二项式定理题型剖析

摘要：二项式定理是高中数学的一个重要内容， 是培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力的知识载体，题型多为选择题、填空题，二项式定理常见题型是求展开式的某项或某项的系数、二项式系数或二项式系数和，解决整除与余数及不等式证明.本文将二项式定理题型进行剖析.

关键词：二项式;求系数;求项;利用展开式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0062-03

收稿日期：2022-03-05

作者简介：胡贵平（1978-），男，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

二项式定理是高考高频考点，题型多为选择题、填空题，着重考查二项式定理的性质， 主要包括求某项的系数、系数的和差及最值;求某些项、中间项及有理项;利用二项展开式求近似值、求有关整除余数问题及不等式证明;解决与其它数学知识的综合应用.熟悉二项式定理题型就显得非常重要了.

1 求系数

1.1 求某项的系数通项分析法

求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r. 通项公式Tr+1=Crnan-rbr （n∈N+，r=0，1，2，3，…，n）中含有a，b，n，r， Tr+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.求多项展开式的系数通过配方、因式分解等方式转化为求二项展开式的系数.

例1在 （x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）.

A.160B.240C.360D.800

解析由（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5 ，（x+1）5（x+2）5展开式中x的系数为两个因式相乘而得到，

即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为

C55x0·15·C45x·24+C45x·14·C55x0·25，

其x的系数为

C45·24+C45·25=240.

1.2 求某项的系数的和差赋值法

在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-1.

例2若（2x+3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为（）.

A.1B.-1C.0D.2

解析（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4） .

实际上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分别为已知式在x=1，x=-1的值.

令x=1，得

（2+3）4=a0+a1+a2+a3+a4，

令x=-1，得

（2-3）4=a0-a1+a2-a3+a4.

所以（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（2+3）4·（2-3）4

=[（2+3）（2-3）]4

=4-34

=1.

1.3 特殊系数最值对称法

求二项式系数最小的项，需根据各项系数的正、负变化情况，结合二项式系数性质的对称性，与首末两端等距的两项，二项式系数相同求解.

例3在二项式（x-1）11的展开式中，系数最小的项的系数是.

解析因为Tr+1=Cr11x11-r（-1）r，

所以要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得r=5.

从而可知最小项的系数为

C511（-1）5=-462.

1.4 一般系数最值不等式法

求（a+b）n的展开式中系数最大项，一般采用列不等式，设展开式各项系数分别为T1， T2，…，Tn+1，应用解不等式Tr≥Tr-1，Tr≥Tr+1的方法求得r.

例4（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

解析T6=C5n（2x）5，T7=C6n（2x）6，

依题意有C5n25=C6n26，

解得n=8.

所以（1+2x）8的展開式中，二项式系数最大的项为

T5=C48（2x）4=1120x4.

设第r+1项系数最大，则有

Cr8·2r≥Cr-18·2r-1，Cr8·2r≥Cr+18·2r+1，

解得5≤r≤6.

所以r=5或r=6（r∈0，1，2，…，8）.

所以系数最大的项为

T6=1792x5，

T7=1792x6.

2 求项

2.1 求中间项

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.

例5求（x-13x）10的展开式的中间项.

解析因为Tr+1=Cr10（x）10-r（-13x）r，

（x-13x）10的展开式中共有11项，第6项为中间项，

所以展开式的中间项为

C510（x）5（-13x）5.

即-252x56.

2.2 求有理项

当一个代数式各个字母的指数都是整数时，就是有理项.求二项展开式中的有理项，必须合并通项公式中同一字母的指数，令其属于整数，再根据数的整除性求解.

例6求（x-13x）10的展开式中有理项共有项.

解析因为

Tr+1=Cr10（r）10-r（-13x）r

=Cr10（-1）rx10-4r3.

所以当r=0，3，6，9时，所对应的项是有理项.

故展开式中有理项有4项.

3 利用展开式

3.1 近似问题截项法

用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项.

例7求2.99910的近似值（精确到0.001）.

解析2.99910=（3-0.001）10

=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…

=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…

≈58852.465.

所以（2.999）10的近似值为58852.465.

3.2 整除（或余数）问题展开法

用二项式定理解决整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，经常采用“配凑法”“消去法”结合整除的性质.

例8109192除以100的余数是.

解析9192=（90+1）92

=C0929092+C1929091+…+C919290+C9292.

由此可见，除后两项外均能被100整除.

而C9192·90+C9292=8281=82×100+81.

所以109192除以100的余数是81.

3.3 不等式证明二项法

在有二项式的幂不等式中，要善于把其中某个数式变形、分解、引进参数等来构造新二项式而使得不等式两边在二项式展开后有紧密的联系.

例9求证： 3n>2n-1·（n+2）（n∈N，且n≥2）.

证明左式=（2+1）n

=2n+C1n·2n-1+C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn

=2n+n·2n-1+（C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn）

注意到：

①2n+n·2n-1=2n-1（2+n）

=2n-1（n+2）;

②n≥2，右式至少三項;

③C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn>0，

故可以得到3n>2n-1·（n+2）（n∈N，且n≥2）.

参考文献：

[1] 邓高宣.分类解析二项式定理常考题型[J].高中数理化，2021（01）：20-23.

[2] 刘长柏.探究二项式定理创新题型[J].中学生数理化，2021（05）：31-33.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4] 周艳蛟，陈国华.浅谈二项式定理的运用[J].数理化解题研究，2021（28）：57-58.

[5] 邓思远.浅析二项式定理的常见题型及解法[J].理科考试研究，2018，25（15）：33-34.

[责任编辑：李璟]