具有间接信号生成和一般Logistic源的趋化模型解的整体有界性

吴顺军，许 璐

(伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊犁 835000)

0 引言

本文讨论一类具有间接信号生成和一般Logistic源的拟线性趋化模型：

(1)

D(u),S(u)∈C2[0,∞),D(u)≥M1(u+1)-m,S(u)≥M2u(u+1)l-1,

(2)

其中，M1,M2>0且m,l∈R.初始值(u0,v0,w0)满足：

u0∈C0(Ω),v0∈w1,∞(Ω),w0∈C1(Ω)且u0,v0,w0≥0.

(3)

(4)

定理1 设Ω∈RN,N≥2，若α>1,μ>0， 并且初始值满足(3)，则存在非负函数(u,v,w)，

注释1 当τ=0,δ=1时，本文与文献[7]定理1的结论一致.

1 预备知识

首先给出解的局部存在性引理.由于解的局部存在性可由Amann’s定理得到，为了简便起见，省略证明过程.

引理1 令Ω⊂RN,N≥2是有光滑边界∂Ω的有界区域，D(u),S(u)满足(2).参数μ,τ,δ>0，初始值满足(3).那么存在Tmax∈[0,∞)，使得模型(1)有唯一经典解(u,v,w).进一步，如果Tmax<∞，则当t→Tmax时，有

引理2 存在t0=t0(λ,μ,u0,Ω)>0，对任意的t∈(t0,Tmax)，使模型(1)的经典解(u,v,w)满足：

(5)

具体证明过程可参考文献[8]引理2.2的证明.

接下来介绍后续证明所用到的基本引理，具体证明过程可参考文献[9-11].

(6)

引理4 设0

(7)

2 解的整体有界性

定理2 设λ,μ>0,α>1且D(u),S(u)满足(2)式，当p>max{1-m,1}时，任意t∈(0,Tmax)，存在C1=C1(p,m,l)>0，C2=C2(p,m,l,α,M1,M2,λ,μ,Ω)>0，使得

(8)

证明 将模型(1)的第一个方程乘以(u+1)p+m-1，并在Ω上积分，对任意t∈(0,Tmax)，可得到

(9)

(10)

整理公式(9)(10)可知，对任意t∈(0,Tmax)，可得到

(11)

通过进一步计算，可以得到

(12)

(13)

其中，C3=C3(p,m,l,α,λ,μ,Ω)>0 ，C3是常数.进一步整理(11)(12)(13)，对任意t∈(0,Tmax)，可得

(14)

其中，C4=C4(p,m,l,α,λ,μ,Ω)>0 .进一步，由Young不等式可得

(15)

其中，C5=(p,m,l,α)>0.整理式(14)(15)得到(8).

定理3 设δ,τ>0，对任意s∈(0,Tmax)，ε∈(0,δ)，存在C6=C6(p,m,l,δ,ε)>0，使得

(16)

证明 将模型(1)的第三个方程乘以wp+m+l并在Ω上积分，再通过Young不等式即可得到上式.

(17)

证明 由引理1可知，当t>0时，模型(1)的经典解(u,v,w)有

(18)

由引理3可知，模型(1)的第二个方程对任意的t>t0，存在C，使得

(19)

接下来为了方便计算，令

(20)

(21)

当C9<0时，进一步整理可得

(22)

再由Young不等式得到

(23)

(24)

其中，C12=C12(p,m,l,λ,μ,Ω)>0，C13=C13(p,m,l,λ,μ,τ,δ,ε,Ω)>0.

整理公式(8)(23)(24)可得

(25)

其中，C14=C14(p,m,l,λ,μ,M1,M2,τ,δ,ε,Ω)>0.

对(25)运用常数变易法,并将(19)(22)代入可得

(26)

对任意t>t1>t0，有

(27)

再由标准的Alikakos-Moser迭代就完成了定理1的证明.