基于数学单元的整体教学探索与实践：问题驱动的视角①

王海青 吴有昌

(1.惠州学院数学与统计学院 516007；2.广东省教育科学研究院 510035)

1 研究的背景与理论依据

正如康德的观点：“知识在本质上是一个整体，正确使用人的理性可以指导主体将支离破碎的、不完整的知识统整上升到更高原则的整体知识．”[1]随着基础教育课程改革的推进，强调知识的整体性和单元整体作用的教学观愈加受到重视．“单元设计不仅仅是对知识点与技能训练的课时安排及单元重难点知识的分析”[2]，教师应该学会有机地、模块化地处理教学内容进行“单元设计”，它是“撬动课堂转型的一个支点”[3]．以单元为主体进行整体教学设计，可以解决由“课时主义”造成的教学内容碎片化、知识技能训练过度化等问题，“整体化有序设计单元教学”[4]还可以改变重细节轻整体的教学思维．整体教学理论强调遵循“整体→部分→整体”[5-8]的步骤开展单元教学，重视单元整体的功能与作用，突出单元与具体课时之间的融会贯通．它要求对任何一门学科的教学,应使学生不仅要理解各部分的内容,而且要理解各部分内容间的关系；不仅要掌握该学科知识间的内在联系，而且要掌握该学科与相邻学科的外在联系．

近年来，关于单元教学设计或整体教学设计的研究与实践日趋增多[2-4，9]．由于基础教育教材编写遵循“螺旋式上升”原则以及知识结构的整体性特征，以单元为主体强调学习内容相互联系的整体教学设计是提升课堂教学质量的有效选择．基础教育各学科课程标准也特别强调教材与教学内容的整体实现，如《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》[10]与《普通高中数学课程标准(2017版)》[11]在“实施建议”中指出“教材编写应体现整体性”，注重教材的整体结构与内容间的有机衔接；教学活动要整体把握教学内容，注重课程目标的整体实现．同时数学教学也具有自身的学科特性．美国数学家Halmos曾直言：问题是数学的心脏，学习数学唯一的方法就是做数学．基础教育数学课程标准倡导“从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境”[10]，“教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题……教学情境包括：现实情境、数学情境、科学情境”[11]．这也凸显了问题与情境对数学教学的重要性，教师需通过问题与情境引导学生经历知识的生成过程、揭示数学的本质并学会思考．

科学研究始于问题，问题是促进学科发展的原始动力．数学也不例外，美国数学史家M. Kline就曾指出“每一个数学分支均是为攻克一类问题而发展起来的”[12]．因此，合乎情理和逻辑的数学教学也应围绕问题展开，以问题驱动教学让学生在经历数学发现的过程中揭示数学思想、生成“形式化”的数学概念与原理，并“教学生学会思考”[13]．《问题驱动的中学数学课堂教学·理论与实践卷》[14]则系统地探讨了问题驱动教学理论以及相应的教学案例分析．那么，怎样的问题才是适当的？初等数学中的概念或原理的形成大都源于现实生活问题或是数学内部的问题，只要是“具有启发性的、本原性的、触及数学本质、能够在教学中起统帅作用的”[15]问题都是好问题．这也就要求教师需依据对历史和数学学科结构的整体理解挖掘知识产生的背景与价值，再结合学生的实际创设真实有效的问题及相应的情境．

可见，就数学教学而言，适当的问题与情境是实现数学单元整体教学设计的重要支点，以数学单元为主体的整体教学设计需重视问题驱动课堂的教学方式，整体教学观与问题驱动理论是指导数学单元教学设计的重要理论依据．教师需根据数学的历史发展脉络与学科架构，发现知识产生的本原性问题、挖掘教学内容的价值与揭示学习内容相互之间的联系，然后依据学生的现实创设合适的问题与情境以问题驱动教学，教给学生丰富的充满联系的整体知识结构，并促进学习的迁移．以单元为单位围绕核心数学问题展开整体教学设计，有助于实现教学内容在学科内部的融合与学科间的整合，有助于实现抽象知识与具体现实的有效连接，有助于实现既面向全体又考虑差异的弹性教学．

