巧用宾主换位法解赛题

刘汉奇

在解决一些含有参数（常量）与变元的竞赛题时，若直接求解运算和推理过程都较冗繁，可转换一下思维视角，进行“宾主换位”，即视参数（常量）等为 “主元”，而将变量视为参数（常量），从使问题得到巧妙、简捷地解决.以下举例说明宾主换位法在求解竞赛试题中的应用.

1 求代数式的值

例1 如果a=122+18-182，求a2+a4+a+1的值.

解 由a=122+18-182，得

a+182=122+18，

所以a+1822=142+18，

所以a2+24a=24，

所以22a2+14a-14=0，

所以12-22a2-14（a+1）=0，

所以222-22a2-14（a+1）=0.

这里，视22为“主元”，则22是关于t的方程

t2-a2t-14（a+1）=0的正实根.

因此 22=a2+a4-4×1×[-14（a+1）]2

=a2+a4+a+12，

故有a2+a4+a+1=2.

注 该解法巧妙地利用常量与变量的相互转化，把222-22a2-14（a+1）=0中的22看成“主元”，a看成常量，则得到关于的一元二次方程t2-a2t-14（a+1）=0，其中t是变量，a是常量，从而利用求根公式得解.

2 求解方程问题

例2 求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根.

解 视正整数a为“主元”，

由ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0，得

（x2+4x+4）a=2x+12，

所以（x+2）2a=2x+12，

所以a=2x+12（x+2）2.

因为a是正整数，

所以a≥1，

所以2x+12（x+2）2≥1，

所以2x+12≥（x+2）2，

所以x2+2x-8≤0，

所以（x+4）（x-2）≤0，

解得-4≤x≤2，

且x≠-2.

因为x是整数根，

因此x只能取-4，-3，-1，0，1，2.

将以上x的值分别代入a=2x+12（x+2）2，求得满足要求的所有正整数a的值为1，3，6，10.

注 本题视正整数a为“主元”，进行宾主换位，分离出a后，根据a是正整数，转化为x的不等式求解.

3 求定點

例3 若对于p的任意值，抛物线y=2x2-px+3p+1都过一个定点，则这个定点的坐标是.

解 因为定点与“参数”p无关，所以可视p为“主元”，将二次函数的解析式化为关于p的一次方程，由各个“系数”均为0求解.

由y=2x2-px+3p+1，变形得

（-x+3）p+（2x2+1-y）=0，

令-x+3=0，2x2+1-y=0，解得x=3，y=19.

故定点的坐标是（3，19）.

注 求图象恒过定点的方法：图象过定点，即与参数无关，可视参数为“主元”，将解析式变形整理为含参数和不含参数的两部分，然后令参数的“系数”和不含参数部分均为0，从而求出定点.

4 求解不等式恒成立问题

例4 当-1≤a≤1时，不等式x2+（a-4）x+4-2a≥0恒成立，则x的取值范围是.

解 视参数a为“主元”，将原不等式化为

（x-2）a+（x2-4x+4）≥0.

令关于a的 “一次”函数

y=（x-2）a+（x2-4x+4），

（1）当x=2时，不等式显然恒成立;

（2）当x≠2时，由一次函数图象的性质，得当a=-1时，y≥0，且当a=1时，y≥0，

由此得到关于x的不等式组

x2-5x+6≥0，x2-3x+2≥0.

对于x2-5x+6≥0，

因为由x2-5x+6=0，

解得x=2，或x=3，

结合函数y=x2-5x+6的图象可得x≤2，或x≥3;

对于x2-3x+2≥0，因为由x2-3x+2=0，解得x=1，或x=2，结合函数y=x2-3x+2的图象可得x≤1，或x≥2.

故结合数轴得x≤1，或x≥3.

综合（1）（2）可知，x的取值范围是x≤1，或x=2，或x≥3.

注 本题中x是变量，a是常量，但直接求解难度较大;这里变换了一下视角，视a为变量（主元），x为常量，并将关于x的“二次”不等式转化为关于a的“一次”不等式求解，则思路简洁.在各类考试题中，这是常出现的一类问题：系数中含有参数的关于变量x（或x的式子）的一元二次不等式，其参数在某给定的区间上且最高次数为1，求当不等式恒成立时，变量x的取值范围.此类问题如果直接考虑关于x的一元二次不等式则难以处理.如果视参数为 “主元”，将关于x（或x的式子）的“二次”不等式转化为关于参数的“一次”不等式，再利用一次函数的下列性质，构建出一个关于变量x的不等式（组），进而求出x的取值范围，则是一条简明而有效的途径.

一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：

①y>0（或≥0）在s≤x≤t上恒成立当x=s时，y>0且当x=t时，y>0（或当x=s时，y≥0且当x=t时，y≥0）;

②y>0在s<x<t上恒成立当x=s时，且当x=t时，y≥0）.

注：y<0（或y≤0）的情况类同.