基于灰色预测模型的参数寻优方法及能源预测应用

苏 琪，王海波，施晓辰，李桂鑫，孙 阔

(国网天津市电力公司城南供电分公司，天津 300201；2.国网天津市电力公司，天津 300000)

天津市2021年《政府工作报告》指出：加快实施碳排放达峰行动。制定实施碳排放达峰行动方案，推动钢铁等重点行业率先达峰和煤炭消费尽早达峰。完善能源消费双控制度，协同推进减污降碳，实施工业污染排放双控，推动工业绿色转型。为了制定切实可行的碳达峰行动路径，需要对天津未来能源供需及碳排放进行准确预测，在此基础上制定天津低碳转型的路径。

灰色理论是由邓聚龙在1989年首次提出的[1]，至今已有20多年的历史。该理论不依靠统计方法来考虑灰色量，但它间接地使用原始数据识别其内在的规律性。累积生成操作(AGO)是灰色理论的主要思想，起源于初级统计中的累积分布。AGO的目的是将原始数据的随机性减少到单调增长的序列。灰色理论已被广泛用于预测研究，因为与其他预测技术相比，它的预测精度更高[2-3]。对于可以用指数函数曲线近似的时间序列，使用GM(1，1)可以在一定程度上提高预测精度，因为传统的灰色模型是用指数函数构造的。然而，实际系统的时间序列会有波浪式的变化，传统的灰色模型在处理这种数据时，预测精度较低。因此，人们提出了许多模型来提高这一精度，如taguchigrey[4]，灰色-模糊[5]，三角-灰色[6]和其他模型[7-10]。这些混合模型虽然能够一定程度提高灰色GM(1，1)模型的预测精度，但是由于包括复杂的数学计算，难以工程应用。

受美国帝王蝶迁徙行为的影响,Wang等[11]提出帝王蝶优化算法(Monarch Butterfly Optimization,MBO)，MBO 有 2 个算子：具有局部搜索能力的迁移算子和具有全局搜索能力的调整算子，在 MBO 中，迁移算子和调整算子可同时确定帝王蝶的搜索方向,所以 MBO 适合并行处理，可在强化和多样化之间进行权衡。MBO计算过程简单，所需计算参数较少，易于程序实现。因此，MBO 在许多领域得到广泛应用[12-13]。

GM(1，1)模型基于对累加后的生成序列，运用最小二乘法对模型参数的求解会产生发展系数a和灰作用量u两个辨识参数，因此其数值的大小是影响模型误差的重要因素，并且直接决定了预测结果是否正常合理。

GM(1，1)模型实质上是指数模型，并且存在一定程度的偏差。当参数较小时，对应原始序列的曲线比较平坦，则原始曲线与模拟序列的曲线的拟合度较高，误差较小；当参数较大时，GM(1，1)模型可能失效[14-17]。灰作用量具有随时间变化的动态性质，它反映了数据变化的关系，如果能够找到更优的u值代入模型进行预测，则模型的精度将会提高[18]。

本文用帝王蝶MBO算法与GM(1，1)模型融合对模型的a、u两参数进行优化，采用平均误差函数为MBO算法的目标函数，提出了一种全新的灰色-帝王蝶优化模型算法，有效的提高了灰色算法的预测精度和对波浪形时间序列数据的适用性，迭代方法简单，收敛速度快，易于工程实现。

1 基本理论

1.1 灰色预测模型基本思想

灰色预测是灰色系统理论的重要组成部分，灰色预测模型通过对不完全，杂乱的小样本数据，将其中的灰色信息进行加工处理，使之变成一种明确的信息，达到将其白化的作用，并在此过程中发掘系统内在的演化规律，得到对事物发展的长期性描述，以实现对未来变量的模糊定量预测。常用的方法有GM(1，1)模型、灰色Verhulst模型。按照灰色预测模型的功能和特征，可以把预测模型分为数列预测、波形预测、区间预测、灾变预测和系统预测等类型[19]。

