初一数学中三角板旋转求角度问题教学研究

◎廖永凤 崔泽建(通讯作者)(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000)

一、引言

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.其中，对于刚进入初中阶段的初一学生而言，理解并掌握有关角度的算理是很重要的，这些知识的学习都是为后续的更加深入的探究打下基础.

三角板是数学教学过程中一个重要的工具，在初一学习时，通过三角板组合求角度问题是教学中的一个重点问题，也是难点问题，同时为后续的学习奠定基础.在此之前，学生已经简单学习了角度的运算和等角的相关性质定理，对于角度的简单应用有了初步的理解，但是在较复杂的求角度应用题中还存在较大的问题.探究简单的角度问题能够为后续继续探究三角形、四边形、圆及其函数中出现的角度问题奠定基础.解答有关角度的问题时，主要用到了推理代换法和方程法，因此需要学生结合图形，从图形中提取解决问题所需的条件，这就需要学生具有较强的数感、逻辑思维和数学抽象思想.然而，初一学生的认知能力较弱，故在教学过程中需要教师根据学生现有的认知结构、知识基础引导学生从多方面思考问题.

三角板旋转问题是初一学习的重点，在初一学习中，教师主要应让学生掌握当三角板组合之后绕着其中的一个顶点旋转后角度之间的变化，目的是让学生加强对角度问题的理解，进而为整个初中阶段的几何知识学习打下基础.从生活中常见的数学工具出发，能引起学生的学习兴趣，并在学习过程中培养学生的逻辑推理能力，提高学生的数据分析能力.本文将对初一学习过程中三角板组合旋转求角度问题的相关题目进行分析，讲解相应的解题技巧，希望能够对学生解决本阶段求角度问题有所帮助，并为后续学习几何知识奠定基础.

二、三角板旋转求角度问题

波利亚曾说过从最简单的做起.在数学学习中，无论解决什么问题都需要有相关的基础知识与技能的支撑.三角板组合旋转求角度问题对于学生的要求较高，要求学生具备一定的计算能力、看图能力、条件转化能力、逻辑推理能力等.在具体解题时，首先应该做到以下几点：第一，要熟记知识点、明晰算理；能够理解并运用三角板的特征及性质；熟记角的有关概念与性质；明晰解决相关问题的方法；知道在解决问题时应该如何进行等量代换及计算；能根据已知条件，找出解决问题所需的条件.第二，需要总结归纳题目的大概解题过程.对于三角板组合求角度问题，在经过分析、解决问题之后，需要总结解这一类题的大概步骤.三角形组合求角度问题可以作为初一阶段学习的一个模型，同时，积累解决问题过程中的学习方法与做题技巧，可以为今后数学学习过程中解决问题奠定基础.将解决问题的方法上升到思想层面，强调如果能运用好方程思想、目标和整体意识，就能优化解题过程.第三，锻炼计算能力.在数学学习过程中，通过逻辑推理等明确解题步骤和方法后，还需要通过数学运算得出最终结果，若是计算结果出现纰漏，那么最终的评阅分数也不会很高.所以，在数学学习过程中，应该锻炼计算能力以保证做题步骤的正确性.

在初一阶段，三角板组合求角度问题是其中的难点，也是重点.对于后续探究其他平面图形(三角形、四边形、圆等)与函数(一次函数、反比例函数、二次函数等)的性质定理奠定基础.三角板组合求角度问题在数学学习中会以很多种方式出题，正是因为题目的灵活多变，常使学生无从下手.但是如果仔细总结就会发现，解这类题的关键是问题转换，将未知的问题转换为已知的、能够解决的问题.其中角度问题就是寻找其中的对应关系，然后根据对应关系列方程并求解，或者对已知和未知的角度进行推理代换，找出等量关系求解.所以，这类题目虽具有一定的灵活多变性，但也具有其固定套路.

1.三角板旋转问题

初一阶段已经学习了什么是角，一些特殊的角，角的比较和运算，以及角的一些性质定理.对于角的学习，只是简单的认识，并不难，但是学生在运用角的相关性质定理解决实际问题时，则会出现较大的问题.对于角的应用，其中较为常见的题型就是图形组合求角度、线条相交求角度.这类问题在求解中应该先明白哪些角度是已知的，哪些角度可以等量代换；然后，通过三角板的不同组合形式，从图中找出已知角和未知角之间存在的等量关系；最后，通过推理代换法用已知角表示未知角，求出未知.

例1一副三角板OAB，OCD如图1所示放置.(∠CDO=45°,∠OAB=30°)

图1

(1)求∠DOB的度数.

(2)将三角板OCD从图1位置绕O点顺时针旋转至如图2所示位置，若OM，ON分别平分∠DOA,∠BOC,则在旋转过程中∠MON如何变化？

图2

(3)若三角板OCD从图1绕点O逆时针旋转至如图3所示位置，若其他条件不变，则(2)中的结论是否成立？

图3

(4)若三角板OCD从图1位置绕点O顺时针旋转至如图4所示位置，若其他条件不变，图2中的结论是否成立？

图4

解析：(1)由图1可知∠DOB=∠DOA+∠AOB，题中已知∠DOA=90°,∠AOB=90°-∠OAB,所以∠DOB=150°.

