提高解题能力 落实核心素养——浅谈一节高三复习课的教学感悟

◎李成坤(嘉兴市第三中学，浙江 嘉兴 314051)

一、课堂呈现

笔者在一节高三数学复习“绝对值不等式的解法”教学过程中，引导学生对下列例题进行了解法探究：

2020年高考全国2卷(理科数学)第23题第(1)问：

已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集.

笔者先让学生独立思考这个问题，很快就有一名同学给出一种解答方法.

二、解法探究

当a=2时，f(x)=|x-4|+|x-3|，即求不等式|x-4|+|x-3|≥4的解集.

生1：(方法一)利用函数y=|x-4|+|x-3|的零点3和4，分段讨论去绝对值.

(1)当x≤3时，

(2)当3

(3)当x≥4时，

教师点评：方法一利用函数y=|x-4|+|x-3|的零点3和4，将数轴分为三个区间，进行分段讨论去绝对值，体现了分类讨论的思想.

生2：(方法二)不等式f(x)≥4的解集等价于求解不等式f(x)-4≥0.

设函数

教师点评：方法二是通过构造函数，利用函数的图像直观求解，体现了函数与方程的思想.

生3：前两种解法都需要先分类去绝对值再进行求解，其实第一问可以不用分类讨论进行求解，解法如下：

方法三：如图所示

此时，教室响起了掌声！

教师点评：方法三利用绝对值的几何意义进行求解，体现了数形结合的思想，方法巧妙，思维深刻.

这时，笔者问学生：“同学们，此题还有其他的解法吗？”等了片刻，班级还是没有学生举手回答，笔者开始讲解另外两种解法.

教师：由绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)可知，

|x-4|+|x-3|≥4⟺|(x-4)+(x-3)|≥4或|(x-4)-(x-3)|≥4.

方法四：由|x-4|+|x-3|≥4可得，

|(x-4)+(x-3)|≥4或|(x-4)-(x-3)|≥4.

解得，|2x-7|≥4或|-1|≥4，

教师点评：方法四利用绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)对所求问题进行等价转化，很巧妙地把两个绝对值问题转化成一个绝对值问题进行求解，极大地简化了运算，避免了烦琐的分类讨论，此方法体现了等价转化思想的重要性.

接着教师再次引导学生对方法四进行归纳总结，得到一般性结论：

|f(x)|+|g(x)|≥h(x)⟺|f(x)+g(x)|≥h(x)或|f(x)-g(x)|≥h(x).

教师：根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点(3,0)和(4,0)的距离之和大于等于4.这也恰好符合椭圆的定义，故可用椭圆的知识来解释该不等式.

方法五：设椭圆的长轴在x轴上，两个焦点分别为(3,0)和(4,0)，定长为4，椭圆与长轴的交点的横坐标为x1与x2.由椭圆的定义可知，x1,x2恰好是x轴上分别到3和4的距离等于定长4的点(如图所示)，

因此，x轴上到(3,0)和(4,0)的距离大于定长4的点必定落在这两根之外，

教师点评：方法五是构造椭圆模型，利用椭圆的概念进行求解，避免了分类讨论的烦琐.

三、解法运用

为巩固上述解绝对值不等式的方法，课堂上笔者让学生做了以下练习题目：

练习1：求解不等式|x-1|+|x-2|≥3.

练习3：求解不等式|x+1|-|2x-3|>1.

笔者让三名学生到黑板上完成这三道练习题，并让他们讲述解法……

教师点评：这三道题，大多数学生用到了方法一、二或者三中的某一种，并且答案正确，大多数学生做得很好.全班只有三名学生选用了方法四进行求解，没有一名学生用方法五求解，还有两名学生没有做出此题，个别学生有答案计算错的.

接着，笔者针对这三道题又给学生做了解法上的引导和讲解……

四、课堂总结

教师：请同学们自我总结一下，这节课你都有哪些收获？

学生1：学会了求解含两个绝对值不等式的前三种解法，后面两种解法还不是很清楚，不太会用.

学生2：学会了求解含两个绝对值不等式的前四种解法，后面一种解法听懂了，但是还不太熟悉，不会用来求解.同时体会了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要的数学思想方法，收获颇丰.

学生3：学会了多种求解绝对值不等式的方法，方法五令我很惊奇，没想到绝对值不等式还能和解析几何中的椭圆建立联系，让我深深地感受到代数和几何是紧密联系在一起的，以后思考问题时要学会从多角度进行思考.

教师：同学们回答得很好.我们一起再总结一下：这节课我们复习了“绝对值不等式的解法”，教学过程主要是围绕|x-4|+|x-3|≥4解法的探究展开的，其中方法一利用函数“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法二是通过构造函数，利用函数图像直观求解，体现了函数与方程的思想；方法三利用绝对值的几何意义进行求解，体现了数形结合的思想.这三种方法都是求解形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(a,b,c∈R)类型不等式的通用方法.方法四利用绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)进行等价转化，体现了等价转化的思想，同时得到一般性的结论：|f(x)|+|g(x)|≥h(x)⟺|f(x)+g(x)|≥h(x)或|f(x)-g(x)|≥h(x)；方法五是构造椭圆模型，利用椭圆的概念进行求解，属于巧解，拓宽了大家的解题思路和思考问题的视角.希望同学们仔细体会这些解题方法，更重要的是细细品味蕴含其中的数学思想，并学以致用.

五、教学启示

(一)一题多解，满足不同学生的需求

俗话说：“一只手五个手指各有长短.”一个班级的学生，由于知识基础、学习能力及学生自身的智力因素等不尽相同，学生的学习客观上存在着个体差异，导致班级学生学习水平不等、成绩有差异.因此，教师在教学过程中要关注学生的个体差异，满足不同学生的学习需求，尽量使每一名学生都能获得成功的喜悦，促进每一名学生全面而富有个性的发展.充分发挥一题多解在建立知识联系、灵活应用知识、实现不同表现形式的相互转化等方面的作用，通过多角度、全方位解题，开阔学生的视野，拓展学生的思维，帮助不同程度的学生运用适合自己的解题方法去解题，能很好的满足不同层次学生的需求.

(二)提炼总结，提升学生的解题能力

新课程理念强调学生是学习和发展的主体，要重视培养学生主动探究、团结合作、勇于创新的精神.高三数学复习课堂教学中，教师既要传授学生获取知识的方法，又要给学生提供自主探究的时间和空间，鼓励学生积极自主地探究数学问题.这也就要求教师在教学中要精选题目，使得每一道题目都要有它的训练目标，并使这些题目能够组合成一个有机体，从而实现这节课的总的教学目标.教师还要引导学生对一题多解的题目进行解法的提炼和对比，“授人以鱼，不如授人以渔”.一题多解的引用主要是要让学生细细体会每一种解题方法、技巧及蕴含其中的数学思想，对比各种解法的优劣，根据自身的基础和理解能力，选择适合自己的解法，从而达到提升学生解题能力的最终目的.

(三)渗透思想，落实学生的核心素养

“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是灵魂.教师要对学生的解题过程进行引导与指导，在探究解决问题的方法过程中要进一步渗透数学思想，使学生体会到解题方法中所蕴含的重要数学思想方法(如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等)，真正感受数学思想贯穿整个解题过程，是解题的灵魂.在教学过程中，教师要只有提高学生对数学思想方法的认识和运用，才能真正有效地落实学生的核心素养.