1.2 GM(1，1)预测模型

GM(1，1)模型是灰色预测模型中应用最为广泛的一种动态模型。GM(1，1)模型的数学模型步骤如下：

(1)对原始数列的处理记原始数列为X(0):

X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)](X)(0)(k)≥0,k=1,2,…,n)

(1)

对X(0)做一次累加得到生成序列X(1)(1-AGO):

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)](k=1,2,..n)

(2)

(2)生成序列X(1)一般近似地服从指数规律，建立一阶微分白化方程:

(3)

(3)用最小二乘法求得辨识参数a、u的值后所得预测模型为：

(4)

(4)对上述的计算值按下式累减还原，得到模拟序列：

(k=1,2,…,n-1)

(5)

1.3 帝王蝶算法MBO的算法描述

帝王蝶算法中，每只帝王蝶都是解空间中一个可能解，通过并行的迁移算子和调整算子来平衡种群中蝴蝶的搜索方向。个体的适应度与目标函数相关联，每代中适应度为优值的蝴蝶精英个体直接进入下一代[20]，以避免蝴蝶种群的质量随着迭代次数的增加而下降。如此迭代循环，最终选取出适应度最优的蝴蝶个体，以此达到优化目的。在帝王蝶算法中，目标变量为一个d维的解向量，N个帝王蝶构成一个d维解空间，所以每只帝王蝶都是解空间中一个可行解。MBO算法中有两个重要的算子，即迁移算子和调整算子。

MBO算法还使用了精英保留策略，在每一次的迭代初期会计算种群所有个体的适应度并根据其大小进行排序，选取适应度最优的几个蝴蝶个体最为精英保存下来。在本次的迭代计算执行完迁移算子和调整算子后，重新合并种群后再次计算种群所有蝴蝶个体的适应度，并根据其值进行大小排序，用迭代初期的精英蝴蝶取代迭代后期适应度值差的相同个数的蝴蝶。

2 灰色-帝王蝶优化算法

本文用帝王蝶MBO算法与GM(1，1)模型融合对模型的a、u两参数进行优化，采用平均误差函数为MBO算法的目标函数，平均误差值越小表明适应度越高，反之则越低。目标函数可以表示为：

(6)

优化模型的算法流程如下：

1.将原始数据整理成序列，通过GM(1，1)模型得出原始序列的模拟序列和a、u两个辨识参数；

2.通过分析GM(1，1)模型中的1-AGO序列的图像形态，大致推断出a、u的取值范围；

3.初始化蝴蝶种群，每只蝴蝶的位置组合了a、u两参数的信息，并且每只蝴蝶代表目标函数的一个解；

4.根据原始序列和模拟序列构造出平均误差函数作为目标函数，迭代初始阶段对种群进行适应度值计算并排序；

5.选取出适应度值高的keep个蝴蝶个体，标记为精英个体保留；

6.将种群分为两部分，执行迁移算子更新Land1的蝴蝶，执行调整算子更新Land2的蝴蝶；

7.合并更新位置后的种群，重新计算适应度值，取出适应度差的keep个蝴蝶做好标记；

8.用精英蝴蝶对适应度差的蝴蝶进行直接替换，替换后的种群作为下一次迭代的初始种群；

9.标记本次迭代的适应度值最优的个体，循环迭代，当达到最大迭代次数时停止循环，在每代的最优个体中选取出最优个体作为最终优化结果。

图1 MBO算法对GM(1,1)模型参数优化算法流程图Fig.1 MBO algorithm for GM(1,1) model parameter optimization algorithm flow chart

3 算例分析

3.1 所提算法正确性与有效性分析

为验证所提算法的正确性与有效性，本文将所提算法与文献[21]中对天津市工业终端能耗量预测结果进行比对分析。

文献[21]选取了2000年～2010年天津市工业能源终端消费量作为模型的原始序列，由于原始序列的平滑性很好，其总体趋势与GM(1，1)模型预测结果已经非常贴合，预测效果好。在此基础上，我们用本文提出的灰色-帝王蝶优化算法对该段数据序列进行预测，结果如下：