2 中学数学单元的知识结构

准确剖析中学数学单元的整体结构，涉及到对数学的知识结构、教学结构和认知结构三个概念的辨析，三者之间既有密切联系又有严格区别．数学的知识结构就是教材内容的逻辑结构；认知结构就是经过学生主观改造后头脑里获得的知识结构．[16]而教学结构是教师基于对教材逻辑结构和学生的数学现实形成的教学内容设计与组织形式，它是实现由知识结构向认知结构转化的桥梁．数学教学的目的之一是帮助学生形成可利用的、可辨别的和稳定的认知结构[17]以促进学习的迁移．即要求教师在教学中应使知识间尽可能多地建立相互联系，且新知识的学习应在原有的基础上建立意义联系，使之有机嵌入已有的知识体系并得以保持．显然，良好认知结构的形成有赖于教师对数学知识结构的整体认知以组织合理的教学结构．

为便于讨论，下面以“平面向量”单元为例，剖析单元知识结构及其对具体教学的指导作用．

2.1 中学数学单元知识结构的四个层次

中学数学单元的知识结构可从宏观到微观四个层次进行剖析，即：数学学科内部之间及其与相邻学科的联系、高等数学与初等数学的联系、中学数学单元之间的联系、单元内部各个课时之间的联系．

2.1.1 数学学科内部之间及其与相邻学科的联系

数学的概念、原理或规则大都是为解决某个实际问题而慢慢形成，有些则演变为一个数学分支．它们的起源与物理、天文、军事和经济生活等密切相关，所以数学与其它学科及数学内部之间的联系形成了一个宏观的整体结构．M. Kline认为“数学史是教学的指南”，它记载着数学思想的形成过程．因此，数学史有助于认识这一宏观的知识结构，由此深入理解相关内容产生的背景及应用价值，明确教学内容的重要性．

向量是一个可以表示力、速度或加速度的大小和方向的有向线段的概念．向量的概念及平行四边形运算法则，早在亚里士多德时期就已经知道．1830年左右德国数学家Gauss指出复数能用来表示平面上的向量，于是复数就提供了表示向量及其运算的一个代数形式．复数的加法与减法就表示向量的加法与减法，定量的代数形式运算代替了平行四边形法则或三角形法则的定性几何描述，大大简化了向量的计算．复数的加法和乘法运算可以表示平面上物体的平移、旋转和伸缩运动，这给物理研究带来极大的便利，也是复数最终被广泛接受的直接原因．代数上为了处理空间中的物体运动需要一个复数的三维类似物，爱尔兰的数学与物理学家Hamilton于1843年在复数的基础上发明了四元数，并试图将之系统化应用于数学和物理学科．

四元数因为脱离了空间直角坐标系而受到物理学家的忽视，也未像复数那样应用广泛．人们评价四元数的发现是“爱尔兰的悲剧”[18-19]，但它的发明间接推动了向量代数和向量分析的建立．四元数启发物理学家Gibbs和Heaviside提出了三维向量的概念并定义了数量积和向量积两类乘法，它们都有直接的物理背景，可以表示空间中物体的运动情况．比如，向量的数量积运算的物理意义[20]为：如图1，设v1是一个方向和大小由O到P1的线段表示的力，则这个力推动O点的物体在OP方向上的作用(OP代表向量v)是OP1在OP上的投影OP1·cos∠P1OP．当OP是单位长度时，OP1的投影正好是乘积v·v1的值．

图1 向量数量积的物理意义

数学史展现了向量与数学及物理学科间的脉络关系，相应的知识结构如图2．

图2 向量与数学及物理学科的联系

2.1.2 高等数学与初等数学的联系

事实上，初等数学的许多知识是高等数学的特殊情形，而高等数学则是初等数学的进一步延伸和一般化，它们之间在数学内部构成了有机整体．德国数学家F. Klein认为，只有观点高了，事物才显得明了而简单．[21]许多初等数学现象的本质只有在非初等的理论结构内才能被清晰地揭示．高观点的数学思想对初等数学教学具有高屋建瓴的指导作用，教师能从更高的视角审视初等数学知识的整体架构，有助于整体设计教学和对问题的变式与引申．

