“三民版”高中数学教科书中的数学文化*——以“数列与级数”一章为例

刘 熙 刘冰楠

(云南师范大学数学学院,650500)

数学文化不仅可以激发学生的学习热情,还可以改善学生对数学知识的认知，加深对数学思想方法的感悟，培养数学理性思维．作为发挥独特育人价值的数学学科,其载体之一——数学教科书承载着数学文化的教育功能．研究教科书中的数学文化不仅可以丰富数学文化的研究成果,还可以为教科书的编写提供一定的参考．

我国台湾地区颁布的《十二年国民基本教育课程纲要国民中小学暨普通型高级中等学校数学领域》(以下简称《课程纲要》)基本理念中指出：“数学是一种实用的规律科学;数学是一种文化素养;数学教学应培养学生正确使用工具的素养”．“教科用书之编写应注意在取材上,能与相关数学主题、其他领域/科目的内涵、日常生活的素材进行应用与外在连结;教科用书之编写可适当编入数学史、民族数学及数学家介绍”[1].这足以彰显台湾的数学教育对数学文化的重视．

台湾地区高中数学教科书由各书局(书店)依据《课程纲要》编写,供各级各类学校选用．其中三民书局高中数学教科书极为重视数学文化的价值,且“关注数学人文内涵中以简驭繁的精神与结构完美的特质”[2]．在“数列与级数”一章中,等差数列、等比数列的通式,等比级数的求和公式等蕴含的数学文化均体现了此特点．此外,“数列、级数与递回关系”还可发展学生“欣赏数学观念或工具跨文化传承的历史与地理背景的视野”[1]．

本文以三民书局出版的高中数学教科书(以下简称“三民版教科书”)第二册第2章——“数列与级数”为研究对象,从数学文化的栏目设置、内容分布、运用方式等方面进行探析,由点及面管窥“三民版”教科书中数学文化的编写特色．

一、“数列与级数”一章中的数学文化

“数列与级数”章共2节,主要包括等差与等比数列、递回数列、数学归纳法、级数的意义、等差级数、等比级数、常用的求和公式等内容,共包含56项有关数学文化的条目,具体分析如下．

1.数学文化的栏目分布

“数列与级数”章包括章节引言、正文、例题、随堂练习、节末习题、章末综合练习以及数学PLUS+等栏目．其中例题后紧跟随堂练习,以加深学习效果并测知学生是否理解上课所授内容;节末习题分为是非题、基础题与进阶题,提供学生基本观念的练习、加深思考;章末综合练习分为基础题、进阶题与观念改正题,帮助学生复习并引导学生修正错误观念．数学PLUS+栏目主要是课外阅读材料,用以开拓视野．各栏目均涉及数学文化,为便于定量和定性分析,将“数列与级数”章的栏目划分为四类:非正文(章节引言、数学PLUS+),例题(有解答过程的题目),习题(无解答过程的题目,如随堂练习、节末习题、章末综合练习等),正文(除上述三类外的文字表述、图片等),其分布情况见表1．

表1 “数列与级数”数学文化的栏目分布

由表1可知,“数列与级数”习题栏目的数学文化占比最大且超过50%,正文次之,例题最少．一方面,习题所占版面最多,本章内容共38页,而习题部分约占15页(为便于统计,按版面大小规定:三道随堂练习所占版面为一页);另一方面,“数学文化是数学问题的重要背景”[3],数学文化可渗透到数学问题中传承和发展．例如,利用德国数学家卡拉兹在1937年提出的著名猜想编制随堂练习,以此传递“并非所有数列的一般式都可以用式子表示”．再如,在章引言利用电邮转寄漫画的人数引入本章内容;在正文类比骨牌游戏,阐释数学归纳法的思想;在例题利用工厂检查生产线上的产品，考查求数列的任一项等．

2.数学文化的内容分布

依据汪晓勤对数学文化类型的分类,将数学文化分为数学史、数学与生活、数学与科学技术、数学与人文艺术四类[4]．此外,《课程纲要》基本理念中指出要“重视计算工具的有效运用,计算工具的教学应从计算机(calculator)开始”[1]以及教科书编辑大意强调“标有计算机图示的例习题建议使用计算机辅助”,故在数学与科学技术类别中加入“计算机”的统计,具体分布情况见表2．

表2 “数列与级数”数学文化的内容分布

由表2知,“数列与级数”强调数学与生活的联系(48.21%)以及数学史内容(30.36%),同时注重数学与科学技术、数学与人文艺术等方面．在数学与生活的联系中,个人生活类数量(19项)是公共生活类数量(8项)的两倍多,说明教科书中学生可接触到的数学文化较多,且大多分布在习题或例题部分,包括朋友间转发漫画图片、地砖拼图、搭建杯子擂台、涂长纸条、学校校庆表演队排列等．数学史(17项)涉及三角形数、四边形数、完美数、友谊数、鲁斯阿伦数对、欧拉质数公式、考拉兹猜想)、垛积术、17世纪日本江户时期关流学派数学家(关孝和、松永良弼、和田宁等)的研究成果、毕达哥拉斯学派“万物皆数”的思想、求n个正整数的平方和等内容．数学与人文艺术数量较少,但极具文化气息,其中涉及中国宋元时期数学家吴敬的数学诗“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”日本关流学派研究的复杂数列求和、毕达哥拉斯时代将友谊数视为友谊与友好的象征、鲁斯阿伦数对的由来、构思和谐美丽的迭代图、古代建筑等内容．

