启发学生多视角解题*—“玩转”中考压轴题

甘肃省酒泉市肃州区酒泉第四中学(735000) 徐玉庆

圆的问题一直是中考关注的话题,笔者统计了2017年《中学数学》下旬初中版中所涉及圆的问题,每期都有7-9篇是关于圆的文章,占每期文章总量的18%.可见圆在中考试题中的重要性.2017年《中学数学》四月下旬初中版,浙江姜晓翔老师《注重逻辑推理 关注思维发展》一文对湖南市中考第20题进行了研究分析,发现这道圆的题目得分率并不是很高,学生的逻辑推理能力并不理想,同时在研究中也涌现出了不同的解题思路[1]～[3].受此启发,笔者在所带初中毕业班中对2016年甘肃省酒泉市中考试卷第27题进行了多视角的启发求解,以此提高学生的逻辑推理能力和解决问题的能力.

1 原题呈现

(2016年酒泉市第27题)如图1,已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C,过C作直线CE⊥AB,交AB的延长线于点E.

图1

(1)求证:CB平分∠ACE;

(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.

图2

2 试题分析

该题所涉及的知识点主要有:角平分线的定义及性质定理、圆的切线的推论、勾股定理、垂径定理、直径所对的圆周角是90°、三角形相似等.考察学生的逻辑推论能力、运算能力,所涉及的计算并不是复杂,同时在教学中笔者不断鼓励启发学生,努力寻找多种解法,取得了很好的教学效果.

3 解法分析

点评解法中直接利用三角形相似建立了半径和已知量之间的关系,较学生A优化了解法,避免了利用勾股定理第二次计算半径.

图3

师:前面两位同学利用了三角形相似建立了未知量和已知量之间的等量关系,成功的求解了⊙O的半径,那么是否还有其它方法那?

生C:如图4,既然已经知道CB平分∠ACE,则过点B做DC的垂线交DC于F,则BF=BE=3,CF=CE=4,设OC=x,在直角三角形BFO中,BO2=BF2+FO2,即:x2=32+(4−x)2,解得x=

图4

点评该解法巧妙的利用了角平分线的性质定理,将所求量半径巧妙的移植在了直角三角形中,利用勾股定理成功求得半径,值得每位同学学习.

师:(这时学生的积极性得到了很大的激发,教师应该及时把握,因势利导)前面三位同学表现的非常不错,那么还有其它方法吗?

生D:如图5,在C同学的基础上,过点O作BC的垂线交BC于点G,则OG垂直平分线段BC,ΔCGO∽ΔCFB,设OC=x,则:,则x=.

图5

点评该解法巧妙的利用了垂径定理和三角形相似,成功的求解了半径,方法独特,值得学习.

师:同学们思维活跃,积极思考取得了很大的成果,那么是不是这道题的做法已经让我们找完了那?是否还有其它方法那?

生:学生开始了激烈的讨论.

生E:如图6,过点O作OH垂直于线段CE于点H,则四边形OBEH为矩形,在直角三角形OHC中,设OC=x,则OC2=OH2+CH2,即:x2=32+(4−x)2,解得

图6

点评该解法巧妙的将未知量半径嵌入到直角三角形中,利用勾股定理成功求解了半径,和学生C的方法有异曲同工之妙,非常精彩.

师:上面同学们的解法非常精彩,解题方法灵活多样,许多解法非常巧妙,值得每位同学认真研究思考.(通过上面的讨论分析,大部分同学对于圆的问题的解法已经有了比较全面的认识,达到了预期的效果)

4 变式练习

在上述教师和学生的互动中,结合上面的各种解法,笔者涉及了一道有关圆的题目,教学预设每位同学都可以寻找到解题方法.

设计意图通过以上学生不同的解题思路和方法,引导其他学生积极思考,寻找多种解法,激发学生学习的兴趣,设计了一道关于圆的问题,解题方法灵活多样,让学生感受在解决圆的问题的时候其方法的灵活性和多样性,培养学生的逻辑推理能力、运算能力、反思能力.

如图7,在ΔABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E,过点E作⊙O的切线,交AB于点F.

图7

(1)求证:EF⊥AB;

(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

下面是三位学生的解法:

生F:(1)如图8:连接AE,OE,则OE是ΔABC的中位线,所以OE//AB,因为EF⊥OE,所以EF⊥AB.

