“问题串”在高等数学定理教学中的应用

许素贞

[摘要]高等数学中的定理具有高度的抽象性和严密的逻辑性，学生不易理解.以“反函数的求导法则”为例，将“问题串”融入高等数学定理教学中，可以引发学生自主思考，激发学生内在潜力，培养学生逻辑思维，锻炼学生分析、解决问题的能力.“问题串”的设置应具有启发性、连贯性、指向性.

[关键词]“问题串”;数学定理;“反函数求导法则”;逻辑思维

[中图分类号]G712[文献标志码]A    [文章编号]2096-0603（2022）27-0150-03

高等数学中的知识点可划分为概念、定理、计算和应用四大类型，定理是其中占比较大且十分重要的内容.高等数学中的数学定理具有高度的抽象性和严密的逻辑性，学生不易理解定理的含义，更难深度掌握定理中的内在联系.在实际教学中，一些教师采用教师讲、学生听的模式来讲解定理，学生被动接受，学习效果不佳.一些教师通过弱化定理的探索、推导和证明过程，突出解题计算来展开教学[1]，学生不明原理，依靠记忆机械化的学习，久而久之，思维更加混乱.所以，在高等数学教学过程中，重视定理本身，重视定理的探究，重视定理的教授方法是尤为重要的.

一、“问题串”的内涵

“问题串”是指基于学生知识基础，结合学生思维发展，围绕课程教学目标，设计提出的一系列具有内在联系的有效问题[2].“问题串”是教师课堂教学的有利工具，也是学生获取知识的重要载体。将“问题串”融入课堂教学中，将具体的教学内容落到每一个问题中，学生在解决问题的过程中可以获取新知，可以发散思维，可以提高能力.

二、高等数学中定理学习的作用

学习高等数学除了使学生掌握必要的数学知识以外，更重要的是培养学生的数学意识，锻炼学生的逻辑思维能力，提升学生解决问题的能力.高等数学中的定理知识虽然较难理解，但它对学生数学意识的形成和思维能力的培养起着举足轻重的作用.定理的探索和证明需要的是严密的推理，对这些推理过程的理解，可以使学生体会数学的严谨性、逻辑性，从而形成思考问题、分析问题时思维的缜密性和逻辑性.

三、“问题串”在高等数学定理教学中的应用

以“反函数的求导法则”为例.

（一）复习导入

教师设计复习“问题串”，引导学生复习导数和反函数的相关内容，为新课的学习做好铺垫.

1.对导数内容的复习

问题1：函数f（x）可导是什么含义？

问题2：函数f（x）连续是什么含义？

问题3：函数f（x）可导与连续有什么关系？

2.对反函数内容的复习

问题4：函数x=2y的反函数是什么？

问题5：函数y=arcsinx是哪个函数的反函数？（x=siny）

问题6：所有的函数都有反函数吗？什么样的函数才有反函数？

问题7：单调的函数是否有反函数？

问题8：如何求解反函数的导数呢？

（二）定理探究

1.大胆猜想

小组合作将探索图（图1）中的内容填写完整，大胆猜想反函数求导法则.

2.小心求证

（1）定理分析

设计如下分析“问题串”，引导学生分析定理条件和结论的内在联系.

问题1：定理中有几个条件、几个结论？分别列出条件和结论.

问题2：x=φ（y）在区间Iy内单调对结论起到什么

作用？

由复习中的引导可知，x=φ（y）在区间Iy内单调，则x=φ（y）有反函数.

问题3：x=φ（y）在区间Iy内可导且φ′（y）≠0，起到什么作用？

直观分析定理，猜测x=φ（y）在区间Iy内可导，可帮助得到反函数y=φ-1（x）可导及反函数的导数为直接函数导数的倒数，φ′（y）≠0可以保证倒数中的分母不

为零.

问题3（1）：x=φ（y）在区间Iy内可导，由可导的定义，可以进一步获得什么结论？

问题3（2）：要说明反函数y=φ-1（x）在区间Ix=φ（Iy）内也可导，由可导的定义，需要得到什么结果？

问题3（5）：Δx→0时，Δy→0吗？

根据复习导入中连续的定义可知，若函数y=φ-1（x）连续，即可说明Δx→0时，Δy→0.由于x=φ（y）连续（可导一定连续），所以作为x=φ（y）的反函数y=φ-1（x）也是连续的.

（2）定理证明

由于函数x=φ（y）在区间Iy内单调，可导（从而连续），因此有x=φ（y）的反函数y=φ-1（x）存在，且y=φ-1（x）在区间Ix内也单调，连续.

