十年高考全国卷导数解答题综述与教学建议

陕西省汉中中学 刘再平 （邮编：723600）

1 导数解答题的内涵与特征

1.1 导数解答题的内涵

导数解答题就是将导数知识与其它知识（如不等式等）交融在一起命制的一类综合问题，主要考查学生对导数知识的灵活运用能力、代数变形能力、迁移能力、信息分析与整合能力、数学思想方法的运用能力以及利用高阶数学思维解决疑难问题的能力等[1]. 一般来说，导数解答题在高考数学试卷中的位置靠后，难度比较大，充当着压轴题的重要角色，此类试题承担着为高校选拔优秀人才的甄别功能，注重以教材为依据，从系统、整合与创新的视角立意，突出知识间的相互交叉、联系与综合，在考查学生技能迁移、问题解决和创新能力等素养的同时，也对学生不怕困难、深入思考、顽强探索的意志品质和数学精神要求也较高，突出了“数学在育人心智”方面的重要功能.

1.2 导数解答题的特征

(1)难度特征. 近十年全国卷导数解答题的难度系数一般不超过0.4，若位于倒数第二题，那么难度系数一般在0.3 左右，若位于最后一题，则难度系数一般在0.2 左右，偶尔也不排除其难度系数在0.2 以下的难题，具体难度还与整套试卷的试题分布等因素有关.

(2)选拔特征. 导数解答题很容易拉开学生之间的差距，区分度明显，具有很好的选拨功能，导数解答题的区分功能主要表现为该类试题的灵活性与思维性等.

（3）思想特征. 导数解答题之所以能扮演压轴的角色，与其对数学思想的要求较高有关系，导数解答题中常考的构造思想、化归思想与分类思想等都是高中数学的重点与难点[2].

(4)逻辑思维特征. 数学科目承担着培养学生思维能力的主要任务，数学思维的核心是逻辑思维，由于导数解答题需要深入的剖析、复杂的运算、巧妙的转化等，所以其对数学逻辑思维能力要求很高.

（5）综合特征. 导数解答题往往不是基于某个知识点独立命制而成，而是经常将函数单调性、导数几何意义、函数零点、函数极值、函数最值、不等式等多个知识交汇，综合考查学生的问题解决能力.

（6）创新特征. 为了突出导数解答题的难度与选拔功能，所以命制时就需要在试题的创新性上下功夫，不仅将导数与不等式、三角、数列等内容融合，而且设问的方式新颖，结构和谐等.

（7）探究特征. 导数解答题的探究特征主要体现在试题的来源可寻、解法多样、可类比探究、多角度拓展等方面，如：2020 年全国II 卷理科导数压轴题的来源可寻、解法丰富[3].

（8）深刻特征. 导数解答题的深刻性不仅体现在解答时需要深度思考，更重要的是很多导数解答题具有深刻的高等数学背景，如：2017 年全国卷II 文科压轴题蕴含着洛必达法则背景、2018年全国卷III 理科压轴题蕴含着邻域背景等.

(9)公平性特征. 近十年全国卷导数解答题极少出现与平时相似度很高的试题，且试题的设问由简单到复杂，层层递进，学生的解答入口宽，能适应全国不同考生的需求，体现了高考试题命制的公平性与人文关怀.

2 导数解答题的考情统计与分析

2.1 导数解答题的位置与难度分析

近十年（2012－2021 年）全国卷高考数学导数解答题的位置统计，如下表：

表1 导数解答题的位置统计

从上表可获得以下结论：

近十年全国卷共51 套试卷，导数解答题每套命制一道，近十年全国卷一共命制了51 道，不论新旧高考，这些导数解答题只出现在两个位置上，即试卷最后一题和倒数第二题，具体来说，新高考实施两年间，共3 道导数解答题，其中2 道在最后的压轴题位置上，有1 道位于倒数第二题.旧高考十年间，共48 道导数解答题，位于最后一题压轴位置的有37 道，占77%，位于倒数第二题的有11 道，占23%，其中旧高考十年理科导数解答题共计24 道，位于最后一题压轴位置的有20道，占83%，位于倒数第二题的有4 道，仅占17%. 旧高考十年文科导数解答题也有24 道，位于最后一题压轴位置的有17 道，占71%，位于倒数第二题的有7 道，占29%. 总的来说，导数解答题主要扮演着近十年全国卷高考数学压轴的角色，且理科的考查难度比文科更大，然而2019 和2020 两年的全国卷文理科共13 道压轴题有7 道变为了圆锥曲线试题，即压轴题也有突破常规的趋势，不容忽视.