结合图2和中学数学教材内容可描绘出以“向量”为纽带的高等数学与初等数学之间的关系脉络，如图3．可见，线性代数与空间解析几何的许多结论特殊化后就是平面与空间向量的性质定理，体现了“一般与特殊”的数学思想．为便于后面的说明，这里给出“n维向量”的部分知识结构图，如图4．

图3 向量与高等数学之间的联系

图4 n维向量的部分知识结构图

2.1.3 中学数学单元之间的联系

数学学科内部之间的联系有助于建立中学数学各单元间的联系．中学数学的内容涉及数学学科的许多重要分支，这些分支在初等数学的框架下构成相互联系的整体结构．如代数、几何与三角之间通过坐标系建立起密切联系，向量也成为沟通几何、代数与三角函数的桥梁．其中蕴含着数与形、类比、转化与化归、函数与方程等重要的数学思想．“平面向量”与中学数学其它单元的联系如图5．

图5 平面向量与中学数学其它单元之间的联系

2.1.4 单元内部各个课时之间的联系

数学教材每个单元内部各个课时的内容相互联系构成一个整体，是教师和学生最为熟悉的一个知识结构．这里整体表现为一个单元，部分则是具体的课时内容．备课时教师通常以单元为整体思考知识产生的背景、知识点间的关系、分析教学目标和重难点，在此基础上分配课时内容并选择适当的教学方法进行教学设计．“平面向量”单元知识结构如图6．

图6 平面向量单元知识结构图

2.2 四个层次知识结构的相互关系与功能

整体由部分构成，部分依附于整体．要深刻理解部分，需对整体有完善的认知；要掌握整体，则需了解部分与部分之间的有机联系．各个课时内容是最细微的部分，每个单元是最小的整体．单元作为部分构成中学数学的整体知识结构，中学数学作为部分与高等数学在数学内部构成有机整体，而数学学科分支与其它学科间的互动联系形成一个更宽广的整体．

对数学知识结构的剖析有利于理清知识的本原及相互间的联系．就功能而言，四个层次的知识结构都是为了服务最细微的部分——具体课时的教学．前两个层次即数学学科内部之间及其与相邻学科的联系、高等数学与初等数学的联系能揭示数学知识产生的本质问题与其重要价值，解决了“为什么教”的困惑，也部分回答了“如何教”，能从宏观上指导教师的教学．中学数学单元之间的联系、单元内部各个课时之间的联系这两个层次则是要通过教学呈现给学生并使之掌握的知识结构．从表现形式看，后两个层次的知识结构能在教材中体现出来，可称之为外显的结构．前两个层次的知识结构则可称为内隐的结构，它无法通过教材直接获得，需要教师对数学学科有整体的理解和认识，是教师个人数学专业素养的有力体现．教师对内隐结构的把握直接影响着对外显结构和具体知识的理解，进而影响教学设计．

3 基于问题驱动的中学数学单元整体教学设计模式

根据对数学学科特点的把握和中学数学单元结构的分析，教师只有围绕数学史、数学教材内容、教学目标、学生的数学现实四个方面整体理解单元内容，才能真正实现中学数学单元的整体教学设计，做到以问题驱动教学．强调问题驱动的中学数学单元教学更多地关注教师对教学内容的本质剖析，而不仅仅是停留在教学法层面的教学组织．它或多或少可以改变在基础教育数学课程改革中产生的“有时候过多地强调了教学法，对教学内容有关注不够的地方”[22]的现象．结合整体教学法遵循的教学步骤，可以构建出具有学科特点的问题驱动中学数学单元的整体教学设计模式，基本框架如图7[23]．

