新型互补序列设计及其在OFDM系统改进同步算法中的应用

张烁瑜，高军萍，李 琦，王 丹

（河北工业大学 电子信息工程学院，天津 300401）

0 引言

正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系统虽具有抗干扰能力强、频谱利用率高的特点[1-4]，但其对时间和频率偏移十分敏感[5-7]。在基于训练序列的同步算法中，最为经典的Schmidl 算法[8]由2 组相同序列构成，但该算法因循环前缀（Cyclic Prefix，CP）的影响而存在一段“平坦区”。Minn算法[9]将训练序列分为4部分，尽管该算法解决了“平坦区”的问题，但在定时估计曲线中存在一系列副峰，这会影响OFDM 系统的精确同步。Park[10]利用共轭对称结构提出一种新的算法，该算法的定时估计曲线在正确同步点有一个尖锐的峰值，同步较为准确，但副峰的存在仍可能会影响系统的正确同步。Schmidl、Minn和Park算法的训练序列均采用相关性较差的PN序列，而互补序列因具有良好的相关特性引起学者们的关注[11]。相比较于MPSK Golay 互补序列而言，MQAM 序列因其优良特性被更广泛应用于OFDM 系统中。Chong 和Tarokh[12]基于4QAM 序列，提出2 种16QAM Golay 互补序列的构造方法。2015 年，Zeng等[13]提出一种可将二元Golay互补序列直接生成16QAM Golay互补序列的设计方法。然而，目前互补序列的设计仍存在方法较少，长度受限的问题。

为提高OFDM系统的定时精度，本文利用相关性良好的新型互补序列对同步算法进行改进。首先，设计出一种新型16QAM Golay互补序列，该序列因具有良好的相关特性可以有效地应用于OFDM系统中；然后，利用新型互补序列和恒包络零自相关（Constant Amplitude Zero Auto Correlation，CAZAC）序列提出一种同步改进算法，该算法利用共轭对称结构，采用2组序列对原有的滑动窗口进行改进，通过对设计的2组窗口同时进行相关运算，可很好的解决系统在低信噪比下对定时偏移尤为敏感的问题。仿真结果表明，改进算法在低信噪比下仍可实现精准同步，并且副峰对主峰的影响较小，能够提高系统的定时精度。

1 新型Golay 互补序列的设计

由于OFDM 系统对定时偏移较为敏感，应用相关性良好的互补序列可以提高系统的定时精度。因此，本节提出一种新型16QAM Golay互补序列的设计方法，为互补序列在同步中的应用提供了更多的可选序列。

1.1 Golay 互补序列的定义

Golay[14]在1961年首次定义了Golay互补序列，通常采用自相关函数对其进行表征，定义如下：

定义1设序列u=(u0,u1,…,un-1)，其非周期自相关函数为

则称(u0,u1)为Golay互补序列对。

基于上述Golay互补序列对的思想，Tseng[15]提出Golay互补序列集，定义如下。

定义3若有m个长为n的序列(u0,u1,…,um-1)满足：

则称(u0,u1,…,um-1)构成一组Golay互补序列集。

1.2 新型16QAM Golay 互补序列的构造方法

首先，定义一组通过二元序列u0,u1得到十六元序列v0,v1,v2,v3的新型映射方法，如下：

新型16QAM Golay互补序列构造步骤如下：

步骤2利用式（4）所定义的新型映射关系，将序列(u0,u1)进行变换，可得到一组n长16QAM序列集(v0,v1,v2,v3)。

步骤3通过级联将(v0,v1,v2,v3)扩展成长度为2n的序列集(w0,w1,w2,w3)，如下：

定理1如果存在一组n长二元Golay互补序列(u0,u1)，通过式（4）变换得到序列(v0,v1,v2,v3)，则该组序列(v0,v1,v2,v3)为Golay互补序列。

证明：根据自相关函数定义，

因此，

已知(u0,u1)为一组Golay互补序列，根据该序列自相关性质，可得

所以，

综上，(v0,v1,v2,v3)为Golay互补序列。

定理2若有一组n长Golay 互补序列(v0,v1,v2,v3)，则其通过式（6）的级联方法所得到的序列(w0,w1,w2,w3)也为Golay互补序列。

证明：根据自相关函数定义，

同理可得，

因此，

已证(v0,v1,v2,v3)为Golay互补序列，根据定义3可知：

因此，序列(w0,w1,w2,w3)为一组Golay互补序列。

证明：根据序列的自相关特性，

因此，推论成立。

表1对比了部分Golay互补序列的构造方法。现有的一些构造方法所设计的序列长度受限，仅能得到单一长度的序列，而本节提出的Golay 互补序列长度可根据初始序列长度和级联次数的不同，灵活得到多种可选序列。例如：若想得到长为16 的Golay 互补序列，利用本节提出的设计方法，可通过选取初始序列长度分别为2、4、8 的序列，并对应级联3、2、1 次的3种方法生成。另外，若想得到非2次幂长度的Golay互补序列，只需选取长度为非2次幂的初始序列并结合级联就可生成。

表1 Golay 互补序列构造方法对比Tab.1 Comparison of construction methods of Golay complementary sequences

1.3 构造实例

选取长度为4 的二元Golay 互补序列对(u0,u1)，如下：

由式（4），可构造长为4的16QAM Golay互补序列(v0,v1,v2,v3)：

利用推论中的方法，将(v0,v1,v2,v3)级联2次后，可得到长为16的16QAM Golay互补序列

图1 星座图Fig.1 Constellation of sequence

2 新型互补序列在同步技术中的应用

由于OFDM 系统在低信噪比下对定时偏移更为敏感，本节通过对训练序列结构重新进行设计，利用新型16QAM Golay互补序列和CAZAC序列对滑动窗口进行改进，提出一种改进同步算法。

