以题会类 万法一统——对近两年衢州市中考试卷压轴题的评析及思考

324400 浙江省龙游县教育局教研室 李云萍

324400 浙江省衢州市教育局教研室 刘 芳

初中学业水平考试承担着评价、选拔、甄别、引领等多项功能，压轴题作为全卷的重头戏，更是发挥着考试风向和教学导向作用

.

2021年衢州市初中学业水平考试(中考)数学卷压轴题的命制在素材背景、知识考向、试题立意以及呈现形式等方面都是对2020年初中学业水平考试命题基础的沿革与创新

.

其命题素材均来自教材中的矩形“十字型”例题、习题，成题形式均采用近年热门的“三段式”

.

笔者对近两年衢州中考数学卷压轴题进行评析，并给出同类创编试题及教学思考

.

一、 真题呈现

题目1

(2021衢州卷-24)

【推理】

如图1，在正方形

ABCD

中，点

E

是

CD

上一动点，将正方形沿着

BE

折叠，点

C

落在点

F

处，联结

BE

，

CF

，延长

CF

交

AD

于点

G.

(1)求证：△

BCE

≌△

CDG.

【运用】

(2)如图2，在“推理”的条件下，延长

BF

交

AD

于点

H.

若求线段

DE

的长

.

【拓展】

(3)如图3，将正方形改成矩形，同样沿着

BE

折叠，联结

CF

，延长

CF

，

BF

交直线

AD

于

G

，

H

两点，若求的值(用含

k

的代数式表示)

.

题目2

(2020衢州卷-24)

【性质探究】

如图4，在矩形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O.AE

平分∠

BAC

，交

BC

于点

E.

作

DF

⊥

AE

于点

H

，分别交

AB

，

AC

于点

F

，

G.

(1)判断△

AFG

的形状并说明理由

.

(2)求证：

BF

=2

OG.

【迁移应用】

(3)记△

DGO

的面积为

S

，△

DBF

的面积为

S

，当时，求的值

.

图1图2

图3图4

【拓展延伸】

(4)若

DF

交射线

AB

于点

F

，“性质探究”中的其余条件不变，联结

EF.

当△

BEF

的面积为矩形

ABCD

面积的时，请直接写出tan∠

BAE

的值

.

二、 试题评析

(一)设计特色

从“形”上看，近两年的压轴试题呈现形式有一定延续性，新颖简约，层次分明，三段题干叙述清晰，问题设计坡度合理，蕴含较丰富的思维含量，兼顾整体性又对“个性发展”的差异性作出有效甄别．试题将图形性质的探究从特殊引向一般，着力考查图形通性、解题通法，对学生的思维能力考查随着设问的深入而逐步提高，符合压轴题的功能定位

.

(二)考查要求

从考查要求看，试题主要考查“三角形全等证明”“线段倍分证明”“数量关系转化”“位置关系转化”“面积关系转化”的一般方法，以此考查和区分不同学生的几何直观、逻辑推理、运算能力等学科核心素养．考查的思想方法也具有普适性，即如何通过通法“设参法”将难点问题转化为“已知”和“可解”

.

符合条件的图形不唯一，需要分类讨论求解，这很好地考查了优秀学生对几何本质的理解以及逻辑推理能力、运算能力，具有一定难度，富有挑战性

.

(三)本源解析

1

.

源于教材，高于教材两道试题的背景素材均为矩形“十字型”模型下的问题变式及拓展，基础模型源自浙教版八年级下册教材第127页作业第4题

.

衢州卷连续两年的压轴题都依托教材同一道习题进行重构创编，持续研究，不断创新，这既是出于同一地区中考命题延续性的必要，也是出于对同一类问题持续关注、深度探究的需要

.

教材作业题如下

.

图5

已知：如图5，在正方形

ABCD

中，

E

，

F

分别是

BC

，

CD

上的点，

AE

⊥

BF

．求证：

AE

=

BF

．2

.

三段设问，关注探究试题从学生最熟悉的基本图形入手，紧紧围绕图形变化过程中相关变量的关系展开研究，考查基本图形的基本性质，以及边、角、线段比、面积之间转化的一般方法

.

同时通过设置脉络清晰、层次连贯的“三段式”问题串，揭示数学探究的一般思路，即“探究推理—迁移运用—拓展提升”，在步步深入的探究过程中探寻图形变化规律及数式变化关系．3

.

含参运算，分类探索对于试题最后一个小问的“压轴点”，需要进行含参运算及分类讨论，解题过程中涉及两个参数，分两种情况解决

.

核心知识为轴对称性质、等腰三角形性质、三角形全等、三角形相似、勾股定理、三角函数、一元二次方程等，渗透的思想方法有特殊到一般、设参转化、方程模型、分类讨论等

.

考查数学运算、逻辑推理、直观想象等关键能力．

三、 同类创编

笔者基于教材例题、习题的经典模型继续探索，以矩形“十字型”模型以及边、角、线段比、面积比等作为命题“基本单元”进行试题的同类创编，以下是原创压轴题．

图6

【推断证明】

如图6，在矩形

ABCD

中，点

E

是

CD

的中点，将矩形沿着

BE

折叠，点

C

落在点

F

处，联结

BE

，

CF

，延长

CF

，

BF

交

AD

于点

G

，点

H.

