则称f(z)∈Sp,q(α,A,B).
由定义4可得如下等价关系:
([p]q[p-1]qf(z)))|<1.
(1)
特别地,当参数α、A、B、q、p取特定值时,Sp,q(α,A,B)分别为4个已知重要函数类:
(iv)当α=0,A=1,B=-1,q→1-,p=1时,f(z)∈S*,S*表示单叶星形函数类.
2 主要结果
(2)
证假设不等式(2)成立,要使f(z)∈Sp,q(α,A,B),只需不等式(1)成立.由于
从而f(z)∈Sp,q(α,A,B).
反之,若f(z)∈Sp,q(α,A,B),由定义4知,f(z)满足不等式(1),即
(3)
因为不等式(3)对所有的z∈D均成立,所以令z=Rez→1-可得不等式(2).
综上所述,定理1得证.
由定理1得到如下系数估计.
|ap+n|≤(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)(n=1,2,…).
结果是精确的,极值函数为
f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+n/
((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).
[p]qrp-1-τ1rp≤|∂qf(z)|≤[p]qrp-1+τ1rp,
其中τ1=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q[p+1]q/
((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).结果是精确的,极值函数为
f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/
((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).
因为|z|=r<1,所以rp+n-1≤rp,故
(4)
同理可得
(5)
因为f(z)∈Sp,q(α,A,B),所以,由定理1得
从而
因此
从而
(6)
将式(6)代入式(4)和式(5),定理2得证.
利用定理2的证明方法可以得到如下增长定理.
rp-τ2rp+1≤|f(z)|≤rp+τ2rp+1,
其中τ2=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)·[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)·[p]q[p-1]q).结果是精确的,极值函数为
f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/
((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)·(1+A)[p]q[p-1]q).
有f(z)∈Cp(σ).
证设f(z)∈Sp,q(α,A,B),要使f(z)∈Cp(σ),只需
(1+zf″(z)/f′(z)-σ)/(p-σ)(1+z)/(1-z),0≤σ
上式等价于|(zf″(z)-(p-1)f′(z))/(zf″(z)+(1-2σ+p)f′(z))|<1,化简后得
(7)
由不等式(2)得
因此,若不等式(7)成立,则只需
即
|z|n
也就是
|z|<(p(p-σ)((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)/((p+n)(n+p-σ)(1-α)(A-B)[p]q·[p-1]q))1/n.
定理4得证.
利用定理4的证明方法可得到在Sp,q(α,A,B)中函数的星形性半径.
3 结束语
q-微积分在经典的几何函数论中有着广泛应用,如通过q-微积分研究q-超几何函数级数.本文利用q-差分算子和Janowski函数引入多叶解析函数的一个新子类,通过给出该类子族解析函数的充分必要条件,得到了该类子族的系数估计、偏差定理、增长定理和星形半径等几何性质.