数形结合思想在高中数学教学中的应用

◎赵 芳(甘肃省武威第二中学，甘肃 武威 733000)

前 言

高中生正处于认知世界、学习知识、发展思维及积累经验的重要阶段，需要通过不断的学习和实践来推动自身素质与能力的发展.数学作为一门研究数量、结构、变化、空间及信息的学科，不仅有丰富的知识内容，还蕴含丰富的思想方法.学生通过学习数学，能够推动思维能力发展和学科素养形成.在高中阶段的数学教育工作中，教师一定不能被传统的学分教育理念所禁锢，应做好教学创新，创新教育理念，创新教育手段，融合数形结合思想，重构数学教学思维.在新课改背景下形成的高中数学教育标准也曾对教师提出新的要求.其表明，教师应侧重学生素养及能力的发展，要引导学生了解数学的基础知识、基本技能以及基本思想.

1 在高中数学教学中运用数形结合思想的重要作用

高中数学知识较为晦涩、抽象，理解难度较高，易给学生带来较大的学习压力和心理负担，这也是部分学生产生厌学情绪、抵触学习数学的重要原因.但大部分的数学知识并不是独立的系统，其与几何图形存在联系，所以教师可以传授数形结合思想，依托数形结合法讲解知识要点，为学生掌握数学知识和技能提供支持.此外，在高中数学教学中培养学生的数形结合思想，还有利于提高学生的学习兴趣，提升他们对数学问题的理解速度.在运用数形结合思想进行教学时，教师可以将抽象的概念和理论以更加直观化、形象化的方式呈现出来，促使学生依据数学知识的本质规律来理解和消化相应的数学知识.这不仅降低了学习难度，还能帮助学生重建信心，使学生在不断解题的过程中获取成功的经验，进而产生浓厚的学习兴趣.此外，在传统的高中数学教学模式下，部分课堂缺少思考和想象空间，解题策略千篇一律，易使学生思维发展趋于固化，特别是在面对新知识和旧知识结合时，学生往往难以构建完整的知识体系.也就是说，学生不能将新旧知识有机地串联在一起，无法利用新旧知识解决复杂多变的数学难题.若教师加强数形结合思想的渗透，依托直观的图形表示新旧知识，强调二者的内在联系，就可以帮助学生构建全新的认知结构，从而提高学习数学和理解数学的速度.

2 数形结合思想的应用原则

第一，直观性原则.数形结合思想存在的基本价值就在于将抽象的知识直观化，将复杂的知识简单化.所以，在应用这一思想时，教师需要遵循直观性原则，尽量简化问题，发挥数形结合思想的价值，缓解学生对数学学习的抵触心理.

第二，针对性原则.在利用数形结合思想处理问题时，教师需要引导学生了解正确的解题步骤：先要分析题目的内容，了解题目的情况，然后选择不同的数形结合思想[1].而不是直接套用思想模板，这样会取得适得其反的效果.只有正确、有针对性地选择思想，才能够真正地简化问题，理清解题思路.

第三，广泛性原则.高中阶段的学生在处理数学问题时，往往会因为缺少图像和图表这些直观性的东西而难以解决，而数形结合思想就是将抽象的数学语言转化为学生能够直观易懂的几何关系，因此教师在向学生推广这种学习方法的时候，要鼓励学生将题目中的数量关系和几何性质翻译成比较好理解的图像信息.画草图其实就是将抽象思维与形象思维相结合，草图是教师和学生常常利用到的一种学习辅助工具.利用图像表达数学抽象信息，可以使复杂的问题变得简单，使抽象难懂的问题变得具体，从而达到优化解题的目标.

3 数形结合思想的应用策略

3.1 在集合教学中的应用

集合是高中阶段学生需要接触的基础数学知识，该部分内容出现在高一阶段必修1的教材中，具有极强的基础性与重要性，刚步入高中阶段的学生接触到的第一个数学知识点就是集合的概念.由于集合这个概念非常重要，而且在初中阶段学生没有接触过，所以教师要在课堂上采取学生能够接受的方法进行教学活动.在集合教学中，教师可适当地渗透数形结合思想，将抽象的知识以具象、直观的图形展现出来，这会在无形中缓解学生的学习压力，也可加深学生对它的理解.在高中阶段，韦恩图与数轴是学生在学习集合知识时比较常用的数形结合思想工具，其中，韦恩图主要针对具体集合知识，而数轴主要针对模糊集合知识.

