基于剪切波和低秩稀疏表示的噪声图像融合算法研究

王相海， 邢俊宇， 王鑫莹， 曲思洁， 穆振华， 宋传鸣

(1.辽宁师范大学 计算机与信息技术学院, 辽宁 大连 116081; 2.辽宁师范大学 数学学院, 辽宁 大连 116029;3.辽宁师范大学 地理科学学院，辽宁 大连 116029)

多源图像融合技术是指对同一目标场景经多源信道所获取到的多幅图像进行合并处理，获得较单幅图像更高质量图像的过程.近年来，随着遥感、医疗等实际应用领域需求的不断提高，以及图像处理数学工具和图像处理技术的不断发展，图像融合技术也得到了很好的发展[1-2].然而，在实际应用中由于图像在获取、传输和处理工程中不可避免地会引入一些噪声，如何有效地抑制这些噪声使得融合的图像具有更好的视觉效果和特征的识辨性成为特别关注的一个问题.

小波分析作为一个有效的多尺度分析工具自从被提出以来一直在信号和图像处理领域发挥着重要作用[3-4]，其有效的多分辨率特性、能量紧支性和分解系数的持续特性等被图像融合领域所关注，基于这些特性人们提出了许多有效的图像融合算法[5-7].而剪切波变换(Shearlet Transform)[8]作为后小波时代的一种多尺度几何分析工具不仅具有和小波变换一样的多方向、多尺度性质，同时在每个尺度上还可以进行不同的方向分解，即具有各向异性的特性，对于捕捉图像的高阶奇异特征发挥着重要的作用，近年来在图像处理的多个领域受到重视[9-10].近年来，稀疏表示[11]和低秩表示[12-13]的提出为挖掘更深层次的图像特征、处理更为复杂的图像操作提供了可能, 一些基于稀疏表示的图像融合算法[14-15]和基于低秩表示的图像融合算法[16-17]也先后被提出.本文将剪切波变换和低秩稀疏表示(Low-Rank and Sparse Representation，LRSR)[18]结合，提出了一种基于剪切波变换和LRSR的多聚焦去噪图像融合算法，将两幅多聚焦噪声图像通过剪切波变换分解为低频子带和高频方向子带，对于低频子带采用区域能量匹配度的融合算法，对于高频方向子带采用LRSR的融合规则.相比于低秩表示(Low-Rank Representation，LRR)算法，LRSR算法通过低秩部分可更好的捕捉子带的整体结构信息，而通过稀疏部分则可获得局部结构信息，两部分信息即可保证图像的整体结构，同时能够更好地保留图像的细节纹理信息.此外，通过对高频方向子带经LRSR分解后获得的噪声矩阵进行去噪，可使融合后的图像更加清晰.

1 剪切波变换过程分析

Shearlet变换可以看做是复合伸缩小波变换的一种特殊情况.设伸缩算子为DM，其表达式为

DMψ(x)=|detM|-1/2ψ(M-1x),M∈GLd().

(1)

其中，ψ∈L2(d),GLd()定义为实数域上的d维可逆矩阵群.

设平移算子为Tt，其表达式为：

Ttψ(x)=ψ(x-1),t∈.

(2)

SH(ψ)={ψa,s,t=TtDAaDSsψ:a>0,s∈,t∈2}.

(3)

其中,ψ∈L2(2)，a,s,t分别为尺度参数、方向参数和平移参数.

由于在式(3)中存在一个平移算子Tt、两个伸缩算子DAa和DSs，这样Shearlet变换系统可通过一个基函数经过不同方式的平移或者伸缩变换获得，从而奠定了Shearlet变换较其他变换的优势.

对式(3)继续进行变换，可获得如下表达式：

f|→SHψf(a,s,t)=〈f,σ(a,s,t)ψ〉, (a,s,t)∈S

(4)

其中,f∈L2(2),S:(+×)×2,σ(a,s,t)ψ=TtDAaDSsψ

对于f∈L2(2)，Shearlet变换的表达式为

SHψf(a,s,t)=〈f,σ(a,s,t)ψ〉, (a,s,t)∈S

(5)

其中,SHψ为f到系数SHψf(a,s,t)的映射，a∈+为尺度参数，s∈为方向参数，t∈2为平移参数.

在式(5)基础上，要使Shearlet变换等距并且存在逆变换，需对ψ进行如下约束：

(6)

这里称ψ为容许Shearlet.在容许Shearlet基础上，要使Shearlet满足等距条件，则需要进一步满足下面表达式：

(7)

2 基于区域能量的低频子带融合规则

图像经过剪切波分解后得到一个低频子带和若干个高频方向子带，对于低频子带本文采用基于区域能量匹配度的融合算法，自适应地选择低频系数.具体过程如下:

设待融合图像为fA(x,y)和fB(x,y)，大小均为M×N.对fA(x,y)和fB(x,y)分别进行J层Shearlet变换分解，低频部分的区域能量表示如下：

(8)

(9)

其中,T和K为局部区域的最大行、列坐标，CJA(m+m',n+n')为A图像第J层(m+m',n+n')点对应的低频系数，w(m',n')为其对应的权系数，CJB(m+m',n+n')为B图像第J层(m+m',n+n')点对应的低频系数，w(m',n')为其对应的权系数.

