促进核心素养发展的问题解决教学——以“向量的概念及表示”为例

胡云飞

(江苏省溧阳市教师发展中心 213300)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的重点是落实数学学科核心素养，高中数学课堂教学应以发展学生数学学科核心素养为导向，[1]创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.[2]事实上，教师讲学生听仍是当前课堂的常见样式，这一种教学方式因学生缺乏学习的主动性，既不利于学生对知识的掌握，也不利于学生素养的发展.课堂应该是师生问题解决的过程，学生在教师创设的情境中探究，通过“问题解决”来达成知识的掌握、素养的发展和能力的提升.

本文以“向量的概念及表示”的教学为例，就课堂教学中“问题解决教学”的实践与思考与同仁交流.

1 教学设计

1.1 内容分析

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用.[2]本节课是本章的开篇课，是全章学习的基础，决定着本章后续学习的状况.这种基础体现在两个方面，第一是知识基础，向量的概念是后续学习向量的运算和向量的应用等内容的基础；第二，是思想方法的基础，向量的概念是数与形的集中体现，数形结合思想从向量的概念开始，在全章一以贯之.因此，本课的教学目标包括“知识”与“素养”两个维度.知识目标：了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.素养目标：在概念生成的过程中发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养，为持续研究向量获得研究方法层面的感受与体会；在问题解决的过程中培养学生提出问题、发现问题的能力，分析问题、解决问题的能力.

1.2 问题设计

问题1-1：湖面上有三个景点O，A，B.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，景点O和景点A之间还有一个距离.位移和距离这两个量有什么不同？

问题1-2：你能分别举几个类似于位移和距离的量吗？

问题1-3：怎么来表示向量呢？

问题1-4：向量有两个要素：大小和方向，从向量的“大小”也就是向量的“长度”这个要素思考，你认为有哪些特殊的向量？

问题1-5：那么从“方向”这个要素思考，你认为有怎样的特殊关系的向量？

问题1-6：从“长度”和“方向”两个要素思考，有怎样的特殊关系的向量？

问题2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：

问题2图

问题3图

问题4：判断下列说法是否正确：

(1)若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；

(2)若a和b都是单位向量，则a=b；

(3)模相等的两个平行向量是相等向量；

(4)相等向量的模一定相等；

(5)相等向量一定是共线向量；

(6)平行于同一个向量的两个向量一定是共线向量；

问题5：你能否画一个结构图表示这节课所学的内容？

1.3 设计说明

本节课是概念课，子概念多，弄不好就会散乱，课堂就会成为“教师讲学生听”的流水账.确定课堂线索很重要，本节课的线索是按照向量的“大小”和“方向”两个属性展开，把概念组有机整合，让概念体系有逻辑地深入、生成.

本节课共分3个阶段：概念生成，概念理解，概念反思.

第一个阶段是概念生成.通过问题解决生成向量及相关概念.相关概念组成的概念组是有内在的逻辑关系的，是向量的“大小”与“方向”这两个属性的产物.这些概念的得来，通过“寻找特殊向量”的问题来生成，自然生长，自成体系.这一阶段通过问题1六个问题串进行.具体地说，通过问题1-1、1-2的解决得到向量的概念，通过问题1-3的解决得到向量的表示，通过问题1-4、1-5、1-6的解决得到零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.

第二个阶段是概念理解.这一阶段通过问题2、3、4进行，这是知识在具体题目中的应用和深化.选取了课本上的2个例题，又用了一个判断题来进行概念的辨析.问题的指向很明确，指向本课所学的知识，特别地，把零向量与任意向量共线的性质隐藏在问题4(6)中处理，通过问题的解决来辨析.

第三个阶段是概念反思.这其实就是课堂小结，这一阶段通过问题5进行.通过画知识结构图的方式，让学生进行回顾概括，自主建构，促进学生深度思维.教师在学生解答的基础上进行完善和升华.

整个课堂就是一个完整的问题组，问题与问题之间环环相扣层层递进，学生在问题解决的过程中思考，获得新知，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养，提高分析问题和解决问题的能力，促进探究思维习惯的养成.

2 指向核心素养的问题解决教学思考

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.[2]培养学生的数学核心素养至少应当遵循两个原则，一个原则是把握数学知识的本质，另一个原则是设计并且实施合理的教学活动.[3]核心素养的发展，需要学生有真实而深刻的自我学习过程，需要学生真实的“问题解决”过程.

2.1 问题解决教学的含义

数学教学实际上是一种特殊数学活动的教学，教师是数学活动教学过程的组织者和引导者，数学活动教学过程是围绕开放性“教学问题”而展开的，随着教学问题的逐步完成，向学生传授数学知识，教给学生经验材料的数学化思想方法，帮助其了解、掌握数学的实际应用的程式和思维方式方法.[4]

“问题解决教学”是以数学问题为对象，以问题的解决来组织学生学习的一种教学方式.在这个过程中，学生通过操作、体验和感悟去实现知识的再创造并提升学习能力.在这一过程中激发学习兴趣，培养探究能力，发展核心素养.

