分类讨论思想的应用探讨

张应祖

【摘 要】 培养学生的逻辑思维能力是高中数学的教学目标之一，而分类讨论思想是逻辑能力的一种.教师在教学中运用分类讨论的方式对知识点和习题进行讲解，可以有效提升学生的逻辑思考能力.分类讨论是求解高中数学问题常用的方法，通过分类讨论可以有效降低题目的难度，达到精准解题的目的.本文就分类讨论的思想进行探究，并结合高中数学知识点及在实际题目中的应用，具体地阐述了分类讨论方法在高中数学课堂的重要性.

【关键词】 高中数学;分类讨论;数学逻辑

近些年来，分类讨论思想的运用多次在高考试题中出现，分类讨论的思想被大量应用在求解参数问题、不等式问题、函数问题以及概率问题中.熟知分类讨论的思想有助于学生在解题过程中打开思路，能够熟练地掌握分类讨论的方法，可以提高学生的逻辑素养.

1 分类讨论概述及其意义

分类讨论的思想是通过将问题分为两个或多个情况来对问题进行拆分处理，然后再分别在限定情况下进行求解.在高中数学的教学过程中，当数学问题相对复杂，不能用一个公式或一种思想来进行求解时，则可进行分类讨论.将一类的问题归结后进行求解，避免因一概而论而造成求解错误，这是分类讨论的核心.分类讨论的思想在高中的学习中是十分重要的，它不仅体现在解题中，在定理中也会涉及用分類讨论的方法来进行定义.

例如 一元二次方程解的判断常使用的根的判别式是：当Δ≥0时，则表明方程具备实数解，而如果Δ<0，则说明方程不存在实数解[1].这其实就是一种只具备两种情况的分类讨论，也是分类讨论思想最直观的表现.在不同情况下定义和定理的结论是不同.而这些不同，对结果的影响巨大，这也是分类讨论思想的意义所在.利用分类讨论的思想可以快速地将复杂和多变的情况变成一个个相对小且简单的问题，这样既可以让解题的思维更加清晰，也可以更加全面地认识问题，而不会造成遗漏.需要注意的是，运用分类讨论思想时需要考虑多种情况，所以易出现遗漏个别情况，即考虑问题不够全面，这就要求教师在进行学生能力培养的同时，不可忽略学生基础能力的培养，以此使学生具备全面思考的能力和一定的数学逻辑素养.

2 分类讨论思想的课程设计

分类讨论的思想是高中数学教学中不可缺少的一环，帮助学生建立分类讨论的意识有助于学生的学习.如何将分类讨论的思想融入到课堂中，需要教师根据实际教学情况进行合理的安排.在高中数学的教学中，传统老旧的教学方式是由教师进行填鸭式的讲解，学生的课堂参与度并不高，此时将分类讨论思想糅杂进课堂存在难度.既然是讨论，那就可以有意识地在进行分类讨论练习时采取交互式的课堂，帮助学生更好地体会分类讨论思想的运用.

例如 在进行选修1-1的圆锥曲线与方程这一章节中的抛物线与直线关系判断的学习时，就可以采取交互式的课堂教学.首先给出直线与抛物线的方程，抛物线方程的焦点在x轴上，即抛物线方程：y2=2px且p>0，直线方程：Ax+By+C=0且A2+B2≠0.给出公式后可以逐步引导学生进行判别式的推导，得到的判别式是：Δ=pB2-2AC，得到判别式之后就可以进行分类讨论.将学生分为不同的组别，分别对Δ>0，Δ=0，Δ<0的情况进行讨论.最后可以得出结论：当判别式大于0的时候相交，小于0的时候相离，等于0的时候相切[2].在讨论完判别式的情况之后再进行问题的设计，询问学生是否所有的情况都考虑到了，然后再引出考虑直线A=0的情况，这样就可以让学生全面深入地看待问题，也能让他们对分类讨论的思想有进一步的认识.在课堂中有意识地引导学生进行分类讨论的思考，不仅可以通过知识点的讲解来进行，也可以设计相应的分类讨论的习题，让学生在解题的过程中潜移默化地形成分类讨论的意识.