(1)判断△

GHF

的形状并说明理由

.

(2)求证：

GH

=

DH.

【迁移探究】

(3)记△

GHF

的面积为

S

，△

EFC

的面积为

S

，当时，求的值

.

【应用拓展】

(4)若

CF

，

BF

的延长线交直线

AD

于点

G

，点

H

，“推断证明”中的其余条件不变，联结

AE

，

AF

，当△

AEF

的面积为矩形

ABCD

面积的时，试求tan∠

EBC

的值

.

从设问上看，本题与2020年衢州卷压轴题是“孪生兄弟”；从图形上看，本题与2021年衢州卷压轴题是“同胞姐妹”，是教材习题和两道试题的良好“再生产物”

.

从考查知识及方法策略上看，本题也是两道压轴题的统一综合

.

秉承“以题会类”“一题一课”的变式教学理念，本题作为矩形“十字型”问题探究课的巩固训练题，是非常不错的选择

.

限于篇幅，笔者只提供小问(4)的简要思路

.

图7

小问(4)解：

①如图7，点

G

在

A

点右侧，过

A

作

AN

⊥

BH

于

N

，过

A

作

AM

⊥

EF

于

M

．设

BC

=

m

，则

AB

=

km

，由△

CDG

∽△

BCE

，得由已知及可得所以因为sin∠

BAN

=sin∠

AHB

，可得所以

图8

②如图8，点

G

在

A

点左侧

.

过

A

作

AM

⊥

EF

于

M

，过

B

作

BN

⊥

AM

于

N

．设

BF

=

BC

=

m

，则

AB

=

km

，同理有仍由面积关系可得因为cos∠

BAN

=cos∠

ABH

，可得所以

四、 教学导向

(一)立足教材，一题多变

纵观近几年浙江各地中考试题，立足教材例题、习题进行改编的试题俯拾皆是，甚至成了中考命题的主流

.

任取一份试卷，可以发现由教材改编的试题不胜枚举，教材中的例题、习题，特别是经典例题、习题，往往不止一次被改编利用，这类试题源于教材，活于教材，又高于教材，在思想方法上，具有类比迁移和拓展探究性，让学生有“似曾相识”的亲切感

.

这就启发教师在日常教学中要发挥教学智慧，更好地利用教材、研究教材，把握好教材的编写意图，挖掘教材的教育价值，引导学生深度研究教材例题、习题，重视对教材例题、习题(特别是重点题型或者基本图形)进行改编、演变、整合、拓展等一题多变的“再创造”行为，让学生感受“变”的现象中蕴藏“不变”的本质，在“不变”的本质中探索“变”的规律，逐步达到以题会类、融会贯通的境界

.

(二)以题会类，一法多用

上文提及的三道压轴题都是通过遴选教材典型例题、习题，衍生创编不同的变式题，基于教评学一致的原则，由题想教，以题会类，由题思法，法可融通

.

这启发教师平日进行复习教学时可设计有价值、有意义的“一题一课”教学模式

.

它归属于变式教学的一种，通过一道题的深入研究，挖掘内在的学习线索，设计一组不同层次的探究题，组织学生进行相关的数学活动，以达成一定的教学考查目标

.

譬如上文原创试题的小问(4)思路明晰，设参法一目了然

.

而对于2021年衢州中考卷24题小问(3)，如图9，同样可借助设参法搭建思维路径，其中一种解答的简要步骤如下

.

第一步：假设

DH

=4

m

，

HG

=5

m

，令由△

CDG

∽△

BCE

，得第二步：由∠

D

=∠

HFE

=90°，根据勾股定理得方程第三步：解关于

x

的一元二次方程，并求得

图9

由上可见，设参法、构造方程等策略可成功转化复杂图式的数量关系和面积关系，体现以题会类，一法多用

.

通过矩形“十字型”问题探究重组零碎知识，提炼方法策略，突出以培养数学思维为目标指向的数学教学，最终实现数学思维方法的传递和思考过程的交流，这是“一法多用”变式教学的灵魂和核心所在

.

(三)思想升华，万法一统

笛卡儿曾说：“我所解决的每个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题

.

我们解决问题的价值在于获得一种方法和能力，以便于迁移应用

.

”来源于教材矩形“十字型”问题的“三段式”压轴题展示了同一类问题的解决方略

.

从知识角度看，它们无不与正方形、等腰三角形、直角三角形有关；从解题方法角度看，其解答都离不开构造法，构造三角形全等或相似，构造直角三角形运用勾股定理，还离不开设参法，转化线段和面积数量关系；从数学思想角度看，它们渗透了转化化归、分类讨论、方程等思想；从核心素养角度看，它们培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和关键能力

.

关于矩形背景试题的思维导图(如图10所示，图见文末)生动再现了一类试题所蕴含的知识、方法、思维的精髓，这体现了数学的魅力、教学的智慧

.

思想升华、万法一统真正促使学生深刻理解解决问题的程序与步骤，引导学生有逻辑、有序地思考和知识建构，这种循序渐进、拾级而上的教学过程与方法正体现出数学育人的力量所在，是培养学生数学理性思维的有效载体

.

图10