图7 基于问题驱动的中学数学单元整体教学设计模式

要落实基于问题驱动的中学数学单元整体教学设计模式，教师须从数学史与教材内容两方面剖析教学内容，以整体把握数学知识的产生过程与内在联系、数学规律的形成与思想方法的提炼过程．进而从教学目标和学生的数学现实两个方面组织单元内容和实施具体课时教学，主要按以下三个步骤组织和呈现单元教学设计．

第一步，单元起始课的教学设计．在具体讲授新课之前通过开篇课对单元作整体性的介绍，让学生对将要学习的内容有大致了解．这恰是美国数学教育家Ausubel所提倡的“先行组织者”教学策略，其核心是指在学生正式学习新知识前，介绍他们熟悉的、要比新知识本身具有更高的抽象、概括和综合水平的，并且能使学生原有的认知结构与新知识相关联的引导性材料，为新旧知识的连接做准备．[17]因此，单元起始课主要介绍单元知识产生的背景、应用与价值，它们与旧知的联系等．目的是为新的学习内容提供观念上的固着点以促进学生的学习，也为后面具体教学的问题情境创设提供预设和铺垫．起始课也能化解学生“为什么要学”的困惑，在情感上获得意义学习的心向．

第二步，具体课时的教学设计．数学本身就是由许许多多的问题及其解决过程构成，以“问题驱动教学”的方式有利于激发学生的探索精神并获得相应的数学思想方法．数学史强调知识产生的背景、关注问题出现的序列及重视数学思想的形成过程，能为问题情境创设提供帮助．比如“向量的数量积”不同于学生之前所掌握的乘法意义，可以结合它的物理意义来引入新课，帮助学生直观理解．此外，从高等数学的框架下解读初等数学知识，有助于对具体教学内容的深刻认识和直观理解，有效突破重点和化解难点．

比如，“平面向量基本定理”的内容为：“如果e1,e2是平面内不共线的两个向量,那么对于这个平面内的任一向量α,有且只有一对实数λ1,λ2，使得α=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．”这种高度抽象和形式化的数学语言使学生难以从本质上真正理解定理．结合图4从n维向量的知识体系看，“平面内不共线的两个向量”表明e1,e2是二维向量空间的一个极大线性无关组，即为一组基．n维向量空间的任一向量都能由它的一组基线性表出，且表示法唯一．当n=2时就表述为“平面向量基本定理”的内容．

显然，基相当于一组“代表”，起到坐标系的作用，其它的向量由这组“代表”线性刻画实现定量研究．所以，“平面向量基本定理”将平面中看似繁杂无章的向量及其相互关系变得简洁有序，化繁为简实现定量计算；对无穷多平面向量的研究转为对有限部分的讨论，实现了无限向有限的转化．[24]这恰是定理的重要价值．在了解定理重要性的基础上利用平行四边形法则或三角形法则能使学生直观理解向量α的“任意性”、实数λ1,λ2的“存在性”与“唯一性”及e1,e2的“不唯一性”问题，利用“数形结合”化解教学难点．平面内基底的选择不唯一，为便于计算通常选取与平面直角坐标系对应的一组基．这自然为下一节内容“平面向量的正交分解及坐标表示”的教学埋下伏笔．由此可以给出“平面向量基本定理”的教学流程图，如图8．

图8 “平面向量基本定理”课时教学流程

第三步，复习课的教学设计．一个单元讲授完毕，复习课教学的作用不可小觑．教师在引导学生回顾具体知识时应特别强调相互间的联系和相应的数学思想方法，最终也形成一个与开篇课中相似的整体知识网络图．但此时的图不再是一个大致的、模糊不清的框架，而是具体的、部分间相互联系的、有血有肉的网络图．复习课中的拓展训练则是为了培养学生综合运用知识的能力和发散思维能力，同时也为学有余力的学生提供深入学习的方向，学会“数学地”思考．如若教师了解数学知识与其它学科、高等数学与初等数学及其单元知识之间的联系，自然能基于教材对问题进行恰当的变式引申，对综合题的编制与拿捏也成竹在胸、游刃有余．

