解答锐角三角函数问题容易犯的错误

高安 夏宇

在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.

一、对锐角三角函数概念理解不清

锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值（数值），它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.

例1在 Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角 A 的三角函数值（）.

A.都扩大3倍 B.都扩大4倍

C.不能确定 D.没有变化

错解：A.

错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.

正解：D.

点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.

二、忽视运用锐角三角函数定义的前提

解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.

例2在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边为 a，b，c，且 a：b：c =3：4：5.试证明sin A + sinB =75.

错解：设 a =3k，b =4k，c =5k ，则 sin A = a c =3k 5k =35，sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.

错因分析：本题中没有说明∠C =90?，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90?后才能用定义解题.

正解：设 a =3k，b =4k，c =5k（k >0），因为 a2+ b 2=（3k）2 +（4k）2=25k2= c 2，所以△ABC 是以 c 为斜边的直角三角形.所以sin A = a c =3k 5k =35，sin B = b c =4k 5k =45.所以 sin A + sin B =35+45=75.

例3在等腰三角形 ABC 中，AB = AC =5， BC =6.求 sinB 、cosB 、tanB .

错解：∵ a =6，b =5，c =5，∴ sinB = b c =55= 1，cosB= a c =65， tanB= b a =56.

错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.

正解：如图1，过 A 作 AD ⊥ BC 于 D ，则BD =3，

∵ AB =5，∴ AD= =4，

∴sinB= = ，A

点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.

三、考虑问题不全面导致漏解

锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.

例4在ΔABC 中，AB =12 ，AC =13，cos ∠B =22，则 BC 边长为（）.

A.7 B.17 C.8或17 D.7或17

错解：作 AD ⊥ BC 于点 D ，如图2，∵ cos ∠B =22，∴∠B =45°，∵ AB =122，∴ AD = BD =12，又∵ AC =13，∴ CD =5，∴ BC = BD + CD =12+5= 17，故选B.

错因分析：错解认为高 AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况：（1）高 AD 在△ABC 内部;（2）高 AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.

正解：∵ cos ∠B =22，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵ AB =122，∠B =45°，∴ AD = BD =12，∵ AC =13，∴由勾股定理得 CD =5，∴ BC = BD - CD =12-5=7;当ΔABC 为锐角三角形时，如图2， BC = BD + CD =12+5= 17，故选D.

例5 Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.

错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是6 10，也就是35.

错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.

正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值;

当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是=2，最短边是2 ，所以最小角的正弦值为 = .

综上可知，最小角的正弦值为或 .

点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论;在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.

解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多種情况，避免出现解题错误.