例1某校高一(3)班共有40名学生.该班学生成立了三个不同的兴趣小组，分别为街舞小组、绘画小组与合唱小组.学生完成报名后，形成的小组划分状态如下：

(1)班级中的40名学生，每人至少参加一个兴趣小组.

(2)街舞小组是最后报名的，在此之前，选择绘画的学生人数是选择合唱的学生人数的2倍.

(3)只报名参加了街舞小组的学生人数比还没有选择小组但只想报名参加该组的人数多1个.

问题：

1.只报名参加绘画兴趣小组的学生有多少？

2.街舞小组中有多少名学生？

分析：在刚刚接触这道题目时，大部分学生会有点盲目，不知道应该从何下手，也无法理清自己的解题思路.此时，教师可以带领学生尝试站在数形结合思想的角度上，将其中的街舞小组、绘画小组与合唱小组视为不同的集合，然后以韦恩图的形式将其展现出来.如此一来，问题迎刃而解.在解题中可以将参加街舞小组的学生人数设为集合A，将参加绘画小组的学生人数设为集合B，将参加合唱小组的学生人数设为集合C，根据题干描述，生成如下韦恩图(如图1).之后通过简单的计算，便可以得到答案.

图1

除韦恩图外，数轴是高一阶段学生接触较为频繁的一种数形结合工具.在数轴的帮助下，问题可以更加直观、更加清晰地展现在学生面前.

例2现有两个集合，其中集合A={x|0

解析：当B⊆A时，用数轴来表示两者的关系如图2所示.

图2

通过该图，学生能够很直观地了解到集合A，B之间的关系，同时能够轻松地计算出a的取值范围：0

3.2 在函数教学中的应用

俗话说，数缺形时少直观，形少数时难入微[2].数形结合，相得益彰，并能够有效解决学生在学习中的一些问题.在高中数学教育工作中，函数的重要性不言而喻，而在函数教学中，图形更是不可缺少的一部分.所以教师可巧妙地将数形结合思想与函数教学相互融合，从而发挥数形结合思想的价值，同时降低学生的理解难度.

在函数教学中，由数到形是学生需要了解的第1步数形结合要点.课堂上，教师可先给学生出示一个简单的函数公式，要求学生通过思考及计算的方式尝试分析这一函数能够形成的图形，然后根据图形的具体特征一一对应函数公式与图形，找到二者之间的联系，真正渗透数形结合思想.除此之外，在教学中，教师也可以融入一些趣味性的教学因素，将函数的图像变化编成简单的胳膊操，如举起双臂的曲线代表哪一个函数，左臂上举、右臂下垂形成的曲线又代表哪一个函数，借此激发学生的学习兴趣，增强学生的记忆.

3.3 在解不等式中的应用

解不等式是高中数学中的重要知识内容，要求学生牢固地掌握.利用数形结合思想，学生可以先采用“等价简化”方式将原不等式变化成有理不等式，再从题目的条件和结论出发，联系相关函数知识，分析其集合意义，以此在图形中找出解题思路.如果学生采用常规的方式进行解题，不仅解题过程极为复杂，而且非常容易出现错误，但是采用数形结合法来解题，学生则只需构建函数图像，利用图形位置特点解不等式即可，极大地降低了思考难度.

3.4 在数列中的应用

数列是按照一定次序排列起来的一列数，其与函数相结合，能增加题目的复杂性和思维难度，这种数列函数类型题在高中极为常见.从本质上说，数列就是一种特殊的函数，其图像是由一些有规律的中断点组成的.也就是说，研究数列问题，可以从其几何意义着手.比如等差数列{an}、等比数列{bn}，学生可通过观察它们在平面直角坐标系中的点的分布情况，借助图形摸索这些点的规律，以达到借形解数的目的.

例4已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4S7,验证d<0，a6=0是否正确.

分析：本题依托等差数列相关定理知识，也能够快速准确地推理答案，但为了深化数形结合思想，丰富学生思维方法，教师可利用数形结合来引导学生解题，通过转化思维，将整个数列看成是以n为自变量的函数，那么等差数列则是一次函数，前n项和就是二次函数.学生通过画出图像并进行观察，就能验证d<0，a6=0是正确的.

