函数不等式ln x≤x-1及其应用

王耀娜

(安徽省濉溪县第二中学，235100)

纵观近几年各省高考数学试题,在命题时注重知识的交汇,充分体现基础性、综合性、应用性和创新性,综合性强且区分度好,以能力立意,解法灵活,突出对高中数学核心素养的考查.其中以数列求和、连乘积、不等关系等综合问题为背景的试题较多,求解时需要学生有很好的洞察力.本文略举数例,浅谈如何利用重要的函数不等式lnx≤x-1来解决问题.

一、函数不等式ln x≤x-1的证明

思路1构造函数法

思路2切线法

不难得出曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程是y=x-1.如图1,数形结合,易知lnx≤x-1成立,等号当且仅当x=1时取得.

二、典型应用举例

例1(2018年浙江高考题)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则( )

(A)a1

(B)a1>a3,a2

(C)a1a4

(D)a1>a3,a2>a4

分析本题以数列为背景,利用基本量法解决问题显然较复杂.根据选项都是不等关系，并且题干中有自然对数,故可利用函数不等式lnx≤x-1尝试解决.

解由函数不等式lnx≤x-1,得ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,即a1+a2+a3+a4≤a1+a2+a3-1,所以a4=a1q3≤-1.又a1>1,因此q<0.

若q≤-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)≤0,而a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1[1+q(1+q)]≥a1>1,有ln(a1+a2+a3)>0,与条件不符.

所以-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0.故选B.

评注本题由数列、不等式背景及自然对数联想到用lnx≤x-1转化问题,对学生思维能力提出了较高要求,考查学生扎实的功底和较强的逻辑推理能力.

(A)p∧q为真命题

(C)p∨q为真命题

解对于命题q,由于对任意λ∈R,x=0都是不等式的解,所以命题q为真命题.

对于命题p,直观感知一定为真命题,接下来利用函数不等式lnx≤x-1给出严谨的证明.

令Tn=ln(n+1)>2 020,则n>e2 020-1,将e2 020-1取整,记为N1,令N=N1,则命题p为真命题.

综上,选D.

可得最小的整数m=2.

评注连乘积问题经常利用取对数转化为求和问题,本题通过取自然对数,再利用函数不等式lnx≤x-1放缩成能求和的形式,找到了解决问题的突破口.