“问题解决”于教师而言是一种教学方式，于学生而言是一种学习形式，共同的特征就是以问题为载体进行的数学教与学的活动.

2.2 问题解决教学的实施要点

2.2.1 突出教学过程的探究性

学生是学习的主体，学习是学生的个体行为，重要的不是教师“教过了”，而是学生“学会了”.学生要学会不能仅靠老师反复讲，数学教学不是“告诉教学”，需要的是学生的亲自参与.[5]“问题解决教学”的科学之处在于教师通过设置问题致学生于“数学创造”的问题解决情境之中，引导学生通过“探究”，让学生发现问题解决问题，来实现数学原理的“创造”、数学素养的发展和数学能力的提升.因此，问题解决教学要突出学生的主体地位，要突出教学过程的探究性.比如本课中，在通过问题1-1和1-2的解决，得到了“向量”这一个新的概念后，提出了问题1-3：怎么来表示向量？学生自然会结合以往的学习经验提出个人的观点，通过尝试和比较，经历从无到有、从模糊到精准的过程，这一个过程，是学生探究的过程.统观整节课，从第一个问题到最后一个问题，也是一个整体探究的过程.苏州教科院祁平曾说过：“关注探究的数学教学是培养学生创新思维和创造能力最重要的方式，离开探究的数学教学，就没有思维的广阔空间，就没有鲜活的思维火花，就不可能有创造能力的培养和提升.[6]“向量的概念及表示”的教学设计通过问题来引起学生的认知冲突，激发学生的探究热情，这种基于探究的“问题解决”要比“讲述+训练”的教学方式科学得多，这样的教学过程能真正地落实核心素养.

2.2.2 注重问题设置的科学性

既然课堂教学是问题解决的过程，问题设置就成了课堂教学的重点，问题设置的科学性也就成为了“问题解决教学”的关键.要基于教学目标和学生的认知规律来设计问题，要突出整体性原则、层次性原则、指向性原则和生长性原则.

(1)整体性原则.

问题设置形成一个整体的问题链，组成一个整体的问题解决单位，是问题解决教学的重要原则.在问题设置的时候，要基于教学目标和教学内容从整体出发设置问题.在明确教学主题的情况下，围绕主题设置不同的问题，这些问题形成一个整体的问题组.问题组之间的各个问题又是有逻辑关系的，要有一条线索，把问题组形成一个“问题链”.比如，本节课的教学线索是向量的“大小”和“方向”两个属性，在问题的设置中，把单位向量、零向量、共线向量、相等向量等众多概念“一线串起”.整个课堂的问题解决始终围绕这条主线进行，所有的问题形成有机的整体，有利于学生思维的开展和深入，有利于能力的提升和素养的发展.

(2)层次性原则.

学生的认知是有规律的，从容易到困难，从已知到未知，教学设计要遵循学生的认知规律.问题设置要注意问题之间的层次性.

第一，问题链中各个问题之间的层次性.由浅入深，循序渐进，层层递进，各个问题之间环环相扣.比如本节课中，后问题常常是在前问题的基础上跟进的，前问题是后问题的基础，后问题是前问题的提升.

第二，各个问题本身的层次性.问题的难度要恰到好处，要贴近学生的“发展区”，既不能太容易，滞后于学生的认知水平，又不能太难，脱离学生的认知范围.当出现困难的时候要善于“搭梯子”，通过“追问”的小问题来分解问题.

(3)指向性原则.

问题设置要围绕目标，抓住本质，指向明确.问题的题意要清晰，针对性强,要有利于学生构建知识，有利于教学目标的达成.要围绕课堂主题来选取问题，围绕教学过程中的教学功能来设置问题.不能是题意不清，让学生不知所向的问题.比如，本节课的问题1-1，是为了引出话题，功能是引导学生“发现问题”，突出“向量”的本质特征，同时在旧知之上探究新知，构建知识体系.

(4)生长性原则.

问题解决是学习形式，探究是学习方式，问题设置要有利于学生主动探究.学生按照问题行走，在解决问题的过程中能达成知识的创造，能力的提升，素养的发展.这是一种生长性，数学知识和学生素养的自然生长.开放性是重要的生长性，比如，问题1-2：你能分别举几个类似于位移和距离的量吗？这是一个开放的问题，只有学生把握住位移与距离的本质特征，才能完成这个问题，在这个基础上抽象出“向量”的概念就水到渠成了.再比如，问题5：你能否画出一个结构图表示这节课所学的内容？这个问题达到了整个课堂的高潮，学生在完成这个问题的过程中，自然概括了本节课的知识要点，并且厘清了各个概念之间的逻辑关系，知识和能力自然生长.

3 结束语

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，[2]课堂教学的目标应指向数学学科核心素养的达成.课堂教学不能是“教师讲学生听”的方式，在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题，在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，[2]这是“问题解决教学”在新时代课程改革中的意义所在.