例谈平面向量问题解题思维的拓展

◎刘校星(东吴外师附属越溪实验中学,江苏 苏州 215000)

向量是中学数学的重要内容，在数学和物理学中同样被应用广泛.物理学中将向量称为矢量，力、速度、加速度、位移等均是矢量；在数学中，向量是联系代数和几何的枢纽，是不同数学内容的媒介，所以中学平面向量问题解答时往往一题多法，常用的有向量法、坐标法和几何法.

向量法实则依据平面向量基本定理，与物理学中“力的分解”理论一致.在数学解题中一般以平面向量正交分解为理论依据，先选择一组基底，再运用平面向量基本定理将已知向量和结论向量表示为基底的线性组合，最后通过向量运算法则解决问题.

坐标法将向量代数化，是中学阶段渗透数形结合思想的关键，也是几何和代数的重要链接.解题时，主要结合平面直角坐标系和平面向量正交分解理论，通过表示有向线段两端点的坐标，求出向量的坐标，将向量之间的代数关系转化为坐标之间的代数关系，最后运用坐标运算法则进行计算.由于互相垂直的两个向量坐标关系的特殊性，解题时也会以坐标轴上的向量作为基底来表示已知向量和未知向量，以达到简便运算的效果.

几何法结合法向量、数量积、向量与向量投影等知识，以及已知向量之间的数量关系，找寻结论向量的几何意义，所以几何法要求学生具备更完备的数学知识和敏捷的数学思维，对学生的数学素养提出了更高的要求.

以下通过例题展示三种方法的特点.

图1

【方法一：向量法】

图2

【方法二：坐标法】

解：如图3所示，建立平面直角坐标系，

图3

设C(0,t)，P(0，y)，

【方法三：几何法】

解：如图4所示，

图4

陈小华：基本上这个行业里大部分创业者都认识，往往他们做不下去的都会来找我们沟通，姚劲波（58集团CEO）还经常感叹悲剧一再重演。很多创业者会和我们说，你再给我一个亿我就能干到一百亿，因为我这个模式实在太好了。但我们在这个时候往往有一种无力感，这个教训只有自己走过才能算教训，别人提醒，你还会觉得是不是别人看我收入这么多眼红？这种案例很多，我们会建议一些公司在现金为零的时候停止，出售企业或者放缓节奏，活下来就好。但是这些企业往往会进行最后一搏，就是去让用户充值，等到了不得不去找投资人救市的时候，这些公司就不仅是一个价值为零的公司，而是一个负数，一个非常大的坑，没有投资人会愿意进来。

例2已知向量a，b，|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-c)=0，则|2b-c|的最大值是________.

【方法一：向量法】

分析：不同于例1中的基底转换，本题直接将目标向量2b-c整体代换到已知等式中，经过化简，将向量模的最值问题最终转化为函数在定义域内的最值问题.

解：(a-c)(b-c)=(a-2b+2b-c)(2b-c-b)

=(2b-c)2-(a-3b)(2b-c)-b(a-2b)，

令t=|2b-c|，α是2b-c与a-3b的夹角，

【方法二：坐标法】

分析：本题不同于例1有很明显的建系基础，a，b两者之间的位置关系和大小关系是确定的，所以将其平移到同起点，建系通过坐标法求解，就可将几何问题转化为函数最值问题.

解：a·b=|a||b|cos 〈a,b〉=4cos 〈a,b〉=2，

所以〈a,b〉=60°，

图5

【方法三：几何法】

分析：找寻几何意义，根据已知条件，找到动点的轨迹，于是此题转换为求定点和动点之间距离的最值问题.

解：由方法二得〈a,b〉=60°，如图6所示，

图6

C点在以A，B中点O为圆心的圆上，当直线CD经过圆心O时，|2b-c|存在最大值.

在平时练习中，学生对平面向量问题难以找到突破口，其原因可以归结为对平面向量、向量的模、共线定理区分不清，对向量运算、向量模、向量数量积的几何意义理解不透等.平面向量是代数和几何的交汇点，从以上例题也可以看出，向量法、坐标法、几何法，三种方法各自持有自己的主旋律，但又密不可分，相辅相成.向量法是基于对向量本质的理解，运用向量运算逐渐指向目标向量；坐标法则是建立平面直角坐标系，将几何问题代数化加以解决；几何法是利用数形结合找寻几何意义，寻求直观上的解释.所以只要理解相关概念和几何意义，解决问题就殊途同归了.

从概念的角度来讲，学生必须理解平面向量及其几何意义、平面向量数量积的概念及其几何意义，理解零向量、向量的模、共线向量、单位向量、平行向量、向量相等、向量夹角等概念；从运算的角度来讲，学生要掌握平面向量加法、减法、数乘的法则，并理解其几何意义，理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决问题，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，平面向量数量积的坐标运算，数量积与两个向量夹角之间的关系，平面向量加法、减法与数乘的坐标运算，会用坐标表示平面向量的平行和垂直等.

向量联系着代数和几何，解题时我们可以利用基底，运用基底的基本性质进行运算推导，也可以建立坐标系，用纯代数法解题，还可以运用几何意义，并且几何意义更加直观明了，但是几何意义的寻找需要知识的积淀，对学生要求更高.一般情况下，学生更常用代数法，尤其是坐标法.每一种方法各有利弊，没有绝对的好方法，适合学生的才是最好的.一线教师在平时教学中要坚持渗透思想方法.数学思想方法是处理数学问题的推导思想和基本策略，源于数学活动，也在数学活动中愈加成熟，是数学的灵魂.向量作为沟通数与形的桥梁，在数学学习中举足轻重.在实际教学时，教师除了要帮助学生建构平面向量基本知识体系、形成坐标运算框架、展示向量的实际应用外，还要尽可能地通过一题多法教学，建立不同方法之间的联系，揭示其本质，帮助学生拓宽解题思路，提升学生的数学素养.