3 分类讨论方法的几种应用

3.1 求解不等式

分类讨论的方法在高中数学中的应用十分广泛，其中在进行选修4-5中不等式的学习时经常会运用到分类讨论的思想，特别是在求绝对值不等式中.不同的定义域，方程的表达式会发生一定的变化，这时需要将定义域进行拆分，分属不同的情况来进行求解[3].比如，在给定区域（A，B）中求解不等式x-a+x-b>0时，需要考虑绝对值不等式中a，b与x的取值之间的大小关系，进行分开求解后再将所有情况进行汇总求解值域的范围，以下通过实例进行具体说明.

例如 求解不等式x-2+x+1>0时，x的取值范围.

因为题目中并没有在初始定义x的取值，所以默认在整个实数域内，要求解不等式中的取值范围需要将绝对值去掉，转化为普通的形式来进行求解，当x取不同值时，不等式会发生变化，下面我们进行分类讨论：

当x<-1时，不等式会变成

2-x+（-x-1）=1-2x>0;

当-1≤x<2时，不等式就变成了

2-x+x-1=1>0;

当x≥2时，不等式为：2x-1>0;

将以上三种情况下x的取值范围求解，可得到三个不同的区间.通过求解它的并集即可得到所求x的取值范围.事实上，求解的过程是非常基础的计算，难点在于用分类讨论的方法将绝对值去掉，这需要教师在习题讲解过程中对学生进行启发.

通过例题我们可以清晰地看到分类讨论思想在解题过程中的运用，其实不限于绝对值不等式的求解，对于含有参数的一元二次方程，也可以采取分类讨论的方法来进行求解.

3.2 函数中的分类讨论

函数是高中数学学习的重点，无论是方程还是不等式，都可以转化为函数问题进行求解.在近几年的高考试卷中，函数常作为压轴题对学生进行考核，这也从侧面反映了函数学习的重要性.而在函数的学习中运用分类讨论的思想可以将问题进行转化，达到快速解题的目的.

例如 在求解给定范围的函数最大值或是最小值时，就可以采取分类讨论的形式进行求解.尤其是对于分段函数来说，要利用导数直接求解有时候是行不通的，因为可能存在函数分段之后在那个极值点并不具备可导性.此种情况就需要采取分类讨论的方法来进行分段求解，之后再将各段的最大值或是最小值进行比较，最后得出在给定范围内的函数的最大值或是最小值[4].

不仅如此，在研究函数问题时经常会碰到函数含有参数的情况，其中最为简单的是二次函数中的参数问题.关于函数y=ax2+bx+c，常讨论的是参数a的变化，因为a的变化会影响函数图像的开口问题，对于参数a大于或小于0，二次函数会具备不同的函数性质，在解题的过程中我们会用到函数的相关性质，所以它的分类是十分必要的.采取分类讨论的形式对问题进行拆分，在各个限定条件下分别讨论完成之后再进行汇总，最后得到问题的答案.当然这些都还只是分类讨论思想在函数中的很小部分的运用，但也足以看到分类讨论思想在解决一些函数问题时所独有的优势.掌握分类讨论的思想就可以从简单处着手，逐步接近问题的答案.

4 结语

分类讨论在高中数学中的应用十分广泛，在遇到情况复杂或者是棘手问题的时候，运用分类讨论可以快速地将题目抽丝剥茧，将复杂的问题化繁为简，从而找到解题的思路.在用分类讨论思想解决实际问题时，应该注意全面地看待问题，在进行题目的求解时应充分考虑到题目中出现的所有情况，避免遗漏任何可能的情况.同时在教导学生采用分类讨论思想解题时也应注重基础教学，因为在高中数学里部分题目的设计本身就带有考虑不全面的陷阱，如果在考虑不全面的情况下使用分类讨论的方法就可能落入题目中的陷阱，影响最后答案的正确性.不仅如此，分类讨论还要求学生具有查漏补缺的能力，能够及时地发现解答过程中的错误或是遗漏，教师在进行教学的时候可从这方面入手，锻炼学生全面思考的能力.

参考文献：

[1]董波. 高中数学教学中学生分类讨论思想的培养与应用[J]. 新纪实·学校体音美， 2019， 000（009）：1-1.

[2]陈桂英. 浅谈在高中数学课堂中分类讨论思想的有效运用[J]. 课程教育研究：学法教法研究， 2019， 000（004）：163-163.

[3]黄丽菊. 分类讨论思想在高中数学教学中的应用分析[J]. 新教育时代电子杂志（教师版）， 2019， 000（006）：84.

[4]徐佳环. 分类讨论思想在数学解题方式中的应用研究[J]. 佳木斯职业学院学报， 2019， 194（01）：164-165.