3.数学文化的运用水平

“按数学史与数学知识的关联程度,将数学教科书运用数学史的方式分为点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式五类”[5](重构式运用水平在本章并未出现,故不做统计);“根据数学文化的内容与数学知识的关联程度,将其他数学文化(包括数学与生活、数学与科学技术、数学与人文艺术)的运用方式分为外在型、内在型(又可细分为可分离型、不可分离型)”[6]．“数列与级数”章数学史、其他数学文化的运用水平见表3和表4．

表3 “数列与级数”数学史的运用方式

表4 “数列与级数”其他数学文化的运用方式

由表3和表4知,“数列与级数”中数学史的运用方式以附加式和复制式为主;其他数学文化的运用方式以可分离型为主;数学史的点缀式和其他数学文化的外在型运用水平较少．例如,采用附加式介绍日本江户时期数学家关孝和的主要数学成就;采用复制式由完美数定义引入数列的前n项和,进而借用友谊数、鲁斯阿伦数对编制数列求和问题．再如,杯子擂台的搭建可将数学文化与数学问题分离,舍弃数学文化,将数字1～n排列为三角形进行解答,属于可分离型．

二、编写特色

由以上分析可见“三民版”教科书中数学文化的编排极具特色.具体归纳如下.

1.彰显栏目分布的设计

数学文化集中分布在习题栏目,正文次之且“台湾教师的教科书使用取向为‘高忠实’”[7].这促使教师更多关注教科书内容,同时反映数学文化的栏目分布较为合理,可以被教师充分利用．因此按照使用上述取向的教科书实施教学的地区,数学文化集中分布在正文和习题栏目,可以提高教师对它的关注度,更有利于数学文化在教学中的渗透与传承．

2.重视多种素材的选取

在数学文化的内容分布上,数学与生活的联系出现次数最多且多涉及个人生活,数学史次之．究其原因,《课程纲要》指出“教科用书之编写应注意在取材上,能与日常生活的素材进行应用与外在连结．教科用书之编写可适当编入数学史、民族数学及数学家介绍”[1]．此外,“数学史在教学中具有文化、德育、美学教育价值等”[8].不仅可以让学生体会数学家开创性的研究成果,还可以感悟数学知识的发生发展过程,感受“再创造、再发现”的成功体验．同时教科书也注重数学与科学技术、数学与人文艺术的联系,进一步体现数学的应用价值、审美价值和文化价值．

3.注重多元文化的渗透

“数列与级数”中数学文化涉猎广泛,既包括中华优秀传统文化,如我国宋元时期数学家们研究的垛积术、明朝吴敬的数学诗等;也包括其他国家的数学成就,凸显多元文化的渗透.如美国鲁斯阿伦数对的由来、日本关流学派的复杂数列求和等;同时涵盖数学与生活、科学技术、人文艺术等方面的内容,有助于拓展学生欣赏数学观念或工具跨文化传承的历史与地理背景的视野[1]．

4.凸显以简驭繁的精神

“数列与级数”中数学文化体现“以简驭繁的精神与结构完美的特质”[2],其版式设计具备可读性,以简洁的方式呈现内容,易于学生理解．例如,等差数列、等比数列的通式用简洁的图示推导(如图1);等比级数求和公式用竖式得出(如图2)．再如,n个正整数之和的公式依照正反两种顺序排列1～n个正整数再将对应项相加得出,并以类似的方式用图形语言清楚地推导n个正整数的平方和公式(图略)．

三、若干启示

“三民版”教科书“数列与级数”一章中数学文化的编写特色对高中数学教科书建设有如下四点启示.

1.合理设置栏目,多方位展现数学文化

在一定程度上,数学文化集中分布在习题和正文栏目，可以引起师生更高的关注．但教科书各栏目均为数学文化渗透的载体,具有不同的教学价值和育人价值．如章节引言设置数学文化，可以激发学生的求知欲和学习兴趣;章末设置数学文化，可以提高学生的阅读能力、开拓学生的数学视野．因此可在教科书各栏目合理设置数学文化内容,多方位展现数学文化,使学生感悟数学文化的魅力．

2.均衡发展内容,多样化呈现数学文化

数学文化内容包括数学史、数学与生活、数学与科学技术、数学与人文艺术等,每一维度均是数学文化价值的集中体现．教科书编写不仅要注重数学与生活的联系,也要重视数学史的教育价值、数学在科学技术领域的应用以及数学与人文艺术的融合,以期达到数学文化内容在教科书中的均衡发展、多样化呈现以及数学应用价值、审美价值、文化价值等的深刻体现．

3.精选多元素材,多层面渗透数学文化

“多元文化涉及民族、国家或区域文化,在多个层面上体现了文化多样性”[9].教科书编写不仅要传承中华优秀传统文化,也要精选多元素材,从民族、国家或区域等多个层面渗透数学文化．多元文化“现身”教科书不仅可以开阔视野、促进文化交流,而且能体现文化自信．

4.精心设计版式,简洁化呈现数学文化

教科书作为学生学习的重要资源,其内容的呈现应具备可读性,易于学生理解．在广泛收集并精心挑选各类数学文化素材的同时,教科书编写应优化版式设计,图文并茂,以简洁的方式呈现,加深学生对所学内容的理解,使学生感受数学文化“以简驭繁的精神”和数学的简洁美．