2.1 OFDM 系统同步原理

在含有N个子载波OFDM 系统中，信号采样值为[19]

图2 序列自相关特性Fig.2 Subsequence Autocorrelation Properties

式中：xn表示在第n个子载波上的传输信号；k为采样点。

若信号在接收端完成精准采样，则接收端的第k个采样值为

式中：θ为符号定时偏移；Δfc为归一化后的频率偏移值；n(k)为第k个采样值的加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）；接收信号y(k)由式（28）表示：

式中：L表示信道容量；h(l)为第l个信道的脉冲响应。

基于训练序列的同步算法的定时度量函数M(d)可由式（29）表示：

式中：P(d)表示滑动窗口的相关函数；R(d)表示接收机在滑动窗口d采样点时的能量。

2.2 基于新型互补序列和CAZAC 序列的改进同步算法

本节提出一种基于新型互补序列和CAZAC 序列的改进算法，该算法采用共轭对称结构，将训练序列分，4个部分：[A B*C D*]。其中，A是长度为N/4的互补序列，序列B为A的对称序列，C是长度为N/4的CAZAC序列，序列D为C的对称序列，符号“*”表示共轭运算，CP表示循环前缀，具体结构可表示为：

基于2 组不同的序列，改进算法分别利用2 个不同的滑动窗口进行相关运算。滑动窗口1 设置为互补序列，窗口2 为CAZAC 序列，且两窗口相距N/2。在该算法的窗口滑动过程中，只有当2个窗口同步点的相关值均为最大值时，所对应的才为正确同步点。为方便分析，将序列A，B*，C，D*分别表示为[a b]，[b*a*]，[c d]，[d*c*]，改进算法的滑动相关运算如图4所示：

图4 改进算法的滑动相关运算Fig.4 Sliding correlation operation of proposed algorithm

由于改进算法利用2 个窗口进行滑动相关，根据训练序列的结构特点，该算法将2 个滑动窗口的Pi(d)和Ri(d)分别表示为

图3 改进算法的训练序列结构Fig.3 Training sequence structure of proposed algorithm

改进算法的定时度量函数表示为

式中：Pi(d)表示第i个滑动窗口的相关函数；Ri(d)表示接收机在第i个滑动窗口d采样点时的能量。

根据式（34）可知，当2 个窗口的定时度量函数为非峰值（即Mi（d）≠1）时，根据乘法运算的性质，改进算法的定时度量值接近于0，只有当2个滑动窗口的定时度量函数同时达到最大值时，此时才得到该算法定时度量函数的峰值。

改进算法的同步点置于训练符号起始位置N/4处，故定时同步点的估计值为

3 仿真结果分析

利用MATLAB 对OFDM 系统的几种不同算法：Schmidl 算法、Minn 算法、Park 算法以及改进同步算法，在低信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）下的定时估计曲线和峰值比进行仿真分析。

3.1 低信噪比下的定时估计曲线分析

图5 表示在CP=N/4，SNR=5 dB 条件下，4 种同步算法的定时估计曲线。图5（a）中，Schmidl 算法由循环前缀引起的“平坦区”会导致该算法无法进行准确同步；Minn算法在正确同步点位置附近存在着几乎与主峰等高的副峰，严重时，副峰值可能会超过在正确同步点处的主峰值，无法进行精准同步；在Park算法的定时估计曲线图中，虽然主峰尖锐，但由于循环前缀的存在，该算法的定时估计曲线在正确同步点附近仍会存在多个副峰；而在图5（b）改进算法的定时估计曲线中，几乎无副峰，仅在正确同步点处存在一个十分尖锐的峰值。仿真结果表明，改进算法在低SNR的情况下，主峰完全不会受到副峰的干扰，能够实现精确同步。

图5 4 种同步算法定时估计曲线Fig.5 The Timing Estimation Curves of Four Synchronization Algorithms

3.2 峰值比分析

副峰对主峰的干扰通常是影响OFDM系统正确同步的最主要原因，为直观描述这一特性，现将峰值比定义如下。

定义4将最高副峰幅值与主峰幅值之间的比值定义为峰值比，具体可用式（37）表示：

式中：P1表示最高副峰的幅值；Pm表示主峰的幅值。

图6所示为4种不同的同步算法在AWGN信道，CP=N/8，不同SNR条件下仿真500次时的Pr。从图中可发现，Schmidl算法、Minn算法受训练序列中的重复结构以及循环前缀的影响，其Pr较高；而Park算法虽较前2种算法而言Pr有所降低，但仍明显高于改进算法的Pr。根据式（37）可知，Pr越高，则说明最高副峰的幅值与主峰幅值之间差距越小，反之Pr越低，则说明最高副峰的幅值与主峰幅值相差越大。由此可见，改进算法的副峰对主峰的影响较小，有利于在OFDM系统中完成精准同步。

图6 4 种同步算法的峰值比Fig.6 Peak ratio of four synchronization algorithms

4 结语

由于OFDM系统对定时偏移较为敏感，互补序列因具有良好的相关特性可应用于该系统中。同时，为解决系统在低信噪比下仍存在定时精度差的问题，还需对系统中的同步算法进行改进。为此，本文首先提出一种新型16QAM Golay互补序列的设计方法，然后利用新型互补序列和CAZAC序列提出一种改进同步算法。该算法通过对原有的滑动窗口进行改进，采用2组滑动窗口同时对2组不同的序列进行同步，以此解决系统在低信噪比下对定时偏移更为敏感的问题。仿真结果表明，改进算法较经典同步算法而言，副峰对主峰的干扰较小，能够提高系统的定时精度。