多元表征：促进儿童数学思维发展

吴鉴勉

数学表征是指学生对学习的数学知识进地记录、储存、改组的方式，是学生运用某种形式将数学概念或关系表达出来的过程。多元表征是指根据实际情况灵活运用各种不同的表征方式。在数学教学中积极合理地使用多元表征，有助于学生准确把握数学知识的本质，促进他们的思维深度发展。不同学者对表征的分类不同，如美国学者莱什等人提出，表征可以分为现实情境、实物操作、图像、口头语言、文字符号等五种；布鲁纳根据儿童的思维水平，将表征分为动作表征（借助实际操作活动进行思维）、图像表征（借助脑海中的心像进行思维）和符号表征（直接对数学符号进行思维操作）。虽然表征的分类不同，但从纵向来看，它们之间存在着层次递进性；从横向来看，它们之间又存在着相互关联性。在运用多元表征的教学中，不少教师过于注重表征的多元化，却忽略了表征方式的层次性与关联性，导致学生数学思维的发展呈现出浅表化、片面化、局限性等特点。他们在面对具体问题时，不善于将不同的表征进行转换，从而无法找到与问题解决相适应的表征方式，长此以往，将不利于学生数学思维的发展。针对上述现象，笔者提出如下教学策略。

1.引导学生有序表征，提升数学思维的层次性

数学思维是学生对已有知识经验进行改组、重建的过程，具有个体建构性。随着认识的逐步深化，个体的数学思维也会逐步得到发展。在数学教学中，教师要遵循知识发展与学生认知发展的规律，引导学生有序展开多元表征，逐步提升他们数学思维的层次性。例如，苏教版一上第五单元“认识10 以内的数”使用了实物情境表征（例1 出示的情境图片）、图像表征（圆圈）和符号表征（相应数字）。首先，学生可以通过实物情境表征感受到数学与生活的紧密联系，数学知识来源于生活；其次，用圆圈代替具体实物，学生通过图像表征对概念进行半抽象，开始体会到数字表示的数量意义；然后，引导学生通过符号表征理解数字符号与数量之间的对应关系。通过引导学生展开有序表征，能促进他们对数学概念的理解从具体走向抽象，逐步提升数学思维能力。

2.沟通不同表征方式之间的联系，增强数学思维的整合性

莱什等人指出，学生学习概念时的表征方式是多元的，除了实物操作以外，其他几种表征方式在促进学生理解概念的过程中也发挥着重要作用。在教学中，我们不应片面强调某一种表征方式，而应站在整体视角，努力打通不同表征方式之间的联系，这将有助于增强学生数学思维的整合性。例如，学习苏教版五下“偶数”时，学生可以有多种不同的呈现方式。（1）图形表征：▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲……；（2）数字表征：2，4，6，8，10，12，14，16，18……；（3）文字表征：在自然数中，是2 的倍数的数叫作偶数；（4）符号表征：2n。其实，偶数的各种表征方式之间也有关联，其他三种表征方式都与文字表征具有内在一致性，教师应注意淡化形式，在凸显知识本质的过程中促进学生思维的发展，不断增强学生思维的整合性。

3.实现不同表征方式的转换，提高数学思维的灵活性

所谓思维的灵活性，是指学生能根据具体问题解决的需要，在不同的表征方式之间灵活地做出转换。在教学中，可以引导学生在解决问题的过程中实现文字表征与其他表征方式的相互转化，提升其数学思维的灵活性和问题解决能力。例如，在执教苏教版三上《解决实际问题——从条件开始想起》一课时，笔者出示图1，让学生对这段文字进行加工，形成自己的表征方式。学生的反馈如图2—图5 所示。基于解决问题的需要，学生在理解文字信息，特别是“以后每天都比前一天多摘5 个”这一条件时，需要调动已有的认知经验与方法，借助图形、算式等不同表征方式来加工文字表征。在这个过程中，学生在文字、图形等表征方式之间灵活地转换。在加工与建构的过程中，学生不仅深刻理解了条件的含义，也提高了数学思维的灵活性。

（图1）

（图2）

（图3）

（图4）

（图5）

总之，数学知识的多元表征之间有着内在的联系，教师要注意运用整体、比较的眼光，找准不同表征方式之间的联系，通过恰当的组织与引导，让外在表征有序、整体地内化为学生的内在表征，从而提升学生数学思维的层次性、整合性、灵活性，促进学生数学思维的发展。