例谈数量积性质在竞赛题中的应用

吴侃男

(浙江省金华市浦江县中山中学，322200)

数量积及其性质是平面向量的重点内容,在数学的许多方面应用广泛.

由数量积的定义与向量模的知识,我们不难得到如下的向量不等式:设a,b是非零向量,则a·b≤|a·b|≤|a||b|，当且仅当a,b共线时等号成立.特别地,a·b≤|a||b|,当且仅当a,b同向时等号成立.本文举例介绍数量积的上述性质在数学竞赛题求解中的应用，给人以意想不到的解题效果.

一、比较大小

(A)M>N(B)M

(C)M=N(D)不能确定

故选A.

二、解方程

当x=1时，方程不成立，故x>1.

三、证明不等式

解要证明x-2y≤200,而需证x≤2(y+100).

综上，得证.

四、求函数的最值

五、求函数的值域

解依题意，可得(x-1)2+(y-2)2=4.

六、处理几何最值问题

由|a||b|≥a·b,可得

≥(98-15cosθ-20sinθ)2.

所以|b|2=(6-5cosθ)2

综上，当点Q的坐标为(3，2)时，P，Q两点间的距离最小.