一类特殊的一元二次方程的解法

王依帆

【摘要】含有“x”的一元二次方程问题在竞赛题中经常出现，本文利用一道例题着重讲解解答这类型问题的方法，以供参考.

【关键词】初中数学;一元二次方程;解法分析

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是二（二次）的整式方程为一元二次方程，一般形式为.教材中归纳的一元二次方程的解法主要有公式法、配方法、因式分解法等，解题时需要学生灵活运用.含有“[x]”的一元二次方程问题在竞赛题中经常出现，本文利用一道例题着重讲解解答这类型问题的方法，以供参考.

题目 用x表示不大于x的最大整数，则方程x2-2x-3=0的解的个数为（  ）

（A）1.  （B）2.  （C）3.  （D）4.

1 定义法

定义法，顾名思义就是利用定义求解，x称为高斯符号，读作“x的整数部分”，且x满足：①x是整数;②x≤x;③x

在实际计算过程中，运用定义“对于实数x，若有整数n，使得n≤x≤n+1，则有x=n”.解题时，首先利用定义转化，然后根据一元二次方程的求根公式进行解答即可.

思路 本题中运用到x=x+α（0≤α<1），整理得到0≤x-x<1，这个变形对解题十分重要.首先利用x=x+α0≤α<1将含x的方程转化为含有参数α的一元二次方程（不含x），并利用求根公式，结合0≤α<1求出方程中两根的取值范围，借此解得x的值.

解 设x=x+α0≤α<1，

即x=x-α，

代入原式，可得x2-2x-α-3=0，

即x2-2x+2α-3=0，

故Δ=44-2α，

因为0≤α<1，

所以2<4-2α≤4，

又x=1± 4-2α，

所以1+ 2≤x≤3或-1≤x<1- 2，

所以x只能取值-1，2，3，

当x=-1时，原方程为x2-1=0，

所以x=-1;

当x=2时，原方程为x2-7=0，

所以x= 7;

当x=3时，原方程为x2-9=0，

所以x=3;

因此原方程存在三个解，故正确选项为（C）.

2 性质法

性质法，就是利用x的性质求解，而x的主要性质包括：①x-1

利用性质解题的关键在于运用正确的性质将原式变形，得到新的式子并求解，即可得到x的解，进而使问题得解.

思路 本题可分析方程得到2x=x2-3，并将其代入x-1

解 由方程可知，2x=x2-3，

代入x-1

可得2x-1

所以x2-2x-3≤0x2-2x-1>0，

解得1+ 2

所以x只能取值-1，2，3，

当x=-1时，原方程为x2-1=0，

所以x=-1x=1舍;

当x=2时，原方程为x2-7=0，

所以x= 7x=- 7舍;

当x=3时，原方程为x2-9=0，

所以x=3x=-3舍;

故原方程有三个解，则正确选项为（C）.

3 圖象法

数形结合思想对解题有化抽象为具体的作用，故而利用图象法也是求解的一种思路.根据已知方程的数量关系构造相关函数，结合图象的直观性，使问题快速得解.总的来说，首先根据题意构造函数，然后在坐标系中表示出对应的函数图象，找出函数图象的交点个数，即为方程解的个数.

思路 本题利用图象法会更加简单、直观，分别构造函数y=x2-3和y=2x，并在同一直角坐标系中表示出来，两条函数的交点个数即为它们的解个数.

解 由题意得，构造函数y=x2-3和y=2[x]，

如所示，为两个函数在直角坐标系中的图象，

由可得，两个函数图象共存在三个交点坐标，

因此，原方程有三个解，即正确选项为（C）.

4 分情况讨论

分情况讨论的方法本质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同情况的思想方法.对于题目中缺少部分条件，看上去无法解答，此时分几种情况进行讨论，综合起来便可以找到题目的完整答案.

思路 由于x≥x，所以可把方程x2-2x-3=0写成2x=x2-3，可得不等式2x≥x2-3，求得x的取值范围.再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择.

解 因为x≥x，方程变形为2x=x2-3→2x≥x2-3，

解此不等式得-1≤x≤3，现将x的取值范围分为五类进行讨论：

-1≤x≤0，则x=-1，原方程化为：x2-1=0，解得x=-1，

0≤x≤1，则x=0，原方程化为：x2-3=0，无解，

1≤x≤2，则x=1，原方程化为：x2-5=0，无解，

2≤x≤3，则x=2，原方程化为：x2-7=0，解得x=7，

（5）x=3显然是原方程的解.

综上所述，原方程的解为-1，7，3

因此原方程有三个解，即正确选项为（C）.

5 结语

含x的一元二次方程虽然在平时练习题中出现不多，但也值得我们学习，有助于拓展解题思维.结合本文可以看出，图象法在解答一元二次方程方面具有巧妙的作用，在解题时不妨多考虑这种方法;此外，运用性质法解方程时，还要考虑代入x后得到的不等式求解是否容易，要具体问题具体分析.

参考文献：

[1]王雪娥.初中数学一元二次方程的解题教学研究[J].数学之友，2022，36（1）：22-24.

[2]王伟.与一元二次方程的解有关的问题探析[J].中学数学：初中版，2022（3）：37-38.