定积分和二重积分在面积计算中的应用

马文山

（闽西职业技术学院 公共教学部， 福建 龙岩 364021）

在实际生产生活和科学研究中， 常常需要求出一些不规则图形（几何体）的面积（体积）。 当不规则图形（几何体）是由直线段、圆弧、平面、球面、圆锥面或圆柱面等构成时，大都可以通过割、补、拼、凑等手段将其转化为规则的图形（几何体）。 此时仍然属于常量数学的范畴，应用初等数学的方法即可解决。当图形（几何体）的构成中含有一般的曲线、曲面因素时，用初等数学的方法进行“割补”就显得力不从心。此时就要用到高等数学中的微积分的方法进行相应的几何计算[1]。本文主要总结定积分和二重积分在面积计算中的应用。

定积分是一元函数微积分中的重要知识， 一种很好的计算工具，可以很方便地用来求面积、平面曲线弧长和几何体等的体积[2]。其中，定积分的微元法（也叫元素法），体现了部分到整体的数学思维过程。 以闭区间上的连续函数与坐标轴围成的曲边梯形的面积计算为例，可通过分割、近似替代、求和与取极限4 个步骤来处理不规则的曲边梯形的面积的精确计算问题。 此过程将图形的性质和定积分的意义有效结合起来，充分体现化整为零和以直代曲的思想[3]。

二重积分是定义在平面区域上的二元函数的积分， 是定积分的推广。 其几何意义是以定义区域D为底面， 以定义区域上的函数对应的曲面为顶的曲顶柱体的体积的代数值。 对于多个曲面所围成的立体的体积，其即为多个曲顶柱体体积的代数和[4]。 在特殊情况下，二重积分可以用于面积的计算。

1 利用定积分求平面图形面积

应用定积分求平面内图形面积通常分为3 种情况，分别是直角坐标系、极坐标系，以及参数方程的情形[5]。

1.1 直角坐标系下利用定积分计算图形的面积

若图形是由曲线 y=f（x）、y=g（x）（不妨设 f（x）≥g（x））及直线 x=a、x=b（a＜b）所构成的曲边梯形，其面积用定积分计算表达式为：

若图形是由曲线 x=f（y）、x=g（y）（不妨设 f（y）≥g（y））及直线 y=a、y=b（a＜b）所构成的曲边梯形，其面积用定积分计算表达式为：

例1 计算由曲线y=x2和直线y=x+2 所构成的图形的面积（如图1）。

图1

解：曲线和直线的交点坐标为（-1，1）、（2，4），该图形可以看成是由曲线y=x2、y=x+2 以及直线x=-1、x=2 合围而成的曲边梯形，在区间[-1，2]内 x+2>x2，用定积分计算其面积为：

解：图形的交点坐标为（-2，2）、（2，2），图 2 在第一象限内的部分可以看成是由y=x、y=0 及x=0、x=2围成的曲边梯形，在区间[0，2]内x>0，利用定积分计算其面积为：

图2

根据图形的对称性，总面积为：

1.2 极坐标系下利用定积分计算图形的面积

由曲线 ρ=ρ1（θ）、ρ=ρ2（θ）（ρ1（θ）>ρ2（θ））以及射线θ=α，θ=β（α<β）所围成的图形的面积，用定积分计算表达式为：

例 3 计算心形线 r=a（1+cosθ）（a>0）所构成的图形面积（如图3）。

图3

解：先看极轴上方部分，该部分图形可以理解为由 r=a（1+cosθ）（a>0）、r=0（极点）以及射线 θ=0、θ=π合围而成，用定积分计算其面积为：

根据图形的对称性，其总面积为：

事实上， 该图形还可以看成是由r=a （1+cosθ）（a>0）、r=0（极点）以及射线 θ=0、θ=2π 合围而成，用定积分计算其面积为：

例 4 计算对数螺线 r=aeθ（-π≤θ≤π）与射线θ=π 所构成的图形面积（如图 4）。

图4

解：该图形由 r=aeθ（-π≤θ≤π）、r=0（极点）以及射线θ=-π、θ=π 合围而成，用定积分计算其面积为：

1.3 参数方程下利用定积分计算图形的面积

图5

1.4 利用定积分验证初等数学中常见图形的面积公式

初等数学的主要研究对象是常量， 高等数学的主要研究对象是变量。常量数学是变量数学的基础、特例，变量数学是常量数学的发展，它们辩证统一于数学之中。 我们不妨以微积分中的定积分来验证初等数学中的面积计算公式。