3.5 在几何教学中的应用

许多学生认为高中数学中最难的知识点就是解析几何，因为他们在处理这一类问题的时候，不知道如何将几何条件转化为数量关系.高中阶段所接触的几何知识大多为曲线与方程,而曲线与方程正是数形结合思想的最直接展现，其中曲线代表着“形”，而方程代表着“数”，两者的巧妙结合，验证了数形结合思想的重要性，也是学生公认的数学学习难点.在讲解这部分知识时，教师可以基于数形结合思想角度展开分析，促使学生了解知识内涵，也能够使之见识到数形结合思想的应用优势[3].

在利用数形结合思想解决几何问题时，主要涉及三大步骤：第一，建立直角坐标系；第二，利用代数转化几何条件；第三，利用几何图形表示计算结果.

例5现有一四棱锥，其底面为平行四边形.已知∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥ABCD.求证：PA⊥BD；若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

图3

分析：很显然，这是一道十分典型的立体几何题，这种题型在高考试卷中经常出现.如果按照常规方式，在解决这道题目的第二问时，学生需要找到二面角对应的平面角，然后引入三角形的有关知识，作辅助线，不但十分麻烦，而且计算量极大.但是若站在数形结合思想的角度上处理，那么这道题目的难度会大大降低.

由于第一问比较简单，所以此处不做过多赘述，重点分析第二问：首先，按照上述步骤，在几何图形上建立坐标系，明确ABCD四个点的坐标；然后，结合向量知识，解得平面PAB、平面PBC的法向量，将其视为二面角的两点坐标；最后，结合余弦计算公式，得到最终答案.

3.6 在圆锥曲线中的应用

在圆锥曲线教学中，数形结合思想的应用主要体现在以下三点：第一，利用该思想表示图形；第二，利用该思想简化方程；第三，利用该思想翻译数学语言，解决问题.

例如，在讲解直线与圆锥曲线之间的关系时，如果教师只是通过口述的方式给学生介绍相交、相切与相离三个不同的概念，由于概念相似，学生很容易就会混淆.针对此，教师可以引入数形结合思想，直观地将三种不同的情况展现出来，用圆锥曲线图形与直线之间的位置关系，为学生诠释这一知识点，减缓师生双方的压力，加深学生对知识的理解.

4 数形结合思想的应用重点

4.1 转变教师观念

数与形是数学中两个最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化能实现以数解形和以形助数，作为一种重要的数学思想方法，学生应当学会运用.虽然结合数形结合思想开展教育活动是新课标对当代教育工作者提出的要求，但对于一些已经习惯了应试教育理念及填鸭式教学方法的高中教师来说，无疑是一个巨大的挑战.对此，教师必须要积极主动地创新教学观念，创新教学方式，创新教学体系.

数形结合思想并不是一种简单的解题工具或教学辅助工具，其自身具有极为深刻的内涵，也具有较高的教育价值.利用该工具开展教育活动时，教师需要摆脱传统“重结果，轻过程”的教学理念，不仅要重结果，更要重过程.除此之外，在应用数形结合思想解题的过程中，学生需要改变以往被动式学习状态，不能一味地依赖教师，而是要主动探索，主动将数形结合思想应用到解题中，将数字转化为图像，将图像转化为数学语言，以便在两者融合的状态下强化自己的应用能力，提高核心素养.

4.2 注重错误分析

在高中阶段，学生接触到的数学习题虽然千变万化，但考取的知识点却只有几个.所以，在运用数形结合思想时，教师需要引导学生做好积累，通过习题练习积累经验，总结解题的规律以及数形结合思想的应用方式.讲解完一道数学练习题后，教师还可鼓励学生对几种不同的解题方法进行对比，分析数形结合思想的应用优势与不足.再比如，并不是所有的数学习题都适用数形结合思想，此时教师需要带领学生做好总结，让学生学会正确应用数形结合思想，在归纳与统计的状态下，不断积累经验，不断分析错误，潜移默化强化思想认识.

结 论

综上，新课改的脚步不断加快，全新的教育时代逐渐来临，在这一教育背景下，一些落后的教育思想及方式会展现出纰漏，这对于学生的成长与发展会形成消极影响.因此，在高中数学课堂上，教师需要主动创新，将数形结合思想与教育体系相互整合，并渗透到不同数学教学模块中.除此之外，教师需要切实掌控数形结合思想的应用要点，主动转变观念，注重错误分析，以此发挥数形结合思想的价值，促进学生与教育事业的共同发展.