表1描述了文献[21]中预测模型与本文所提算法对天津市2000年～2010年工业能源终端消耗量预测值与实际值对比，两种算法都能够较准确的预测工业能源终端消耗量，说明了本文所提算法的正确性。

表1 不同预测模型下天津市2000年至2010年工业能源终端消耗量预测Tab.1 Forecast of terminal industrial energy consumption in Tianjin from 2000 to 2010 under different forecasting models

下图2为对表1中数据进行图形化，从图中也可清晰看出两种算法对真实值的拟合度，说明了本文所提算法与文献[21]中的算法都能较好的预测天津市工业能源终端消耗量。

年份图2 不同预测算法下天津市2000年至2010年工业能源终端消耗量预测曲线Fig.2 The forecast curve of Tianjin’s industrial energy terminal consumption from 2000 to 2010 under different forecasting algorithms

图3表示帝王蝶算法对GM(1，1)模型参数优化的平均相对误差收敛图，由图3可以看出经过3次迭代即可收敛到0.101以下，经过6次迭代即可将平均相对误差缩小至0.1，表明了本文所提灰色-帝王蝶算法的迭代方法简单，收敛速度快，易于工程实现。

迭代次数图3 帝王蝶算法对GM(1，1)模型参数优化的平均相对误差收敛图Fig.3 The average relative error convergence diagram of the Monarch Butterfly algorithm for GM (1,1) model parameter optimization

文献[21]中GM(1，1)模型与本文提出的基于帝王蝶算法的GM(1，1)优化模型的平均绝对误差MAE、平均相对误差MAPE、均方根相对误差MSRE三种精度指标的比对结果如下：

表2数据结果显示，用帝王蝶算法优化的GM(1，1)预测模型要比GM(1，1)模型的精度更高，误差更小，预测效果更优，可以验证本文所提方法的正确性与有效性。

表2 两种模型MAE、MAPE、MSRE误差分析对比Tab.2 Error analysis and comparison of two models MAE,MAPE,MSRE

3.2 所提算法优越性和适应性分析

本文搜集了天津市统计局发布的《2020天津统计年鉴》中1993年至2019年的1次能源生产总量数据，用以进一步验证所提出的用帝王蝶算法对GM(1，1)参数优化后预测模型的效果，并对未来几年天津市一次能源生产量进行预测，预测结果如下：

表3描述了文献[21]中预测模型与本文所提算法对天津市1993年至2019年间1次能源生产总量预测值与实际值对比。

表3 不同模型时天津市1993年至2019年间一次能源生产总量预测Tab.3 Forecast of Tianjin’s total primary energy production from 1993 to 2019 under different models

下图4为对表3中数据进行图形化，从图中也可清晰看出两种算法对真实值的拟合度。

年份图4 天津1993年至2019年一次能源生产总量预测Fig.4 Forecast of total primary energy production in Tianjin from 1993 to 2019

图5表示帝王蝶算法对GM(1，1)模型参数优化的平均相对误差收敛图，由图3可以看出经过4次迭代即可收敛到0.181以下，经过8次迭代即可将平均相对误差缩小至0.179，选用平均绝对误差MAE、平均相对误差MAPE、均方根相对误差MSRE作为模型的精度指标，将GM(1，1)参数优化前与优化后模型的预测结果比对结果如下：

迭代次数图5 帝王蝶算法对GM(1，1)模型参数优化的平均相对误差收敛图Fig.5 The average relative error convergence diagram of the Monarch Butterfly algorithm for GM (1,1) model parameter optimization