图8

(2)连接CD,则EF是直角三角形BDC的中位线,则BF=1.有ΔBEF∽ΔBAE.则BE2=BF·AB,即:32=1·AB,所以AB=AC=9.

生G:如图8:由勾股定理得:DC2=62−22=32,设AB=x,在直角三角ADC中,AC2=AD2+DC2,既:x2=(x−2)2+32,解得x=9.

生H:如图9,连接DE,因为∠BAC+∠DEC=180°,∠DEB+∠DEC=180°,所以∠DEB=∠BAC.则ΔBED∽ΔBAC.设AB=x,则:解得x=9.

图9

点评上面三位同学巧妙的利用三角形相似和勾股定理解决了成功的解决了该问题,特备时学生H,利用了圆内接四边形的性质定理,发现了许多同学忽视的角之间的关系,值得每一位同学学习.是否还有其它解法那?希望同学们继续研究探索.

5 教学启示

通过启发式教学,许多同学在课堂上思维活跃,积极讨论,涌现出了许多巧妙的方法,也让很多同学感觉到学习数学的乐趣和成就,通过分析,得到以下启示:

(1)注重教师启发,关注学生思维发展

在实际教学中,特别是在初三毕业班的教学中,许多教师选择了自己在黑板上讲解,而忽视了学生的合作学习,忽视了学生思维的发展,忽视了学生在讨论学习的过程中所展示的热情和能力.学生思维的品质并没有得到提升,正如乔治·波利亚在“怎样解题表”中提到的学生在解题过程中要建立一套完整的解题思想,[4]而不是只关注解题结果.在教学中,教师给予及时的引导和启发,有助于学生思维的发散,提高学生对数学的兴趣,让他们在解决问题过程中体悟数学的魅力,感受数学的逻辑性和趣味性,从而提高他们的思维品质,提高他们解决问题的能力.

(2)注重及时引导,发展多元思维

2.2 素养立意,聚焦思维

知识是形成素养的载体,思想方法是“知识”背后的“知识”,是学科精髓和灵魂[1].数学核心素养是数学课程改革新指向,是数学教育的培养目标[2].

本题的第(2)小问,求S的最大值,因为S1是定值,所以本质上求S2最小值.求S2的最小值需要转化点F到直线AB距离的最小值,这又要转化研究点F的运动路径.由条件“折叠”知:DF=DC,故F在点D为圆心,半径为2的圆上运动,最终转化求圆外点到圆上动点距离最小值问题,这一系列的转化,是高思维运作下才能顺利完成的.只有重视数学思想方法,思维内化的优秀生才可以像庖丁解牛,化解困境突出重围.靠刷题机械套模型,不求甚解,思维水平一般的同学是无法破解的.同时,解题时要画图,把隐含图形可视化.通过画图,一方面可以更好的理解图形信息;另一方面,可以进行视觉加工,这对新图形进行结论的探索至关重要.透过图形直观想象,再根据知识源抽象出基本图形,逻辑推理,解决问题,凸显数学核心素养.

教师在教学中的引导要恰如其分,既不能越俎代庖,也不能放任自流,孔子有“不愤不启、不悱不发”,是在学生努力思考的而不得结果的时候给予启发,以此让学生能够充分理解问题的本质,这样才可以做到举一反三、触类旁通.圆的问题涉及平面几何的许多知识,需要学生充分掌握每个知识点直接的联系,才可以做到游刃有余,才可以做到方法灵活多样,思路宽阔而发散.才可以灵活的应用三角形相似、勾股定理以及圆的相关知识.这种思维的多元化有利于学生积累解决圆的实践经验,构建解决圆的模式体系.

(3)注重数学思想的培养,提高学生核心素养

数学思想是对数学灵魂的质的的理解和认知,学生在对公理、定理、推论等事实应用的过程中,不仅要掌握其用法,同时要领悟这些知识所渗透的数学思想方法[5]～[6],这样才可以做到以不变应万变,圆的许多解法都有异曲同工之妙,但方法的难易程度却有着很大的差别,在问题的解决过程中,如何选择方法,也取决于学生对于问题的认知程度,对于数学经验的筛选和提取,对于问题的情感体验,这些都是学生要不断培养的数学素养,只有这样,才可以让学生在以后的学习中不断应对更加复杂的学习环境和生活环境,为他们的持续发展提供源源不断的动力.