裂缝深度和位置的影响规律。

1 土的非均质性和各向异性

实际中土并非均质和各向同性，而是表现出一些程度上的非均质性和各向异性。目前大多学者采用Mohr-Coulomb屈服准则对土体的非均质性和各向异性进行分析，研究表明，内摩擦角的各向异性的影响可以忽略不计[15-16]。因此本文假定内摩擦角保持不变，仅考虑黏聚力c的非均质性和各向异性，如图1（a）和（b）所示。土体黏聚力的各向异性与主应力方向夹角有关，可表示为：

图1 土体非均质性与各向异性Fig.1 Nonhomogeneity and anisotropy of soils

式中：ch和cv分别为水平和竖直方向上的黏聚力；i为大主应力方向与竖直方向的夹角。

ch采用图1（b）所示沿深度变化模式，n0、n1和n2分别坡顶、坡趾和坡底处的非均质系数。当n0=n1=n2时，土体表现为均质性。定义各向异性系数k=ch/cv，则式（1）可改写为

当k=1.0，即cv=ch时，土体表现为各向同性。

2 土坡稳定性上限解法

极限分析上限定理可描述为对任一满足运动许可的破坏机构，令外力做功等于内能耗散率，便可求得不小于真实值的极限荷载上限解：

式中：Ti为边界S上的面力；Fi为体积V中的体力；分别为运动许可速度场中的应力场和塑性应变速率为运动许可的速度场。

本文将土重功率Wγ和孔隙水压力功率Wu视为外功率，土体沿破坏面产生的内能耗散作为内功率D，从而根据能量平衡方程求解土坡临界高度上限解：

如图2所示，建立运动许可的坡底破坏机构。该破坏机构通过坡趾下方；当β'=β时，破坏机构退化成坡趾破坏，即破坏面通过坡趾C。土坡坡高为H，坡度为β，坡顶AB=L。坡体BCDEF视为刚体并以角速度ω绕点O作旋转破坏，破坏面为一条对数螺旋线r=r0exp[（θ-θ0）tanφ]，基准线OA与OD长度分别为r0和rh，对应的角度分别为θ0和θh。坡顶处引入一条垂直张拉裂缝EF，裂缝深度为d，裂缝位置与坡肩B距离为x。E为裂缝与破坏面的交点，对应角度为θc。破坏面处的线速度与破坏面的夹角为土体内摩擦角φ。m为破坏面与垂直于该点最大主应力方向的平面之间的夹角。u为裂缝内水压力大小。

图2 裂缝边坡对数螺旋破坏机制Fig.2 Log-spiral failure mechanism of cracked slopes

由于坡体BCDEF视为刚体旋转，因此破坏时土体不会发生体积变形。故BCDEF区土重功率Wγ可表示为

式中：γ为土体容重；f1-f4和p1-p3具体表示式见文献[6]。

由于坡内孔隙水压力分布的复杂性，Bishop和Morgenstern[17]引提出孔隙水压力分布采用孔隙水压力ru从而考虑孔隙水压力的影响，并被诸多学者采用[18-22]：

式中：u为孔隙水压力；h为孔隙水作用高度。

Michalowski[7]以此将孔隙水压力作为外荷载引入能量平衡方程中，因此式（3）可改写为：

式中，ni为边界S的外法线方向。

本文采用 Michalowski[7]的计算方法求解孔隙水压力功率。假定土体处于稳定渗流状态，孔隙水压力为静水压力，且裂缝中水位高度与ru呈线性关系。当ru=0.5时，假设边坡处于水位线以下。作用在破坏面上的孔隙水压力功率Wu1可表示为

式中，h的具体表达式见文献[23]。

裂缝内水压力功率Wu2可表示为

式中：γw为水的容重，取γw/γ=0.5；θ（h）为裂缝中水位高度对应的角度。

如图1（a）所示，破坏面最大深度N/r0可由几何关系给出：

其中：

因此，沿破坏面的内能耗散率D为

由图1（a）中几何关系可得：

式中，δ=π/4+φ/2。

由图1（a）和（b）破坏面每处的黏聚力ci：

将式（15）、式（16）带入式（12）经积分和化简后可得到：

式中，q1-q3的具体表达见文献[5]。

根据式（4），令土重功率与孔隙水压力功率之和等于内能耗散率，可以得到非均质各向异性土坡的临界高度Hcr，并定义NS=γHcr/c为土坡的稳定系数：

NS是关于四个变量θ0，θc，θh和β'的非线性隐式函数，直接求解往往十分困难，因此采用序列二次规划优化算法求解NS的最优解，表述如下：

3 对比验证

为了验证上述模型和计算方法的正确性，将本文中的土坡退化成均质土坡与现有文献进行对比，即非均匀性系数n0=n1=n2=1。并令θc=θ0，即不考虑裂缝的存在，结合强度折减法将本文求解得出的稳定系数转化成安全系数Fs并对比各向异性系数k=0.5和k=1.0两种情况，相关参数与对比结果如表1所示。由表可知，对于各项异性均质土坡，本文求解结果与现有文献解答非常接近，最大误差不超过2%，从而充分验证了本文模型和计算方法的有效性。

