利用数学软件Mathematica分析NaHCO3溶液中的粒子浓度

费德军

摘要：利用数学软件 Mathematica 的解方程组函数NSolve和绘图函数ParametricPlot分析NaHCO3溶液中粒子浓度，并通过自动生成的图形对粒子浓度变化趋势进行深入分析。

关键词：数学软件;粒子浓度;NaHCO3溶液

文章编号：1008-0546（2022）07-0017-04中图分类号：G632.41文献标识码：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2022.07.004

Mathematica 是美国 Wolfram 研究公司生产的一种数学分析型软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。水溶液中的离子平衡部分内容是高中化学的重点和难点。而粒子浓度大小比较中，弱酸酸式盐的粒子浓度分析更是难点，一些教师得出的结论是片面的甚至是错误的。因此，笔者利用Mathematica对NaHCO3溶液中各种粒子的浓度进行全面深入的分析，假设溶液都处于室温。

一、利用解方程组函数NSolve求算0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中的各粒子浓度

NaHCO3在水溶液中会完全电离成 Na+和 HCO 3（-）， HCO 3（-）既能发生电离又能发生水解，即存在下列两个平衡：

电离平衡： H++CO3（2）-

Ka2=[H+][CO3（2）-]/[HCO3（-）]= 4.84×10-11

水解平衡：HCO3（-）+H2OH2CO3+OH-

Kh2=[OH-][H2CO3]/[HCO3（-）]

水解平衡实际上是由水的电离平衡和H2CO3的电离平衡耦合而得。

水的电离平衡：H2OH++OH-

Kw=[H+][OH-]=10-14

H2CO3的电离平衡：H2CO3 H++HCO3（-）

Ka1=[H+][ HCO3（-）]/[H2CO3]=4.45×10-7

结合上述平衡，可以得出下列三个守恒式[1]：

电荷守恒（CBE）：[Na+]+[H+]=[HCO3（-）]+2[CO3（2）-] +[OH-]（4）

物料守恒（MBE）：[Na+]=[H2CO3]+[HCO3（-）]+[CO3（2）-] （5）

质子条件（PBE）：[H2CO3]+[H+]=[CO3（2）-]+[OH-]

由于质子条件式可以通过（4）式和（5）式推导而得，所以不算独立的方程式。又[Na+]=0.1000 mol·L-1，因此可以利用（1）～（5）联立解出[H+]、[H2CO3]、[HCO 3（-）]、[ CO 3（2）-]、[OH-]。但由于求解过程中会出现高次方程，所以很多文章里都提到了近似求解的方法，笔者在这里采取的是精确求解。为了方便起见，分别用x，y，z， m，n 代表上述浓度，则将方程简化为：

=4.84× 10-11;xn =10-14; =4.45× 10-7;

0.1+ x = z +2m + n;0.1= y + z + m

启动Mathematica，界面如图1所示，然后输入图2所示的代码并按Shift+Enter运行，可得出结果，由于NSolve函数给出的是所有可能的实数解，所以有三组解，但只有全为正数的一组解符合题意。因此可以得出：

[H+] =4.646× 10-9 mol · L-1;[H2CO3] =1.023× 10-3 mol·L-1;[HCO3（-）]= 9.796× 10-2 mol·L-1

[CO 3（2）-] =1.021× 10-3 mol · L-1;[OH-] =2.153× 10-6 mol·L-1

由此可知，0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中各粒子的浓度大小顺序为：[Na+]>[HCO3（-）]> [H2CO3]> [CO3（2）-] >       [OH-] >[H+]。由上述顺序中可以得到结论：由于 HCO 3（-）的水解能力大于电离能力，所以溶液显碱性（pH =8.33）且[H2CO3]大于[CO3（2）-]。

二、利用绘图函数ParametricPlot描述 NaHCO3溶液中各粒子浓度与起始浓度的关系

讨论完0.1000 mol·L-1 NaHCO3溶液中的各粒子浓度后，笔者准备探究溶液中各粒子浓度随 NaHCO3起始浓度 c 的变化关系。这里主要讨论稀溶液，即 c≤0.1000 mol·L-1，因为稀溶液更接近理想溶液[2]，实验值与理论值吻合度较高。根据H2CO3的分布系数可以得到NaHCO3溶液中[H2CO3]、[HCO3（2）-]、[CO3（2）-]的浓度：

又将（1）～（3）代入NaHCO3溶液的质子条件中，并结合（6）～（8），整理得出下列四个表达式：

为了方便起见，分别用 x，y，z，m，n 代表[H+]、[H2CO3]、[HCO3（-）]、[CO3（2）-]、[OH-]，则将方程（2）及（9）～（ 12）简化为：

利用上述方程，再结合 Mathematica 中的参数方程绘图函数ParametricPlot可得出NaHCO3溶液中的各粒子浓度与NaHCO3起始浓度c的关系。繪图之前，先利用上述方程组合成下列参数方程：

由于各粒子的浓度必须为正值，所以10-7 mol·L-1> [ H+] >4.64× 10-9 mol·L-1，即10-7 mol·L-1> x >4.64× 10-9 mol·L-1，绘图时，将x限定在10-10～10-6之间。由于 x，y，z，m，n，c数值较小，所以在绘图时，采取了负对数坐标，代码如图3所示。

ParametricPlot函数运行结果如图4所示，并在Mi⁃ crosoft Office Word 中对曲线进行了标注。从图4中可以得到以下结论：

①当 c 在一定范围内（大致为10-1 mol·L-1～10-3 mol·L-1），溶液pH基本保持不变，约为8.33。

②随着c减小，除[H+]增大之外，其余粒子浓度均减小，其中[HCO3（-）]变化可以近似地看成线性的。

③对于[H2CO3]和[CO 3（2）-]，在稀溶液中，相差不大;在极稀溶液中，相差1～2个数量级。对于[H+]和[OH-]，在稀溶液中，相差较大;在极稀溶液中，几乎相等，接近10-7 mol·L-1。

④随着c减小，始终有：[HCO3（-）]> [H2CO3]> [CO3（2）-] 和[OH-] >[H+]，但完整的顺序可能有：

从上述离子浓度大小变化关系可以看出，当 NaHCO3溶液浓度越来越小时，水的电离的影响将越来越显著，所以在分析各离子的浓度时，一定要全面地分析。

综上所述，高中化学教师在教学中对于一些司空见惯的知识要敢于质疑，敢于提出自己的想法，并利用自身的专业知识进行论证，只有通过这种途径才能进一步提高自身的专业技能。

参考文献

[1] 武汉大学.分析化学（第5 版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：114-116.

[2] 韩德刚，高执棣，高盘良.物理化学（第2版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009：92-93.