高安 夏宇
在求解锐角三角函数问题时,有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清,或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件,或在解题时考虑问题不全面,忽视了要进行分类讨论,从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误,现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.
一、对锐角三角函数概念理解不清
锐角三角函数是以锐角为自变量,以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的,其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值),它的值与角的大小有关,与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻,误把“无关”当“有关”.
例1在 Rt△ABC 中,各边的长度都扩大3倍,那么锐角 A 的三角函数值().
A.都扩大3倍 B.都扩大4倍
C.不能确定 D.没有变化
错解:A.
错因分析:三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值,三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似,所以直角边与斜边,直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.
正解:D.
点拨:锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性,当一个锐角大小不变时,其函数值是固定的.
二、忽视运用锐角三角函数定义的前提
解决任何问题都必须具备一定的条件背景,解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的,要么证出直角,要么添加辅助线构造直角,然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯,直接运用三角函数的定义解题就会出错.
例2在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边为 a,b,c,且 a:b:c =3:4:5.试证明sin A + sinB =75.
错解:设 a =3k,b =4k,c =5k ,则 sin A = a c =3k 5k =35,sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.
错因分析:本题中没有说明∠C =90?,而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的,应先说明△ABC 为直角三角形,且∠C =90?后才能用定义解题.
正解:设 a =3k,b =4k,c =5k(k >0),因为 a2+ b 2=(3k)2 +(4k)2=25k2= c 2,所以△ABC 是以 c 为斜边的直角三角形.所以sin A = a c =3k 5k =35,sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.
例3在等腰三角形 ABC 中,AB = AC =5, BC =6.求 sinB 、cosB 、tanB .
错解:∵ a =6,b =5,c =5,∴ sinB = b c =55= 1,cosB= a c =65, tanB= b a =56.
错因分析:错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中,显然△ABC 不是直角三角形,故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.
正解:如图1,过 A 作 AD ⊥ BC 于 D ,则BD =3,
∵ AB =5,∴ AD= =4,
∴sinB= = ,A
点拨:锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关,而与锐角作为内角所在的三角形无关,因此必须先构造直角三角形,再求值.
三、考虑问题不全面导致漏解
锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系,因此,我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确,存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法,以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致,思维不严谨,就会出现漏解的情况.
例4在ΔABC 中,AB =12 ,AC =13,cos ∠B =22,则 BC 边长为().
A.7 B.17 C.8或17 D.7或17
错解:作 AD ⊥ BC 于点 D ,如图2,∵ cos ∠B =22,∴∠B =45°,∵ AB =122,∴ AD = BD =12,又∵ AC =13,∴ CD =5,∴ BC = BD + CD =12+5= 17,故选B.
错因分析:错解认为高 AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形,应分两种情况:(1)高 AD 在△ABC 内部;(2)高 AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.
正解:∵ cos ∠B =22,∴∠B =45°,当ΔABC 为钝角三角形时,如图3,∵ AB =122,∠B =45°,∴ AD = BD =12,∵ AC =13,∴由勾股定理得 CD =5,∴ BC = BD - CD =12-5=7;当ΔABC 为锐角三角形时,如图2, BC = BD + CD =12+5= 17,故选D.
例5 Rt△ABC 的两条边分别是6和8,求其最小角的正弦值.
错解:因为6和8是直角三角形的两边,所以斜边是10,所以最小角的正弦值是6 10,也就是35.
错因分析:已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边,所以本题应分两种情况:(1)6和8是两条直角边,(2)6是直角边,8是斜边.错解忽视了第二种情况.
正解:当6和8是直角边时,斜边是10,所以最小角的正弦值;
当6是直角边,8是斜边时,另一直角边是=2,最短边是2 ,所以最小角的正弦值为 = .
综上可知,最小角的正弦值为或 .
点拨:对于没有明确三角形高的位置的问题,要注意对高的位置进行分类讨论;在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下,要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.
解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外,可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念,把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多種情况,避免出现解题错误.