利用配方法求值

程晓莉 徐卫国

配方法是解题中经常使用的一种方法，如果在解题的过程中，善于使用一些技巧，就能达到迅速配方的目的，从而使问题得到解决.

1 直接配方

例1 实数a，b，c满足a2+6b=-17，b2+8c=-23，c2+2a=14，则a+b+c=.

分析 将三个等式相加，进行配方，再根据完全平方的非负性，求出a，b，c的值，从而求出它们的和.

解 将三个等式相加，整理得

（a2+2a+1）+（b2+6b+9）+（c2+8c+16）=0，

即（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0，

所以a=-1，b=-3，c=-4，

所以a+b+c=-8.

2 先拆项重组再配方

例2 若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13（x，y是實数），则M的值一定是（）

（A）正数.（B）负数.

（C）零.（D）整数.

分析 先将原多项式拆项、重组再配方，转化成三个完全平方的和的形式，然后就其结果进行合理分析、推断，可得出结论.

解 因为

M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13

=2（x2-4xy+4y2）+（x2-4x+4）+

（y2+6y+9）

=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2

≥0，

且x-2y，x-2，y+3这三个数不能同时为0，所以M>0.

故选（A）.

3 先添项再配方

例3 已知实数a，b，x，y满足ax+by=3，ay-bx=5，则（a2+b2）·（x2+y2）的值为.

分析 将所求多项式展开后添项，就能得到两个完全平方的和的形式，再将已知条件代入即可.

解 原式=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

=（a2x2+2abxy+b2y2）+（a2y2-2abxy+b2x2）

=（ax+by）2+（ay-bx）2

=33+52

=34.

4 先消元再配方

例4 已知a，b，c是整数，且a-2b=4，ab+c2-1=0，求a+b+c的值.

分析 先用代入法消去a，再配方后根据整数的性质求出b，c的值，从而使问题得以解决.

解 把a=2b+4代入ab+c2-1=0，

得b（2b+4）+c2-1=0，

配方得2（b+1）2+c2=3.

因为a，b，c是整数，

所以（b+1）2=1，且c2=1.

所以b取0，-2时，c相应取±1，

从而a+b+c的值可以是3，-3，5，-1.

5 先引入参数再配方

例5 若x-1=y+12=x-23，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）

（A） 3. （B）5914. （C）92. （D） 6.

分析 已知连等式，可以考虑引入参数k，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值.

解 设x-1=y+12=z-23=k，

则x=k+1，

y=2k-1，z=3k+2，

所以原式=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2

=14k2+10k+6

=14k+5142+5914.

故选（B）.

6 先选择主元再配方

例6 若x，y是实数，且m=x2-4xy+6y2-4x-4y，确定m的最小值.

分析 选择x为主元，将条件等式重新整理成关于x的二次三项式，再配方求m的最小值.

解 因为m=x2-4（y+1）x+6y2-4y

=x2-4（y+1）x+（2y+2）2+6y2-4y-（2y+2）2

=（x-2y-2）2+2（y-3）2-22.

当x-2y-2=0且y-3=0，即x=8且y=3时，m取最小值，其值为-22.

练习

1.已知实数a，b，c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，则a+b+c的值等于（）

（A） 2.（B） 3.（C） 4.（D） 5.

2.若a，b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=（）

（A）-8.（B）-16.（C） 8.（D）16.

3.已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=（）

（A） 4.（B） 0.（C） 2.（D）-2.

答案 1.（B）.2.（B）.3.（B）.