让数学实验操作更富有智慧

江苏南京市芳草园小学（210000）冯居加

［教学片段］

师：下面我们通过实验探究锥形玻璃容器体积的求法。先在锥形玻璃容器中装满太空沙，再将装好的太空沙倒入一个圆柱形玻璃容器中，重复操作，看看需要几次才能装满。各小组分工合作。

师：圆柱形玻璃容器装满太空沙需要几次？锥形玻璃容器和圆柱形玻璃容器的体积有什么关联？

生1：圆柱形玻璃容器装满太空沙需要3次。我觉得圆柱形玻璃容器的体积是锥形玻璃容器的3倍。

生2：我们组得出的结论也是3次，这说明锥形玻璃容器的体积是圆柱形玻璃容器体积的三分之一。

生3：我们一共需要4次。我们组认为锥形玻璃容器的体积是圆柱形玻璃容器体积的四分之一。

生1：我们组支持三分之一，反对四分之一。

生4：我们组与他们的都不一样！我们的结果是不到3次。

师：三分之一？四分之一？不到三分之一？真相到底是什么？老师带大家一起来揭晓，大家不要眨眼，先将锥形玻璃容器装满太空沙，然后倒入已被清空的圆柱形玻璃容器。一次，二次，装满了，二分之一？这次又不一样。这是怎么回事？

生5：老师用的锥形玻璃容器是特大号的，每次装的沙子要多一些。

（教师改用学生所用的小号锥形玻璃容器重复实验，结果3次可倒满。）

师：在什么情况下才能说锥形玻璃容器的体积是圆柱形玻璃容器体积的三分之一呢？

生6：等底等高时。

生7：严格来说，应该是锥形玻璃容器体积是与它等底等高的圆柱形玻璃容器体积的三分之一。

师：这下就知道刚才的“二分之一”“四分之一”是哪里出了纰漏了。

（学生议论纷纷）

上述教学很传统：首先确定操作方法和规程，然后让学生照做，最后学生自行归纳总结锥形玻璃容器体积的计算方法。这样的教学设计自动屏蔽了学生的原始经验，贸然用实验代替图形推理，跳过常用的几何性质推导法，让学生一头雾水。因为教师没有制造必要的认知冲突，没有激发学生的探究动机，也没有摆明探究的根本原因。为什么非得采用倒沙的方法，还有没有其他方法？这样不由分说地强制实施，没有任何解释和交代，会让学生十分迷惑，他们根本不知操作的意义何在。小学生的天性会促使他们去操作，但是这种天性使然的操作只是贪玩，学生的好奇心只是集中在为何倒的次数不一样上，而没有转移到对圆锥体积的反思。真正数学化的操作探究应该是引导学生在观察对比中进行理性思考，而不是停留在对游戏现象的思考。因此，数学操作实验应成为学生数学思考的载体，应凸显实验的学科性和专业性。为此，笔者进行了大力改进。

一、设计实验应该考虑学生的经验基础

学生在长期的数学操作活动中形成了一定的反思能力，这是宝贵的教学资源。教师在教学时应善加利用。比如，在学习“锥形玻璃容器的体积”之前，学生积累了将圆柱转化成长方体求体积的经验，在六年级上学期也见识过用排水法求不规则形状物品的体积，两种方法都向学生传递了等积变换的思想。对此，教师不妨“旧事重提”，既能回顾旧知，重温等积变换的思想，又体现了解决问题方法的多样性。

【教学改进1】

师（拿出一个泥塑圆锥体）：谁能设法算出这个泥塑圆锥体的体积？

生1：不妨将这个泥塑圆锥体揉捏成长方体、正方体、圆柱体等规则几何体，虽然形状改变，但是体积却是不变的。这样再求体积就有现成的公式可用了。

生2：还可以将其置入水槽中，这样升高的液柱体积就是泥塑圆锥体的体积。

师：都是好办法，无非就是转化一下，变形成其他规则形体再求体积，是吗？

生3：没错，正是如此。

师：看来你们已经无师自通，这还没正式开场呢，真厉害！

经过小小的改变，学生各种奇谋频出，教师顺着学生的思维继续引导，顺其自然制造认知冲突，突破学生知识边界。在后续教学中，教师可通过问题“如果这个圆锥体不是泥塑的，而是铁制的怎么办？如果这个铁制的圆锥体的体积很大，又该如何是好？”显然新的情境是合情合理的，而且学生刚给出的两种方法已经失灵，学生产生了认知冲突，寻求新的方法成为迫切的需要。认知的冲突激发了学生的探究动机和学习欲望，为学生后续操作铺好了路。

操作不是盲目动手，是带着某种指导思想去行动，去积极探索有意义的实验方法，而这种探索不是教师独断专行，将所有实验流程和步骤和盘托出，然后要求学生一步步严格按照要求来做。这样一来，学生是不多加思考的，即便教师告诉他们实验原理和实验目的，他们也无法形成自己的数学思想，例如直接教学生用圆锥形容器装沙后不断倒入圆柱形容器中，这种做法的基本思想是什么，学生不知道，为什么要等底等高才能对比，学生也浑然不觉；而将圆锥换成泥塑的，学生就会想到通过揉搓变形，转化成其他规则几何体。这既体现了转化思想，又体现了等积变换的思想。两大思想被激活后，就能形成合力，当遇到新的情境——铁制的圆锥（无法变形），体积很大（无法溢水）时，学生就会想到要运用转化思想和等积变换思想。