2.2 导数解答题的考点分析

近十年（2012－2021 年）全国卷高考数学导数解答题的考点统计，如下表：

表2 导数解答题的考点统计

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从上表可获得以下结论：

十年全国卷导数解答题主要考查了函数单调性、导数几何意义、极值、最值、零点与值域这六个核心知识点，其中函数的单调性是每年直接或间接必考查的内容，近十年51 道导数解答题有28 道的第（1）问就直接要求求解函数的单调性，占55%，其余23 道虽没直接设问，但必须通过研究函数的单调性才能继续解决后续问题，所以也间接的考查了函数的单调性. 函数的零点是第二高频考点，近十年有20 道题考查，函数的最值、极值与导数的几何意义（切线方程）分别有16 道、14道和13 道题考查，函数的值域一般与函数的最值综合，所以单独考查的次数较少. 综上所述：函数的单调性、零点、最值、极值与导数的几何意义是倍受命题人青睐的五大核心考点，要引起重视.

就其综合性而言，近十年全国卷51 道导数解答题没有一道题孤立考查某一个知识点，都将导数知识与其它知识交汇，具体而言导数常与不等式、绝对值、数列、三角等知识交汇命题，其中与不等式综合命制的试题最多，达32 道，占近十年全国卷导数解答题的63%，这与不等式综合问题的解答套路少、试题思维性高、区分度好、公平性强等因素有关.

2.3 导数解答题对数学思想的考查分析

数学思想是数学的精髓，数学思想与数学方法是两个不同的概念. 数学方法是指从数学角度发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中所采取的各种方式、手段与途径等，主要包括换元、消元、放缩等. 而数学思想是对数学知识的本质认识，是从具体的数学认知过程中提炼上升的观点，数学思想具有普遍的指导意义，是构建数学和解决数学问题的指导思想. 近十年全国卷导数解答题所涉及的主要数学思想有五种：化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想、函数与方程思想，具体统计与分析请参笔者拙文[2]，下面对其进行简要的分析.

首先，近十年全国卷51 道导数解答题都对数学思想有考查，具有普遍性. 希望能引起高三师生的重视；

其次，近十年全国卷导数解答题对化归、函数与方程、构造、分类与数形结合五种数学思想的要求较高. 具体来说，对构造思想和化归思想的考查最频繁，都达到40 道，占78%，构造思想最常见的是构造辅助函数，构造方法一般有：整体构造、局部构造、多重构造、和差构造、变参分离构造等. 化归思想是指将一个待解决的疑难问题通过变形，归结为在已有经验内可解决的问题的方法，又称为转化与化归思想，化归思想的实质是揭示问题之间的关系，从而实现其转化. 对分类思想、函数与方程的考查也比较频繁，分别达到36 道和33 道，其中常见的分类讨论标准有：判别式讨论、根的大小比较、定轴动区间型与动轴定区间型等. 数形结合虽然要求稍低，但也查考了32 次，占63%.

最后，近十年全国卷导数解答题在数学思想的考查上也具有综合性，具体来说单独考查某一种数学思想的试题只有2 道，仅占4%，有49 道都综合考查了多种数学思想，其中综合考查三种及以上数学思想的试题达到43 道，占84%，这说明导数解答题不仅在知识的考查上具有综合性，而且在数学思想的考查上综合性更强.

3 导数解答题的解决策略

将近十年全国卷高考数学51 道导数解答题全部解答一遍后，不难发现导数解答题主要有以下八种解决策略：（1）立足基本概念与性质，运用通性通法解决；（2）关注试题结构，换元构造函数解决；（3）注重函数图像，运用数形结合解决；（4）找准分类标准，运用分类讨论解决；（5）运用三种分离，解决导数解答题；（6）合理放缩与转化，解决导数解答题；（7）运用思维导图，解决导数解答题；（8）结合高等数学知识，解决导数解答题，这些策略是众多一线教师和期刊经常探讨的主题[4]，这里不做过多獒述.

4 导数解答题的教学建议

提高导数解答题教学的有效性是学生在高考中取得理想成绩的重要保障，那么在日常教学中如何提高其教学的有效性呢？下面结合自身教学实践，提出一些拙见，供商榷.

