麻疹疫苗接种博弈的动力学模型及分析①

葛静文， 王稳地

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

麻疹是一种传染性极强的呼吸道疾病， 多发生在儿童阶段． 疫苗是预防疾病最有效的措施， 可以有效降低易感个体感染的可能性以及死亡的可能性[1]． 此外， 为消除麻疹， 各地区麻疹疫苗接种率需不低于95%， 但我国仍未实现消除麻疹的目标[2-4]． 分析原因可能是： 在实施强制接种疫苗的政策下， 部分地区因经济发展落后或常规免疫服务薄弱而导致疫苗覆盖率不足． 这表明， 部分个体可自愿选择是否接种， 而其接种行为影响着疾病的传播和控制．

文献[5]利用博弈理论， 将模仿动力学与麻疹传播动态结合建立疫苗博弈动态模型， 其中， 通过划分年龄组来研究个体接种的延迟策略． 就麻疹而言， 发病率变化和疫苗覆盖率变化之间出现延迟反映的就是延迟接种现象． 文献[6]在博弈动态模型中引入离散时滞来反映这一现象， 但作者建立的模型表明个体接种变化仅与过去某个时刻的疾病状态相关， 具有局限性． 实际上， 个体决策不仅与当前的疫苗风险和疾病状态有关， 还与过去一段时间内的疫苗风险和疾病信息相关， 具有信息依赖性． 另外， 这些文章中假设整个种群中的个体都可进行自愿接种， 与实际的麻疹疫苗接种政策不符．

本文假设个体采纳近期一段时间内的疫苗信息和疾病状态来进行决策， 将信息依赖性应用到疫苗决策过程中， 引入分布时滞， 结合麻疹传播动态， 在传染病模型中考虑强制接种和自愿接种， 基于博弈论去分析个体接种行为变化， 分析影响自愿接种个体行为的因素， 为控制麻疹传播提出更好的建议．

1 模型的建立

首先分析麻疹传播动态． 用S，I，R，V分别表示易感者、 感染者、 恢复者、 有效接种者所占的比例． 考虑强制接种和自愿接种相结合． 种群中强制接种麻疹疫苗的个体比例为ρ， 其余的个体可自愿接种， 其接种比例为x．σ和φ分别表示疫苗效力和疫苗失效率，β为疾病传播速率，γ为恢复速率，μ为出生率和死亡率． 然后根据博弈理论分析个体的疫苗决策行为． 这里假设个体根据过去一段时间内的策略收益差来进行决策． 设接种疫苗所需的成本为cv(包括疫苗费用、 路费等)， 未接种个体被感染后所需的成本为ci(包括治疗的费用、 造成的损失等)． 另外， 种群中的疾病发生率为βI． 由此， 接种策略和不接种策略的期望收益可以分别表示为：

fv=-cv-(1-σ)βI·ci-σφβI·ci，fn=-βI·ci

(1)

函数g(t)=fv-fn是决策个体在当前状态下所获得的信息． 另外， 结合具有伽玛分布的指数记忆衰退函数Γ(t|1，α)=αe-αt， 建立我们的信息函数：

设υ是个体模仿别人策略的速率， 根据文献[7-8]中分析疫苗接种行为变化的过程来建立博弈动态模型． 另外， 考虑麻疹传播过程， 变量R不影响其他变量的变化， 所以接下来不再分析恢复者比例变化情况． 那么， 可以得到以下模型：

(2)

2 平衡点的存在性及稳定性态

(3)

因为时滞不影响平衡点的存在性， 所以， 令方程组中各个方程右端为0， 发现有5种可能情况． 另外， 由S+I+V+R=1及x的生物意义， 需满足0≤S，I，V，x≤1． 容易发现系统(2)一直存在两个无病平衡点：

接着， 记无病状态下种群中的易感者比例为SDEF， 一个感染者进入这个种群后， 在其平均感染周期内可感染的易感者的数量为有效再生数． 根据(3)式的生物意义得到有效再生数的表达式：

(4)

根据表达式(4)， 可以写出无病平衡点E1，E2状态下的有效再生数， 分别记为：

(5)