二、结论验证离不开大数据排查

当探究“是否可以找到锥形玻璃容器与圆柱形玻璃容器之间的几何联系，然后利用这种关系进行转化，间接求得锥形玻璃容器的体积”这一问题时，通常做法是直接出示两个等底等高的圆柱形玻璃容器和锥形玻璃容器，然后进行倒沙实验，验证两个容器体积存在1∶3的比例关系。这些都是强制学生为操作而操作。既然要操作，为何还要限制那么多，为何不索性放手让学生按照自己的真实意愿操作呢？因此，笔者做了大幅度改动，还给学生足够的探究自主权。首先准备了多组等底等高的圆柱形玻璃容器和锥形玻璃容器，其他普通的圆柱形容器和圆锥体容器也混杂其中，一一编号，以示区别，然后放手让学生随意装填太空沙，随意更换容器，交叉配对，唯一的要求就是如实记录实验数据，尤其是配对的容器编号与装沙的转换次数，以及推测出的体积倍数关系，均要一一记录，在获得大量真实的数据后，还要整理归纳，概括出实验结论。

【教学改进2】

1.大胆猜想

（1）初步猜想：锥形玻璃容器的体积可能与哪些因素有关？到底是什么样的数量关系？

（2）观察实验现象，二次猜想。

2.实验验证

（1）学生分组实验，填写实验报告（如表1）。

表1 锥形玻璃容器的体积实验报告单

（2）汇报交流。

（3）实践操作、归纳总结：从实验现象中看出了什么？得出什么结论？

这样的实验过程才真实的。从大量的真实的现象中寻找规律，这些规律是没有经过人工筛选的，才能令学生信服。而且学生的实验过程充满了选择权，所有的可能被考虑进去，等底等高不再是一种硬性要求，不等底不等高也不会成为干扰，一切都由学生自行区别和辨析，学生分析研究实验数据的能力大大增强。

铁质的巨大圆锥既无法轻易变形，又无法利用排水法，那么只能采用别的办法，但是不论采用什么办法，都必须等积变换，将不规则的圆锥转化成其他规则几何体，这一转化是倒沙模型的思想基础。可将太空沙堆出和铁质的圆锥相同的模型，然后将太空沙倒入圆柱形容器中，再进一步转化，缩小模型，将圆锥假想成空心的容器，装沙后转入圆柱形容器中。此时，圆柱形容器和其他规则形状的容器并无不同，是一个随机选择。通过一次次实验，学生慢慢摸索出需要控制变量才能准确计算出圆柱与圆锥的转化比，这个唯一可控的变量就是底面面积，恰好，圆锥的底面与圆柱的底面都是同种形状，因此，利用它们的底面积建立转化是最佳选择。

三、实验结论的应用习题应该有梯度

教师如果只是不停地仿制或者重复习题训练，就会阻碍学生的思维发展，束缚学生的思想，磨灭学生的问题意识，扼杀学生的创新精神。教师可以将习题设置成升级闯关模式，让学生不断地接受挑战，不断寻求新的刺激，不断满足新的求知欲，不断尝到成功的喜悦，还可以让学生通过反思完成自我提升。

【教学改进3】

“锥形玻璃容器的体积”检测题

1.一个锥形玻璃容器的体积是21毫升，和它等底等高的圆柱形金属容器的体积是 。

2.把一块圆柱形木料削切成一个最大的圆锥形陀螺，则削去的木屑的体积与陀螺的体积比是___________，削去的木屑的体积是圆柱形木料体积的_______________。

3.沙漏是我国古时候常用的计时器，其实就是一个带有时间刻度的圆锥形容器，已知该设备底面半径是2分米，高是6分米。沙漏中装满铁砂，如果每小时流出7升铁砂，那么沙漏中的铁砂全部漏出代表时间过了多久？

4.巧克力专卖柜里摆放着同一种原料制成的巧克力，它们都有着统一大小的圆形底座。一种巧克力是圆锥形，每块5角钱；一种巧克力是圆柱体，每个1元钱。如果你有1元钱，买哪种巧克力更实惠？

通过操作概括出圆柱体积与和它等底等高的圆锥的体积关系式后，得到的只是一个刻板的公式，学生在应用时大多不去考究这个公式的来历，直接套用。其实，这个操作实验渗透的不仅是转化思想，也不是仅仅为了揭示圆锥体积公式中究竟从何而来，而是通过整个操作过程来训练学生思维的灵活性和培养学生的空间观念。学生会发现，一个形状的容器可以去丈量另一种形状的容器，一种容器的容积恰好可以是另一种容器的容积的整倍数，不规则物品的体积只要进行叠加就能得出规则物品的体积……还有各种有趣的比例关系，比如用圆柱形木料削成一个最大的圆锥体，削去的部分、整体与圆锥之间存在比例关系，削去的木屑占2份，圆锥占1份。又如，一个体积是9立方分米的圆锥形钢坯，熔铸成一个和原型等底等高的圆柱，圆柱形钢坯的高是多少？此时，就需要熟练灵活运用等积变换规律。

通过习题的梯度设计，以及在习题中不断增加新元素和新的思维结构，促使学生不断去创新方法来应对不断出现的新变化，形成创造性解决问题的能力。学生在爬坡式练习中，既可以增加学习兴趣，又可以产生成就感和自信心，还能获得不同级别的提升。同时教师从中能更好地了解学生的差异，由此实施分层教学。