变式课本习题提升思维能力

孙文静

例如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s.那么运动几秒时，它们相距15cm？

解设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，则有CP=BQ=1×t=t厘米，

所以CQ=21-t，

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得

CP²+CQ²=PQ²，

即t²+（21-t）²=15²，

整理，化简得t²-2t+108=0，

解之，得t₁=9，t₂=12，

答：运动9秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米.

反思探究本题是以几何图形（直角三角形）为载体，两个动点分别在直角边上运动，探究两动点之间的长度符合某个条件时运动时间问题，解决此类问题首先我们要搞清动点运动的方向、时间和速度，以便根据“路程=时间×速度”表示出相关的线段的长度（即含有时间t的整式），然后再结合已知条件求出与求解相关的其他线段，对于较复杂的多个动点问题我们在审题时还应该掌握如下的几条信息.

1.运动的路线：是直线型的还是折线型（转折点的位置）等其他形式;

2.考虑到它们是同时同地、还是同时异地.

3.点运动的范围有无限制（包括时间和路线等），同时我们要学会用变化的眼光去洞察运动变化的全过程，抓住“运动与静止”的辩证关系，用好“动中寻静，以静制动”的解题策略.显然本题的相等关系是由直角三角形的勾股定理来提供的，事实上这也是一个构造一元二次方程常用的一个相等关系.

变式1变化研究问题的视角，从动点运动构成的三角形（或四边形）面积的大小进行探索.

例1已知：如图2，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm²？

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm²？说明理由.

解（1）设经过1秒以后△PBQ面积为6cm²，则BP=（5-x）cm，BQ=2xcm.

根据直角三角形的面积公式可得

整理得x²-5x+6=0，

解得x=2或x=3.

答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm².

（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm²，则有

整理得x²-5x+8=0，

Δ=25-32=-7<0，

所以，此方程无解，

答：△PQB的面积不能等于8cm².

注（1）根据直角三角形的面積公式作为相等关系构造关于时间1的一元二次方程;

（2）考察了一元二次方程根的判别式的应用.

例2如图3，在△ABC中，∠ABC=90°AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点。后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm²时，则点P运动的时间是（）

（A）3s.（B）3s或5s.

（C）4s.（D）5s.

解设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm²，则BP为（8-t）cm，BQ为2tcm，根据S_△PBQ+S_{四边形APQC}=S_△ABC作为相等关系可得，

解得t₁=3，t₂=5

（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）.

故动点P，Q运动3秒时，可使四边形APQC的面积为9cm².

故选（A）.

注本题是利用“整体=各部分面积之和”作为相等关系来构造一元二次方程求解的，本题还应根据动点运动的实际情况对解进行取舍，否则功亏一篑，误选（B）答案.

变式2由两动点同时出发，改为其中的一个动点先出发一定时间，另一动点再运动（不同时运动），探索动点运动构成的三角形面积的大小及线段之间长度关系.

例3如图4，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止.

（1）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S_△QPC=4cm²？

（2）如果点P，Q分别从A，C同时出发，经过几秒钟后PQ=BQ？

解（1）设P出发1秒时S_△QPC=4cm²，则Q运动的时间为（t-2）秒，此时AP=tcm，

PC=（6-t）cm，QC=2（t-2）cm，

根据直角三角形的面积公式可得

所以t²-8t+16=0，

解得t₁=t₂=4.

因此经4秒点离A点1×4=4cm，点Q离C点2×（4-2）=4cm，符合题意.

答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，

S_△QPC=4cm².

（2）设经过x秒钟后PQ=BQ，则

PC=（6-x）cm，QC=2xcm，BQ=（8-2x）cm，

依题意可得

（6-x）²+（2x）²=（8-2x）²，

注不同时出发时，一定要搞清两动点分别运动的时间，同时要根据实际情况进行检验求得的解是否符合题意.从而确定取舍.

变式3由课本习题两动点在直角三角形的直角边上同时出发，改为两动点在等边三角形的边上运动，探索动点运动构成的三角形的形状与面积.

例4如图5，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P，Q分别从A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

（1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

解（1）△BPQ是直角三角形，觀察图形显然只有∠BQP和∠BPQ可能为直角，故必须分两种情形探究.因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=12cm，

∠A=∠B=∠C=60°.

①当∠PQB=90°时，

所以∠BPQ=30°，

所以BP=2BQ.

因为BP=12-x，BQ=2x，

所以12-x=2×2x，

②当∠QPB=90°时，所以∠PQB=30°，

所以BQ=2PB，

所以2x=2（12-x），

解得x=6.

（2）过点Q作QD⊥AB于D，

所以∠QDB=90°，

所以∠DQB=30°，

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

解得x₁=10，x₂=2，

因为x=10时，2x>12，故舍去，所以x=2.

注（1）问渗透了分类讨论的思想;等边三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，对本题的解答起到了关键的作用.