下面考虑其余3种情形并利用(5)式来分析平衡点的存在条件． 首先考虑x=0，I≠0的情形， 计算得到

显然，

如果S3>1或V3>1， 那么，I3<0． 因此，I3>0， 就有

S3<1，V3<1

最后， 用同样的方法分析x≠0，I≠0的情况， 记

接下来分析系统(2)各平衡点的稳定性． 记系统(2)的平衡点为En=(Sn，In，Vn，xn)． 在平衡点附近作线性化变换， 分析得到其特征方程为：

(6)

其中：

经分析， 有以下定理成立：

定理1系统(2)的边界平衡点的稳定性如下：

(ii) 无病平衡点E2一直不稳定．

(iii) 边界平衡点E3局部渐近稳定的条件是：

(7)

证以平衡点E3为例， 分析边界平衡点的稳定性． 这里不再分析平衡点E1，E2，E4的局部稳定性．

将平衡点E3的值代入特征方程(6)， 可以得到特征根有如下关系：

可以知道，λ3<0，λ4<0． 若λ1<0， 即

下面分析时滞τ对内部平衡点E5稳定性的影响并证明Hopf分支的存在． 当τ>0时， 将其代入方程(6)， 可整理为

λ5+f1λ4+f2λ3+f3λ2+f4λ+f5+(f6λ+f7)e-λτ=0

(8)

其中：

在方程(8)中令λ=iω， 并分离实部和虚部， 得到下面两个超越方程：

(9)

将超越方程两边分别平方， 并将两个超越方程相加， 令z=ω2， 可以得到：

h(z)=z5+g1z4+g2z3+g3z2+g4z+g5=0

(10)

其中：

如果方程(10)满足Routh-Hurwitz判据[9]， 即

(11)

则方程(10)不存在正实根， 即不存在满足超越方程(9)的正ω． 总结以上过程， 可以得到以下定理：

定理2当τ>0时， 如果(11)式成立， 那么系统(2)的内部平衡点E5是局部渐近稳定的．

那么， 当τ=τ(j)时， ±iω是特征方程(8)的一对纯虚根．

设

由Butler引理[11]可知， 当τ<τ0时， 特征方程(8)的所有根都有负实部， 平衡点E5局部渐近稳定．

其中：

那么， 若h′(z*)≠0， 则横截条件成立， 系统(2)在τ=τ0处发生Hopf分支． 总结以上过程， 有以下定理成立：

定理3如果方程(10)有正根且h′(z*)≠0， 那么在τ=τ0处系统(2)发生Hopf分支． 当τ∈[0，τ0)时， 平衡点E5局部渐近稳定； 当τ>τ0且在τ0附近时， 系统(2)不稳定， 存在从平衡点E5分支出来的周期解．

取参数σ=0.8，μ=0.1，β=0.5，γ=0.1，ρ=0.6，φ=0.01，cv=10，ci=2 000，υ=0.01，α=0.4， 这时， 存在内部平衡点E5=(0.4， 0.012 6， 0.574 7， 0.475 7)． 另外可以得到τ=1.18时， 方程(10)有正根， 即特征方程(8)有纯虚根且有z*=0.024 5，h′(z*)=1.43×10-5≠0， 由定理3可知， 系统在τ=τ0=1.18 处发生Hopf分支．

3 总结

本文建立麻疹疫苗接种博弈的动力学模型来分析个体的疫苗接种行为． 其中， 我们考虑影响个体决策的是过去一段时间内的疾病信息和疫苗信息． 分析得到了有效再生数Rv的表达式， 分析了系统的平衡点并证明了其局部稳定性， 还得到了Hopf分支的存在性． 观察模型(2)和策略收益的表达式(1)， 基于博弈论分析自愿接种比例x随信息参数和时间的变化时， 疫苗效力σ的增大、 疫苗失效率φ的减小和疫苗接种风险成本cv的降低都会增大接种策略的收益， 这也就有利于提高自愿接种意愿， 即提高自愿接种个体的疫苗水平x， 进而更好地控制麻疹的传播． 另外， 根据内部平衡点E5稳定的条件(11)， 模仿率υ越大， 平衡点越趋于不稳定状态， 即个体决策在接种和不接种之间来回切换． 依据Hopf分支周期解的存在性分析， 当个体采纳的信息区间长度τ>τ0时， 系统存在不稳定的情况， 个体决策会出现反复， 疾病可能会再次爆发．