纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行——关于两道浙江高考数学压轴题的教学思考

福建省福州华侨中学(350004) 郑笑容

2021年高考早已尘埃落定,新课标下的全国统一试题的高考终于再次崭新面世,不言而喻高考的导向作用是人们最为关注的热点问题,为了不断提高数学课堂教育教学质量,不断提升教师自身和学生的核心素养,不断提高分析和解决数学问题的关键能力,对高考试题深度思考、深入剖析、对于教师不断更新理念,提升核心素养和数学关键能力都是十分必要的.

案例一

(2021年浙江高考压轴题)

设a,b是实数,且a＞1,函数f(x)=ax−bx+e2(x∈R)

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若对于任意b＞2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;

(3)当a=e时,证明:对于任意b＞a4,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2满足(注:e=2.71828···是自然对数的底数).

1.1 参考答案

(1)略

1.2 分析思考

2021年浙江省高考数学压轴题独领风骚,创新与难度都堪称一绝,命题组的解法也是别具一格,唯我独尊,首先题目所给函数是指数函数与一次函数的复合函数,平中见奇,守正出新,第一问求函数的单调区间,中规中矩,是考生应知应会的基础的知识与基本技能;充分体现低起点的特征;第二问根据函数零点个数,求参数取值范围,应该说难度急剧上升,第三问根据零点个数,确定零点横坐标之间的特定关系,使试题难度再上新台阶,登峰造极,命题组的解法是等价转化,换元法,参变分离,构造新函数,求导再求导,构造再构造,可谓逢山开路,遇水搭桥,山穷水尽疑无路柳,暗花明又一村,构思新颖,解法独特;令人拍案叫绝,我们欣赏专家敏锐的思考和超凡脱俗的解法的同时不能忘却思考,尤其是对正常的课堂教学有哪些启示是我们最为关切的问题,这样的解法我们的教师有多少获得感,我们的学生从中有哪些感悟都非常值得思考与借鉴,为什么很多学生总觉得课堂中学到的知识与技能高考难以应用,为什么总是感叹高考试题离课堂教学实际越来越远,总希望到课外去补充这样或那样的各种所谓的“妙招与技巧”.

我们中学阶段学习导数主要是两个方面,一是学生对导数概念的理解,二是导数的应用,只有对导数概念有更深刻的更准确的理解,才能更好的应用;教材中,是从代数和几何,也就是通过数形结合来理解和阐述导数的概念的,导数是函数的平均变化率,(曲线的割线斜率)的极限—瞬时变化率,即(也就是曲线在点x0出的切线的斜率),也就是说切线是割线的极限位置!而函数零点问题只是强调函数与方程,变量与常量的相互转化关系;基于教学思考,我们试图从有利于夯实学生的基础与提高学生核心素养的,提高学生解决问题的兴趣与信心,从学生的最近发展区出发,给出问题的切割线分析法,化难为易,化繁为简,努力使真正好的高考命题不仅有利于选拔,更有利于对中学数学教学的导向.

1.3 创新再解

(1)(略)(2)由(1)可知,当b=2e2时,设函数f(x)=ax−bx+e2有且只有一个零点x0,则

也就是当b=2e2时,直线y=2e2x−e2与指数函数y=e2x的图像相切与点(1,e2)如图2,所以对于任意b＞2e2,过定点(0,−e2)的直线束y=bx−e2中的直线斜率率越大,越靠近y轴,底数越小,过定点(0,1)指数曲线束y=ax图像在第一象限的部分越靠近x轴,因此,直线y=bx−e2与指数函数y=ax图像相交,恒有两个交点,即函数f(x)恒有两个零点;则a取值范围是a∈(1,e2],如图3同理可得.

图2

图3

原命题的推广1:设a,b是实数,且a＞1,函数f(x)=ax−bx+e2,(x∈R).若对于任意b＞me2,(m＞0),函数f(x)有两个不同的零点,则a的取值范围为a∈(1,em].

图4

图5

案例二

(1)若f(x)在x=x1,x2(x12)处的导数相等,证明:f(x1)+f(x2)＞8−8ln2.

(2)若a≤3−4ln2,证明:对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

2.1 创新求解

2.2 深刻反思

第一问,这里我们并没有放弃对函数y=f(x)导数的研究,判定函数的单调性,充分利用题目所给数值的特点,联想已知函数f(16)=4−4ln2,从而获得问题的全新思考与解答!

第二问,若a≤3−4ln2,为了证明对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.我们没有为了一定要用零点存在判定定理,而煞费苦心去设计特殊的m,n的值,而是根据目标驱动创新思维,根据问题的表征探寻问题的本质,另辟蹊径,充分利用第一问的研究成果,简约自然证明出过曲线上y=f(x)任意一点M(x0,y0).与定点N(0,a)的直线的斜率恒为任意正数,从而证明若a≤3−4ln2,对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.进而分析出要证明有唯一点所需要研究的函数,一气呵成,自然简约!

并且我们可以发现原高考题的推论:

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行,高考试题的研究不能拿来主义,不能顺水推舟,不能依样画葫芦,要独立思考,要创新思维,要追寻本质,要崇尚自然,我们研究问题的目的就是要与学生的最近发展区接轨,不断提高学生的核心素养,提高学生创新思维的意识勇气.

教师一定要不断更新教学理念,深刻领会课标精神,通过典型案例的分析和学生自主探究活动,使学生理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,追寻数学问题的本质所在,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态既是我们数学教师义不容辞的责任.也是教师必须坚持不懈修炼的内功.破除神秘,崇尚自然.