表1 边坡安全系数对比分析Table 1 Comparative analysis of safety factors of slopes

4 参数分析

4.1 非均质性系数的影响

由图3—图6可知，考虑坡内孔隙水的存在会降低边坡稳定性。图3和图4给出了土体非均质性对边坡稳定性的影响。由图3可知，无论是否考虑坡内孔隙水压力作用，边坡稳定性随着n0的增大呈线性增大，且随着边坡坡角的减小和内摩擦角的增大，稳定系数增加的幅度增大。如图3（a）所示β=45°土坡，n0从0.5到1变化时，φ=10°和φ=20°对应的稳定系数γH/c分别增大了13.1%和17.4%。原因在于，坡顶处的黏聚力小于坡趾处的黏聚力，相比较于均质土，黏聚力整体减小了，从滑动土体沿破坏面消耗的内能减小，因而导致边坡稳定性减小。图4表示在不同孔隙水压力系数下土体非均质性对边坡稳定性的影响。从图4可以看出，在不考虑孔隙水作用下n0对边坡稳定性的影响最大，并随着孔隙水压力系数的增大，n0的影响在减小。ru=0和ru=0.5稳定系数分别提高了16.6%和10.3%。

图3 土体非均质性对边坡稳定性的影响Fig.3 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability

图4 不同孔隙水作用下土体非均质性对边坡稳定性的影响Fig.4 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability under different pore water pressure

图5 土体各向异性对边坡稳定性的影响Fig.5 Effect of soil anisotropy on slope stability

图6 不同孔隙水作用下土体各向异性对边坡稳定性的影响Fig.6 Effect of soil anisotropy on slope stability under different pore water pressure

图7 土体非均质性和各向异性对裂缝深度的影响Fig.7 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack depth

4.2 各向异性系数的影响

图5和图6给出了土体各向异性对边坡稳定性的影响。图5表明随着k的增大，边坡稳定性逐渐降低。原因在于，随着k的增大，ci减小，从而边坡破坏时沿破坏面消耗的内能减小，导致边坡稳定性降低。图6给出了不同孔隙水压力系数下土体对边坡稳定性的影响，从图中可知，对于不同的ru，边坡稳定性随着k的增大而降低，且随着ru的增大，土体的各向异性影响逐渐减小。

4.3 裂缝深度和位置

图7和图8分别给出了土体非均质性和各向异性对裂缝深度和位置的影响。从图7可以看出，裂缝深度随着坡角的增大而增大，图7（b）表明坡内孔隙水的存在会使得裂缝深度增加，原因在于裂缝中存在水压力在促使边坡ABCD破坏的同时也为垂直边坡AFE提供抗滑力，提高了该边坡的稳定性，即边坡临界高度Hcr增大，即裂缝深度。相比较于均质各向同性土坡，仅考虑各向异性的土坡对应的裂缝深度更大，而仅考虑非均质的土坡对应裂缝深度最小。从图8可知，裂缝位置随着坡角的增大先增大后减小至0。另外，无论是否考虑坡内孔隙水压力作用，图8表明土体的非均质性对裂缝位置的影响远大于土体各向异性对裂缝位置的影响。因此土体的各向异性对裂缝位置的影响可忽略不计。

图8 土体非均质性和各向异性对裂缝位置的影响Fig.8 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack location

5 结 论

本文基于极限分析上限定理，分析了孔隙水压力作用下土体非均质性和各向异性对裂缝边坡稳定性的影响，通过优化程序求解得到边坡稳定系数上限解，探讨了土体非均质性和各向异性对边坡稳定性及裂缝深度和位置的影响，得到以下结论：

（1）边坡稳定性随着非均质系数的增大呈线性增大，随着各向异性系数的减小而增大。这是由于土体的非均质系数增大和各项异性系数的减小导致滑落土体沿破坏面的内能耗散增大，从而提高边坡的稳定性。在实际工程中需考虑土体的非均质和各向异性以减小经济损失。

（2）孔隙水压力作用会导致裂缝深度增加。裂缝深度随着非均质系数和各向异性系数的减小而增大，但随着非均质系数和各向异性系数同时减小而减小。裂缝位置随着非均质系数的增大越靠近坡肩，土体的各向异性对裂缝位置的影响可以忽略不计。