(2)由题可知∠DOC=90°,∠AOB=60°①

方法一：由图2可知∠MON=∠MOA+∠AOC+∠CON

②

③

方法二：由图2可知

∠MON=∠DOC+∠AOB-∠AOC-∠DOM-∠NOB

=∠DOC+∠AOB-(∠AOC+∠MON-∠AOC)

=∠DOC+∠AOB-∠MON

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，在旋转过程中∠MON大小不变.

(3)由图3可知∠MON=∠MOC+∠AOC+∠AON

④

可推出

⑤

⑥

解法三：由图3可知：

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，(2)的结论成立.

(4)由图4所示：∠MON=∠MOA+∠BON+∠AOB,由题意可知

变式训练：将三角板如图5所示绕O点顺时针旋转至如图6所示位置，若OM，ON分别平分∠DOA,∠BOC,则在旋转过程中∠MON如何变化？旋转至图7所示位置，结论是否成立？

图5

图6

图7

小结：三角板旋转问题是求角度问题中一个特殊的问题，这类题对于学生的看图能力、推理能力要求较高，学生要知道在旋转过程中旋转的物体形状、大小、对应的角度都不会改变，角平分线分得的两个角大小不变.当两个三角板一边完全重合时，绕着重合边上的顶点旋转，无论旋转之后两个三角板是重合还是分开，如图6和图7中∠DOA,∠BOC被平分之后，两角平分线所组成的角∠MON的度数都是∠DOA,∠BOC度数和的一半.分析此类问题时主要是通过读图形，从图中找出已知角与未知角之间的关系，然后通过等量代换、角度运算求出未知.在此过程中，教师应先让学生通过自主探究、合作探究试着分析、解决问题，然后再从不同的方向思考问题并学会总结，以此学生数形结合与逻辑推理的能力，为学生继续探究几何知识奠定基础.

2.一般的求角度问题

三角板组合求角度问题是初中阶段求角度问题的一种类型，是为了一般的求解角度问题奠定基础.这类问题我们一般使用推理代换法和方程法.

例2(1)已知∠BOC=120°，∠AOB=70°,求∠AOC的大小.

解析：(1)由题意绘制的大致图像如下：

如图8所示：∠AOC=∠BOC-∠AOB=50°.

图8

如图9所示：∠AOC=360°-∠BOC-∠AOB=170°.所以∠AOC=50°或170°.

图9

(2)由题作图如下：

图10

图11

例3已知∠AOB=80°，另作射线OC，且0°<∠AOC<180°，OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC.

(1)如图12所示，若OC在∠AOB内部，求∠DOE的度数.

图12

(2)如图13所示，若OC在∠AOB外部，(1)中结论还成立吗？请说明理由.

图13

解析：由题可知

(1)由图12知：∠DOE=∠EOC+∠COD，∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以，∠DOE=40°.

(2)结论成立.由图13知：

小结：在分析相应数学问题时，若题中没有绘出图像，就需要教师引导学生根据题意作出图像，将可能存在的每一种情况都表示出来，并对不同情况进行分析，找到角度之间的相互关系，进而解决问题.在解题过程中，要注意题中已知的条件，如例2中强调了题中所说的角都是小于平角的角，因此在解决例2时要注意计算出的角度是否满足此要求.利用方程法解决问题时还要注意所设的角度与要求的角度之间的关系，以及计算的正确率.有时候，一道题的解题方法有很多种，在教学过程中，教师要通过课堂中的一题多解和一题多变培养学生的思维能力，让学生从不同的方向思考问题，用不同的方法解决问题.传授知识的目的是让学生利用旧知接收新知，开阔知识面，所以教师应在已经讲解了特殊角度问题的前提下，让学生自主探究，通过类比学习来解决问题.

三、结 语

总之，求角度问题是初一年级教学中的重点，也是难点，同时为以后学习几何知识打下基础.

近几年的中考题常常借助三角板来考查学生对几何知识的掌握情况.将三角板作为一种操作性工具，与三角形、特殊四边形、圆等内容按某种方式巧妙地融合到一起，再结合图形的变换——旋转、平移或轴对称，让其中的一个三角板的位置不断变化引起图形的变化的题目灵活多变，需要学生能够灵活地将数和形互换，将代数知识与图形的特点融合在一起进行分析，此类题目主要是为了培养学生的数形结合、逻辑推理、数据分析的能力，并能在掌握分析问题和解决问题的基础上，学会运用类比转化等方式将解题过程中使用的思想方法灵活运用于其他知识的学习中.

以学生最熟悉的三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以运动变换等手段对三角板的运用进行探究学习，能够让学生在观察中发现解题规律，进一步提高学生对问题的分析能力、数形结合能力和逻辑推理能力，并在教学过程中体会数学学习的抽象美、简洁美，最终将习得的思想方法运用于其他知识的学习中.