4 整体把握数学单元知识结构的困难与对策

我国传统的中学数学课堂教学有许多亮点．比如，着重于对具体教学内容的剖析，关注课堂的教学模式及强调对课堂组织、提问、语言表达等的细致探察．但少有对数学教材内容作整体考量．这会导致学生获得的知识“碎片化”，造成“只见树木不见森林”的缺陷，以致缺乏综合运用知识处理问题的能力．教师的专业知识结构也会偏重于学科教学知识，而忽视学科内容知识的重要性．基于问题驱动的中学数学单元整体教学设计强调数学内部及学科间的相互联系，使数学知识形成紧密的整体结构，让学生能“既见树木又见森林”并运用知识解决实际问题．此外，问题驱动数学教学就是结合学生的实际对教学内容再创造，创设真实有效的问题情境驱动教学，注重数学的本质探求和知识的直观解释，有助于学生体验“做数学”和“发现数学”过程．

“单元教学的核心思想是系统思维”[25]，教师需对数学知识结构及其本质有深刻的认识，从整体视角剖析单元内容研究单元目标与任务，才能实现以问题驱动教学促成学生对数学的整体认知并实现学习的正迁移．但要基于数学单元整体设计并创设适当的“问题”驱动教学，对教师也提出了很高的要求，需从宏观到微观四个层次对单元知识结构进行解构．掌握内隐的知识结构能更好地揭示数学知识背后的问题起源及价值，以便更深入理解中学数学单元之间的联系、单元内部各个课时之间的联系这两个外显的知识结构．而要整体理解和把握数学学科内部之间及其与相邻学科的联系、高等数学与初等数学的联系这两个内隐的宏观知识结构，对中学数学教师来说有一定的困难和挑战．这需要教师具备较丰富的数学史知识，对数学学科的整体架构包括高等数学知识与学科分支有一定的了解．在把握数学单元知识结构的基础上，教师还应具有将数学史中知识的原始形态和数学教材中知识的学术形态转化为学生容易接受的教育形态的能力，才能创设适当的问题与情境驱动数学教学．为突破对中学数学单元知识结构四个层面的理解困难，更准确地整体把握数学单元内容及其教育形态进行有效的教学设计，教师可从以下四个方面加强思考．

第一，掌握一定程度的数学学科整体结构以及一定量的数学史知识和高等数学知识．教师所需的与学生所要掌握的整体知识结构不完全相同．正如F. Klein所言，教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬岩，渡过险滩．[18]数学教师既要掌握外显的知识结构，更要具备前两个宏观的内隐知识结构，才能从更高的视角直观理解教学内容和把握数学的思想方法．倘若教师也仅囿于对中学数学单元之间的联系与单元内部各个课时之间的联系这两个层次知识结构的思考，教学就很难揭示数学的本质．数学史知识和高等数学观念有助于教师了解数学的整体架构和揭示本质，深刻理解教学内容的地位、作用和价值．第二，整体把握中学数学教学内容与目标．教师要熟悉不同学段数学教科书的内容分布，从课程标准的总体目标确定具体课时目标．并要思考如何通过短期的课时目标实现长远的课程目标，以真正发展和养成学生的数学核心素养．第三，恰当把握学生的数学现实．新知在旧知的基础上生成，并将成为后面新知的铺垫．只有了解学生已有的生活经验与数学基础才能判断创设的问题与情境是否有效以及“数学化”的过程是否恰当，才能实现有效乃至高效教学．第四，恰当使用教材．教材的编写立足于中国全部地区全体学生的共同需要，考虑学生和教学环境的共性．而教师面对的是不同地区不同学生的情况，更要重视其特性．所以，对于教材的使用应坚持“‘用好教材’，而不是‘按教材去教’”[26]的原则，结合学生实际“再创造”教材，对教学内容问题化，以问题驱动教学．