例6 应用定积分验证长为a，宽为b 的长方形的面积公式S=ab。

验证如下：

长方形 ABCD 中 AB=a，AD=b。 以 A 为原点，AB所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴， 建立直角坐标系（如图6）。

图6

于是长方形ABCD 可以看成是由y=b、y=0、x=0及x=a 围成的图形，其面积用定积分计算为：

验证完毕。

例7 应用定积分验证以r 作为半径的圆的面积公式 S=πr2。

验证如下：

方法1： 以圆心为原点建立直角坐标系 （如图7），则圆的方程为 x2+y2=r2。

图7

进行三角代换，

验证完毕。

2 利用二重积分求平面图形的面积

二重积分是多元函数积分学中的一个主要内容，其计算方法与定积分类似，是把二重积分化成有次序的两个定积分，又称为二次积分[6]。

2.1 直角坐标系下利用二重积分计算闭区域（平面图形）的面积

若闭区域 D 是由 x=a，x=b（a

若闭区域 D 是由 y=a、y=b（a

2.2 极坐标系下利用二重积分计算平面图形的面积

若闭区域D 是由极坐标系下的射线θ=α、θ=β（α<β）以及曲线 ρ=φ1（θ）、ρ=φ2（x）（φ1<φ2）构成，则闭区域D 的面积为：

图8

解： 该图形在第一象限内的部分可以看成是由x=0、x=1 及函数 y=x2、y=x 围成的闭区域， 在此区域内x2

由图形的对称性得总面积为：

由图形的对称性得总面积为：

例9 利用二重积分计算ρ=2acosθ 所围成的面积（如图 9）。

图9

3 定积分与二重积分求面积的应用比较

方法1，应用定积分求图形的面积

将图形看成是由 y=sinx、y=0、x=0、x=π 合围而成的曲边梯形，其面积为：

方法2，应用二重积分求图形的面积

将图形看成是由 x=0、x=π 及函数 y=sinx、y=0构成的x 型闭区域D，其面积为：

例11 计算两条抛物线y=x2、x=y2所围成图形的面积。

方法1，应用定积分求图形的面积

方法2，应用二重积分求图形的面积

由例10、 例11 可见， 用定积分计算图形面积时，要点在于把图形理解成一个曲边梯形，进而正确确定被积函数及相应的积分区间。 用二重积分计算图形面积时， 要点在于把图形理解为x 型闭区域或者y 型闭区域，进而正确确定第一次积分的积分上、下限及第二次积分的积分区间。

事实上， 上述例子的方法2 中第一次积分的结果，恰好就是方法1 中定积分的被积函数，方法2 中第二次积分的积分区间， 恰好就是方法1 中定积分的积分区间。

4.结束语

定积分和二重积分是一元函数和多元函数微积分学重要而基础的内容，在数学、物理学、经济学、建筑学等许多领域应用非常广泛。 鉴于数学的高度抽象性，对于很多人来说，要学好数学、用好数学是比较困难的。 笔者在多年的教学实践中，深刻领会到，就定积分和重积分而言， 让学生充分准确地理解并掌握其几何意义， 能熟练地在几何计算中加以应用是至关重要的。基于此，本文就定积分求平面图形面积总结了3 种情况，分别是直角坐标系、极坐标系以及参数方程的情形；二重积分求平面图形的面积，总结了直角坐标系和极坐标系下的2 种情况。 通过定积分验证初等数学中的面积公式， 初步揭示了常量数学与变量数学的关系。 通过定积分与二重积分计算面积的比较， 反映了一元函数微积分到二元 （多元）函数微积分的推广拓展。