“单薄”的章节起始课如何教——对“多边形”第一课时的教学设计与思考

胡巧君

(观海卫初级中学，浙江 慈溪 315315)

0 引言

2021年10月中旬，笔者有幸参加了浙江省慈溪市的优质课比赛，并获得市级一等奖.赛课内容是浙教版数学教材八年级下册第4.1节“多边形”第一课时.这是一节章节起始课，教材中的知识框架简洁，知识要点重叠(四边形内角和定理小学阶段已经学习过).面对教材中熟悉而“单薄”的内容，如何在已有的认知基础上进行深入的探究，让学习变得有层次、有深度、有回味，成了笔者急需突破的难点.

研读小学教材，笔者发现小学四年级下册学习了四边形内角和问题，当时通过实验和分割两种方法猜想并证明了该知识点.为了区分小学和初中阶段的教学任务，笔者预设“趣”引入、“活”展现、“勤”互动、“妙”思维、“巧”解题、“图”归纳这6个环节，进行教学方式的改编和突破，力求将一节“单薄”的章节起始课变成一节饱满的思维训练课.现将改进后的教学片段和教学反思呈现，恳请各位同行雅正.

1 教学重要环节呈现

1.1 “趣”引入

活动1生活中常见一些由一般四边形镶嵌的图形，如瓷砖铺面、物品上图案的设计等.教学中收集并展示这些“熟悉而又陌生”的图片，触发学生思考.

图1

问题1如图1所示的镶嵌画由哪种基本图形组成？

问题2这种基本图形的摆放是随意的，还是有数学原理的呢？

设计意图通过有趣的图片，学生直观感受到这种四边形可以镶嵌，但又产生新的疑惑：是不是任意四边形都可以镶嵌？为什么可以镶嵌？怎么镶嵌？带着好奇心，开始探索新知.美国当代教学设计理论家加涅认为：有效教学的首要事件是“引起注意”.利用生活实景引起学习兴趣，利用新旧知识的联系与差异激发学习思维.因此，趣味十足的情境导入是新课的点睛之笔，更是教学的有效手段.

1.2 “活”展现

活动2运用类比思想，从“三角形定义”类比得到“四边形定义”，再推广到“多边形定义”.学生能说出四边形的大概定义，但对于一些关键条件，如“在同一平面内”“任意两条边”，类比学习时有盲区.因此，笔者认为：制作教具并设计一些“活灵活现”的情境教学很有必要.

教具准备：在一块软木板上，用4颗图钉和4根长度不同、颜色不同的线(无弹性)构造出一个任意四边形(如图2).

师：四边形的定义需要加上前提吗？

图2 图3

生1：要加上前提“在同一平面内”.如果4个点不在一个平面上，那么就不是四边形了.

教具演示：拿起其中一个顶点往上提，此时4条边长度没变，但却不是四边形了.

教师可以补充反例图片，如图3所示立方体上的4个点A,B,C,D.

图4

教具演示：拔起图钉A,B，拉直线段AC,AD，在软木板上固定点A.此时点A,B,C共线(如图4)，四边形变成了三角形.

师(追问)：还是这4条线段，为什么会变成三角形呢？

生2：因为有两条线段在一条直线上了！

至此，探索四边形定义的活动式教学初见成效，继续类比，自然能得出多边形的定义.

设计意图在教学中，“活灵活现”的教具给学生带来了几何直观，既有趣又印象深刻，完全摒弃了传统概念教学记忆式的方法，为学习新知注入了活力.形象的教具展示胜过千言万语.因此，在几何教学的课堂上，要充分发挥教学智慧、开发数学创意，设计合理、科学的教具，借此来扫清知识盲点，助力提升教学效率.

1.3 “勤”互动

活动3有4个全等的四边形，能否把4个不同角的顶点重合，拼成一副既不重叠、又不留空隙的图画？

学生利用学具，先独立拼，再与同桌交流.教师请两组学生到黑板上用磁力片展示不同的拼法(如图5、图6)：

图5 图6

接着，教师请学生互评，两种拼图有哪些共同点和不同点.

生3：两种方法的共同点：某一个顶点处，都由不同的4个角拼成；不同点：图5还关注到边的问题，把等长的边重叠在一起.

师：如果继续给出一些全等的四边形，哪种方法可以继续拼接？

设计意图在小学教材中，实验过程是“把一个四边形的4个角剪下来，拼成了一个周角”.而初中教学中是“利用若干块(大于等于4块)全等的四边形，把4个不同角的顶点重合，拼成一副既不重叠又不留空隙的图画”，既验证了“四边形内角和为360°”的猜想，又拓展了思维空间，并且与引入部分的镶嵌画情境相呼应，体现了知识的联动性.

“勤”互动，能拓展新知的广度和深度.初中课堂的互动应该是常态的、活跃的；同时，也要注重思维的交流，积极培养师生之间、生生之间的评价能力，激发学习的主动性和趣味性.由于学生缺乏拼图的实践经验，教师应给予学生充足的时间和指导，积累活动经验，培养应用意识和创新意识.

1.4 “妙”思维

“勤”互动环节中的拼图活动，可凭借经验和直觉推断出结果.它给予我们探索的思路，从而发现结论；但在数学命题的证明中，更需要演绎推理，体现证明的合理性与科学性.