根据天津市1993～2019年1次能源生产总量的实际值曲线图4可以发现，在1993～2009年间能源生产量呈稳定的趋势增加，2010年的能源生产量陡然增加，往后3年的产量小幅度递减，而后又遭遇较大幅度提升，随后几年维持较平稳的增加。在原始序列变化不稳定的情况下，用GM(1，1)模型进行预测必然存在一定的偏差，根据表4中两种模型MAE、MAPE、MSRE误差分析对比结果表明：平均绝对误差由优化前的476.2480降低到优化后的438.7827、平均相对误差由0.2233降低到0.1474、均方根相对误差MSRE由0.2995降低到0.1809，用帝王蝶算法对GM(1，1)参数优化后与优化前模型的精度有明显的提高，从而进一步验证了本文所提出的用帝王蝶算法对GM(1，1)参数优化后预测模型的优越性和适应性。

表4 两种模型MAE、MAPE、MSRE误差分析对比Tab.4 Error analysis and comparison of two models MAE,MAPE,MSRE

3.3 所提算法的具体应用

用帝王蝶算法优化后的GM(1，1)模型对天津市2020-2035年1次能源生产总量(万吨标准煤)进行预测，假设自2021年开始，按每年对一次能源生产总量(万吨标准煤)的4%进行清洁能源替代，则2021年清洁能源替代一次能源生产总量的比例为4%，2022年清洁能源替代一次能源生产总量的比例为8%，2023年清洁能源替代一次能源生产总量的比例为12%，以此类推，2030年清洁能源替代一次能源生产总量的比例为40%，从而得出清洁能源替代后的一次能源生产总量(万吨标准煤)的实际值，进一步，取标准煤的碳排放转换系数为IPCC《国家温室气体排放清单指南》和国家发展和改革委员会能源研究所公布的排放系数平均值0.7517，从而得出2021～2035年天津市1次能源生产总量(万吨标准煤)的预测值、每一年清洁能源占当年1次能源生产总量的比例、每年非清洁能源1次能源生产总量及每年碳排放预测值如下表5：

由表5可以看出，随着经济社会的发展，天津一次能源生产总量(折合万吨标准煤)持续上升，2030年预计达14372.11万吨标准煤，排碳量高达10803.52万吨，如果从2021年起，将每年天津一次能源生产总量(折合万吨标准煤)的4%用清洁能源取代，则到2030年清洁能源占天津一次能源生产总量40%时，天津一次非清洁能源生产总量(折合万吨标准煤)将降至8623.27万吨，并将在2031年碳排放达峰(6510.09万吨)，从而应用所提出的灰色-帝王蝶优化模型算法实现天津一次能源生产总量及碳排放的预测，并根据预测结果给出天津实现2030年左右碳达峰的可行路径，为全国实现2030碳达峰目标提供可供选择的“天津方案”。

表5 天津市2020-2025年1次能源生产总量及碳排放优化前后预测结果Tab.5 Forecast results of Tianjin’s total primary energy production and carbon emissions from 2020 to 2025 before and after optimization

4 结论

本文首次将帝王蝶优化算法运用到传统灰色GM(1,1)预测模型中，并实现了灰色-帝王蝶优化模型算法对天津市能源供需及碳排放量的预测，主要结论如下：

1.能源原始数据波动不大时，本文所提算法与传统灰色预测算法对天津市能源供需的预测效果都比较良好，本文算法的预测精度更高，预测效果更优，证实了本文所提方法的正确性与有效性。

2.能源原始数据波动较大时，传统算法不能很好的预测天津市能源供需量，存在一定的偏差，而本文所提算法依然能够给出很好的预测效果，相比传统算法，本文算法的MAE、MAPE、MSRE误差均有显著降低，预测精度有明显的提高，证实了本文所提方法的优越性和适应性。

3.本文所提算法对天津市一次能源生产总量及碳排放预测结果表明，从2021年起，将天津市每年一次能源生产总量中清洁能源占比逐年提高4%，天津市一次能源碳排放量将在2031年达峰，排碳量预计为6510.09万吨，为天津市实现2030碳达峰提供参考路径。