（三）定理应用

1.例题精炼

例：求反正弦函数y=arcsinx的导数.

2.步骤梳理

在求解反函数的导数时，首先要找出直接函数，并确定好定义区间;然后验证直接函数是否单调、可导，并且导数不为零;最后利用反函数的导数是直接函数导数的倒数来求出反函数的导数.

在“反函数的求导法则”教学过程中，教师基于学生知识基础，关注学生思维发展，指向课程教学目标，设计提出有效的问题，串联知识点，引发学生的深入思考.在问题串的帮助下，学生能够深入挖掘定理中的内在关联，真正理解定理的含义.

四、应用于高等数学定理教学的“问题串”设计的基本原则

为提高“问题串”应用于高等数学定理教学的有效性，在设计“问题串”时，应遵循以下几个基本原则：

（一）基于学生基础，具有启发性[3]

在高等数学定理教学中应用“问题串”，目的是区别于传统教学方式，借助问题来引导学生对定理进行深入探究，因此，“问题串”的设计应该具有启发性.要设计出真正能起到启发作用的“问题串”，问题的创设很重要.创设问题时，要充分了解学生的学习基础，关注学生的思维发展，创设出的问题既要值得學生探索，又要让学生能够探索，既要符合学生认知规律，又要直击学生思维障碍之处.例如，在“反函数的求导法则”中，已知直接函数的导数存在，为了帮助学生探索反函数的导数，设计了问题3（1）、3（2）.这两个问题的设计既建立在学生的知识基础上，又符合学生的思维发展规律，可以直击定理条件与结论之间的内在联系，突破思维困境.

基于学生基础，创设出具有启发性的问题，可以帮助学生降低学习难度，增强学习积极性，提高解决问题的能力.

（二）基于问题本身，具有连贯性

在数学课堂上，用“提问”的方式展开教学已经是一种常态了，但一些问题的提出都太过随意.“问题串”并不只是摆在一起随意提出的多个问题，它应该具有连贯性.在设置“问题串”中的每一个问题时，应仔细斟酌，考虑问题本身是否具有内在联系，是否逻辑连贯，是否层次递进.

在设计“问题串”时，可能只设计一串主干“问题串”，也可能在主干“问题串”的下面设计了分支“问题串”（就像问题3下面还设置了分支“问题串”）.主干“问题串”要具有连贯性，分支“问题串”也要具有连贯性.只有这样，才能使整个教学过程自然流畅，才能使学生的逻辑思维不被分散，才能发挥出“问题串”的最好效果.

（三）基于教学目标，具有指向性

教学目标是教学设计和实施的依据，“问题串”是根据某个教学目标设置的一串有效问题，所以“问题串”应具有明确的指向性.设计“问题串”时，要把握“问题串”的最终指向目标是什么，也要明确“问题串”中每个问题的设计目的是什么，是为了考查学生对定理的理解程度，还是为了激发学生对下一个问题的探索热情？或是为了启发学生更深入地思考？每个问题的设置都应有其值得被设置的理由.

在高等数学定理教学中，确定好“问题串”要指向的目标，再设置连贯性、逻辑性强的问题引导课堂教学，不仅能促进学生对定理的深度理解，更能促进思维的深度开发[4]，最终达到事半功倍的教学效果.

五、结语

数学是思维的“体操”，思维是数学的“灵魂”[5].学习高等数学课程，不仅要掌握知识，更要掌握思维方式.教师基于学生基础、问题本身、教学目标设置具有启发性、连贯性、指向性的“问题串”，学生通过自主思考来解决“问题串”中的一个个问题，这种教学模式既可以帮助学生深刻理解高等数学中的定理，又可以深入激发学生思考的内在潜力，对培养学生逻辑思维，锻炼学生分析、解决问题的能力都具有非常明显的作用.

参考文献：

[1]杨茸.走出“计算”误区，体会真正的数学：关于高等数学教学中抽象定义定理处理方法的研究[J].职业，2015（9）：132-133.

[2]程丽华.问题链教学法在高中思想政治课中的应用研究[D].成都：四川师范大学，2020.

[3]何义婷.“问题串”在初中数学概念教学设计中的应用研究[D].重庆：重庆师范大学，2017.

[4]肖雪娟.论问题导学法在初中数学教学中的应用策略[J].数学学习与研究，2018（20）：42.

[5]余海蓉.小學数学问题链构建的策略探究：以人教版小学数学“两位数乘两位数”为例[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2021（5）：98-100.