反比例函数中的面积问题

董淑娥

【摘要】 反比例函数的面积问题主要包含以下三种情况：一点与原点以及坐标轴上一点构成的三角形的面积，两点与原点构成的三角形的面积，两点两垂线的面积问题.

【关键词】 反比例函数;面积问题

1 反比例函数上一点与坐标轴上一点及原点构成三角形

过反比例函数y=kx（k≠0）的图象上一点，向x轴或y轴作垂线，所围成的三角形面积为12|k|.

例1 如图1，过反比例函数y=kx（x>0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）

（A） 2. （B） 3.

（C） 4.（D） 5.

解 根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△AOB=12|k|，

所以|k|=2×2=4，

所以k=±4.

由图象，得k>0，所以k=4.

故选（C）.

例2 如图2，已知A为反比例函数y=kx（x<0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（）

（A） 2.（B）-2.

（C） 4.（D）-4.

解 因为AB⊥y轴，

所以S△OAB=12|k|=2，

所以k=±4.

由图象，得k<0，

所以k=-4.

故选（D）.

2 反比例函数上两点与原点构成三角形

2.1 两交点在双曲线的同一支上

反比例函数图象与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，如图3.

方法1 作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，

则S△AOB=S梯形AEFB.

方法2

S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.

例3 如图4，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于D，C，与反比例函数y=2x（x>0）的图象交于A，B两点，则△AOB的面积是.

解 作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则

S△AOB=S梯形AEFB=12（yA+yB）（xB-xA）.

由-x+3=2x，得 x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

所以A（1，2），B（2，1），

所以SAOB=12（2+1）（2-1）=32.

例4 如图5，在平面直角坐标系中，点P（1，4），Q（m，n）在函数y=kx（x>0）的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点A，B;过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）

（A）减小. （B）增大.

（C）先减小后增大.（D）先增大后减小.

解 由题意，得

AC=m-1，CQ=n，

则S四边形ACQE=AC·CQ=（m-1）n=mn-n.

因为点P（1，4），Q（m，n）在函数y=kx（x>0）的图象上，

所以mn=k=1×4=4.

所以S四边形ACQE=4-n.

因为当m>1时，n随m的增大而减小，

所以S四边形ACQE随m的增大而增大.

故选（B）.

2.1 两交点分别在双曲线的两支上

反比例函数图象与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上，如图6.

方法1

S△AOB=12OD·|xB-xA|

=12·|yA-yB|.

方法2 S△AOB=S△OCD+S△BOD+S△AOC.

方法3 作AE⊥y轴，BF⊥x轴，AE与BF相交于点N，则

S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△BOF-S矩形OENF，

或S△AOB=S△ABN-S△AON-S△BON.

例5 如图7，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点.

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;

（2）求△AOB的面积.

解 （1）因為点A（-2，1）在反比例函数y=mx的图象上，

所以m=（-2）×1=-2.

所以反比例函数的表达式为y=-2x.

因为点B（1，n）也在反比例函数y=-2x的图象上，

所以n=-2，即B（1，-2）.

把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数中，得

-2k+b=1，k+b=-2，解得k=-1，b=-1.

所以一次函数的表达式为y=-x-1.

（2）在y=-x-1中，当y=0时，得x=-1.

所以直线y=-x-1与x轴的交点为C（-1，0）.

因为线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

所以S△AOB=S△AOC+S△BOC

=12×1×1+12×1×2

=12+1=32.

3 两点两垂线的面积问题

反比例函数图象与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|.

如图8，S△APP′=2|k|，

如图9，S四边形AMBN=2|k|.

0

例6 如图10，反比例函数y=5x的图象与直线y=kx（k>0）相交于A，B两点，AC∥y轴，BC∥x轴则△ABC的面积等于.

解 直接利用上面的结论可得S△ABC=2|k|=10.