两幅图像对应区域的能量匹配度M可表示为

(10)

(11)

低频子带对应的小权重系数Wmin和大权重系数Wmax可表示为

(12)

Wmax=1-Wmin.

(13)

其中,T为定义的匹配阈值.

低频子带系数的融合规则可表示为

(14)

3 基于低秩稀疏表示的高频方向子带融合规则

对于经Shearlet变换之后获得的高频方向子带，会包含源图像中一定的噪声，这样对于高频方向子带，本文选择低秩稀疏表示(LRSR)对其建模.

设X=[x1,x2,…,xn]∈d×n是一个数据矩阵,X的列是从独立子空间提取出的n个数据样本，因此X的每一列可以用基向量A=[a1,a2,…,am]的线性组合表示为

X=AZ.

(15)

其中,Z=[z1,z2,…,zn]表示系数矩阵.

式(15)一般有无穷多个解，为此在式(15)基础上施加一个最稀疏和最低秩的标准和一个非负约束，即通过求解下列问题来寻找Z的表示：

(16)

其中,β>0表示在低秩和稀疏之间的权衡参数.

(17)

考虑到实际应用中的噪声，在上式中加入噪声项E，因此式(17)可以转化为如下表达式：

(18)

进一步采用基于线性化交替方向法的自适应惩罚方法(LinearizedAlternatingDirectionMethodwithAdaptivePenalty，LADMAP)[19]对式(18)进行求解.

(19)

最后通过选择最大策略来融合高频系数矩阵，表达式如下：

(20)

4 算法的实现与结果分析

基于剪切波变换和低秩稀疏表示的多聚焦图像去噪融合过程如下：

Step 1 对两幅含有噪声的多聚焦图像分别进行剪切波变换，得到相应的低频子带和高频方向子带.

Step 2 对剪切波变换后得到的两个低频子带采用式(14)的区域能量匹配的融合规则，获得融合后的低频子带.

Step 3 对剪切波变换后得到的高频方向子带分别采用LRSR算法进行融合获得低秩稀疏矩阵Z和噪声矩阵E,通过去除噪声矩阵E，达到去噪效果，对得到的低秩稀疏矩阵Z采用式(20)的选择最大策略进行融合，获得融合后的高频方向子带.

Step 4 对融合后的低频子带和高频方向子带采用逆剪切波变换，从而获得清晰的聚焦图像.

算法流程图参见图1.

图1 算法流程图

为了验证所提出算法的有效性，选择对二幅多聚焦噪声图像进行去噪融合实验，并与MWGF、改进GRW、PC算法和双边梯度算法进行对比.采用峰值信噪比(PSNR)、结构相似性(SSIM)和均方差误差(RMSE)来从客观角度证明本文所提出算法的有效性.实验环境为Windows 10操作系统，试验平台为Matlab R2014a，16GB内存.实验结果如下：

图2～图5分别表示对“原图像1”分别加入方差为50和100的高斯噪声、方差为100和200的椒盐噪声后的左聚焦图像、右聚焦图像，以及与MWGF[20]、改进GRW[21]、PC算法[22]和双边梯度算法[23]的对比结果，同时表1给出了采用峰值信噪比(PSNR)，结构相似性(SSIM)和均方差误差(RMSE)的客观评价指标.

图2 原图像1加入50倍高斯噪声的实验结果

图3 原图像1加入100倍高斯噪声的实验结果

图4 原图像1加入100倍椒盐噪声的实验结果

图5 原图像1加入200倍椒盐噪声的实验结果

表1 图像1在不同类型噪声和不同算法下的客观评价指标

图6～图9分别表示对原图像2分别加入方差为50和100的高斯噪声、方差为100和200的椒盐噪声后的左聚焦图像、右聚焦图像，以及与MWGF算法、改进GRW算法、PC算法和双边梯度算法的对比结果；表2为对应的客观评价结果.

图6 原图2加入50倍高斯噪声的实验结果

图7 原图2加入100倍高斯噪声的实验结果

图8 原图像2加入100倍椒盐噪声的实验结果

图9 原图像2加入200倍椒盐噪声的实验结果

表2 图像2在不同类型噪声和不同算法下的客观评价指标

5 结束语

本文首先对多聚焦噪声图像进行shearlet变换，对于变换后分解出的低频子带采用区域能量匹配的融合规则，对于高频方向子带采用低秩稀疏表示的融合规则，最后利用shearlet逆变换获得融合结果.从实验结果可以看出，对于适加的高斯噪声和椒盐噪声，本文提出的方法均有较好的融合效果，可以很好地保留图像的细节和纹理信息，特别随着噪声水平的增加，本文所提出的算法相对于其他算法具有更好的比较优势.