为体现证明的严谨性，教师先引导学生对四边形进行分类，分为一般四边形和特殊四边形(长方形、梯形).对于长方形内角和问题，借助特殊角度可以立刻得证.对于梯形，运用“平行线的性质定理”亦可得证.那么对于一般四边形，该如何处理呢？有了之前的经验，学生们已经思绪万千，迫不及待地想要尝试了.借此契机，设立“先独立思考，再组内交流”的模式，开始探索新知的里程.最终，成功碰撞思维的火花，得到了很多“妙不可言”的方法.

方法1联结对角线BD，分割成两个三角形(如图7).

图7 图8

拓展1以方法1为起点，取一点P，将四边形分割成多个三角形.如何取点呢？根据点的位置，可以是边上的点(如图8)、四边形内任意的点(如图9)，或四边形外任意的点(如图10).

图9 图10

小结在平面内任取一点，将四边形分割成若干个三角形，利用“三角形内角和”及平角、周角知识，可证得命题.这4种分割法，体现了从特殊到一般的数学思想.

方法2从梯形得到灵感，尝试过某一顶点作一边的平行线(如图11和图12).

图11 图12

方法3以直角为切入点，过两个相邻顶点作对边的垂线段(如图13和图14).

图13 图14

小结无论是作平行线还是垂线段，都是利用平行线的性质和外角性质进行角的等量转化.以上方法，都是“割”四边形.继续思考，能否用“补”的方法呢？

方法4延长某一组对边补成三角形(如图15).

图15

设计意图组织数学探究活动应该是自然、合理、有序的，以此达成多维目标.该活动的创设展现了教师是教学活动的组织者、引导者和合作者.通过恰当的问题设置，引导学生深度思考，锻炼思维，求知求真.学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上以及与同学互相探讨的过程中.

1.5 “巧”解题

图16

例题应该是具有代表性的，它不仅是对本节知识的应用，也应该是数学思想的渗透.结合教材，选取课后习题作为例题补充.

习题1如图16，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.求证：BE∥DF.

设计意图该题既是对本节新知的巩固，亦是对一题多解的探索.除了用常规的几何推理解题外，着重介绍用代数思想解题,该方法还体现了符号意识.在几何推理中，运用符号进行运算和推理，是数学表达和数学思考的重要形式.

1.6 “图”归纳

学生围绕下列问题展开反思，并整理本节课知识思维导图(如图17).

1)学习四边形的基本路径是什么？

2)学习中用到了哪些数学思想？

3)你还想知道四边形的哪些知识呢？

图17

设计意图“图”归纳从课堂教学一开始就展开，以板书形式，随着知识点的铺开逐渐构建思维导图，注重形式上“形”与“字”的匹配，注重内容上知识点和思想方法的融合，注重原知识和新知识的联动.思维导图归纳直观生动，层次丰富，收获颇多.

2 几点思考

章节起始课往往是原知识与新知识之间的过渡和衔接，内容简单熟悉、情境设置生活化，常常会给人错觉：教材内容陈旧，似乎枯燥无新意，不具有足够的挑战性，好像没啥可教的.这时，教师需要研读教材，不仅是初中教学部分，还可以是小学的或者是高中的，了解知识点的“来龙去脉”，掌握学生的知识基础，调整教材的呈现方式，补充课程资源，提高学习任务的挑战性，让“单薄”的内容逐渐“丰满”，让“淡而无味”的学习变成“回味无穷”的体验.

2.1 开展活动式教学，增经验促新知

《数学课程标准(2011年版)》中提出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，需要在“做”和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.本节课提供了3个活动：活动1，欣赏生活中常见的镶嵌画，感悟生活中的数学美，引发对新知的好奇；活动2，观看四边形的变形过程，关注定义的细节；活动3，动手把4个全等的四边形拼成一副既不重叠、又不留空隙的镶嵌画，制造一些与学生认知不平衡的问题，促进认知发展.有效的活动式教学涉及“眼、手、口、脑”，从而使低层次的活动体验向高层次的教学经验升华，促使感性认识向理性认识飞跃.

2.2 注重思维锻炼，激潜能提素养

数学是锻炼思维的载体.传统的数学教学总是注重题目的一题多解，较少关注定理证明的多种方法.本节课独辟蹊径，利用教材，让探索“四边形内角和”定理成为思维锻炼的绝佳迸发口.

维果茨基提出：教学中既要充分考虑到学生现有的发展水平，又要能根据学生的最近发展区给学生提出更高的发展要求[1].在“四边形内角和”定理的探索过程中，教师应当预设学生的“最近发展区”，先提问四边形有哪些分类，引出特殊四边形，再对一般四边形的内角和进行探索.多样化的证明，对熟悉的知识进行了再认知、再创造，不仅提升了思维层次，更是扩大了思维张力.

2.3 运用导图梳理，凸要点探未知

在学生自主探索和练习的基础上，教师引导学生对整节课的学习过程进行反思.外在的知识、技能等都必须通过学生的反思体验这一个环节才能内化为学生自身的东西[1].那么如何反思才能有效呢？推荐使用思维导图：1)思维导图层次分明，图文并茂，方便记忆；2)教学时可动态展示知识间的关联，形成知识串、知识网；3)内容可以多角度、多维度，既可以是知识点间的融合，也可以是思想方法上的联动.思维导图的使用让学生感受到新知的过去、现在和未来，提高了学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.本节课中，思维导图的制作贯穿整节课教学，需要教师有计划、有节奏地展开制图.

关注“单薄”的教学内容，有生动的体验、精彩的细节、丰满的过程、丰硕的结果，我们也能让它从“单薄”变得“厚重”，从而真正落实核心素养.