4.1 转变教学理念，培养意志品质

在导数解答题的教学中，存在着教师少讲，学生浅尝辄止的功利性现象，究其原因是从高考角度考虑，除导数解答题的压轴问外，还剩下140多分的试题，做好这些题，高考数学成绩也不会差. 长期渗透这样的理念会使得学生慢慢养成逃避困难的不良习惯，久而久之也会失去探索导数解答题的兴趣与信心，变得十分畏惧. 所以教师要转变教学理念，调整学生心态，摒弃急功近利的浮躁心理，通过恰当铺设、启发学生思考、鼓励学生探究，静等学生思维之花慢慢绽放，虽不是每位学生都能学精，但教师内心要向往之. 对此，日本数学家米山国藏有一段很经典的阐述：作为学科知识的数学在学生进入社会之后不到几年就遗忘了，但是数学的精神和思想等一直会深深的刻在人们的脑海中，这些在人们日后的学习、生活与创业中经常发生积极的功效，让人受益终身. 所以教师不要把学生的分数作为数学教学的唯一追求，更关键的是要发挥数学在育人心智方面的重要功能，引导学生赢得未来和人生.

4.2 夯实导数双基，掌握通法和必要的巧法

导数双基是解决导数解答题的核武器，特别要夯实函数的单调性，因为函数的单调性是解决函数的极值、最值、零点、函数与不等式等问题的工具与通法，而这些也是高考导数解答题的核心考点，当然在追求通性通法的同时也要扎实掌握一些解答导数解答题的必要技巧，如换元法、函数分离、变参分离、常数分离、渐近线的分析等，因为这些技巧也是快速与准确解答导数解答题的重要保障.

4.3 在一题多解时，注重多题归一与优解辨析

由于导数解答题具有灵活性和探究性，所以不论高考还是日常教学中，该类题目的解答方法都比较丰富，有的专业数学期刊也经常刊登有关导数解答题的教学案例，有的导数解答题的解法竟然多达几十种，一题多解确实对学生问题解决能力和数学思维能力的提高有所帮助，然而数学解题教学不能野蛮生长，也不是每种解法都贴切学生的知识储备与认知范畴，所以教师在导数解答题的教学中要有意识的引导学生开展多题归一与优解辨析活动. 如此不但能培养学生解答导数解答题的效率，也能培养的数学思辨能力.

4.4 注重审题，善于归纳、联系、迁移与转化

良好的审题习惯是成功解题的开端，审题不仅要思考题目中的已知条件是什么，条件是否充分，有什么隐含信息，未知条件是什么，已知条件与所求结论之间有什么关联，能否用所学的知识与技能解决它，更重要的是要善于联系，思考曾经是否遇到过同类型问题，它们之间有什么区别，能否将已积累的经验迁移过来解决此题，如果不能，那么能否转化为自己认知范畴内熟悉的问题或引入一些已有的元素或模型来解决它. 这些都是审题时要引起学生重视的关键，然而解题结束后对解题经验的沉淀与归纳很有必要的，这样可以为后续解题做好经验上的铺垫. 如隐零点问题在全国卷导数解答题中频繁出现，然而解答情况还是不乐观，究其原因是很多学生顾及了解题的数量，没有重视其反思与归纳：①隐零点问题往往需要找点后运用零点存在性定理，找点至少需要遵守小范围和便于计算原则；②隐零点往往是函数的极值点，运用极值点处的导数值为零经常实施巧妙的代数变形，使得问题柳暗花明.

4.5 重视数学思想的渗透

数学思想是数学内容的精髓，是解决数学问题的指导思想和普遍适用的方法，是铭记在人们头脑中起着积极作用的态度、观点、精神和文化.若淡化数学思想，那么学生就难以体会到数学的精髓与魅力. 在导数解答题教学中要有意识的渗透化归、分类、函数与方程、构造和数形结合五种思想，特别是化归思想，因为它在日常导数教学中容易被忽视. 那么，如何渗透这些数学思想呢？要重视数学概念课和章末复习课，因为数学概念的生成往往渗透着数学思想，章末复习课不仅仅是组织学生做大量习题，而是要突出其两个核心功能：一是构建本章节知识的思维联系，二是渗透数学思想.

4.6 恰当拓展导数知识的深度和广度

将中等数学或高等数学里的一些简单知识下放到高考导数解答题中已是屡见不鲜，这也是一些专家命制高考导数压轴题的重要方法，因而一些全国卷导数解答题具有鲜明的初等与高等数学背景，所以教师在实际教学中要合理利用选修课等时间，对洛必达法则、微积分中值定理、泰勒展开式等导数知识的深度与广度展开拓展教学，以帮助学生更好的理解导数解答题的本质，提高导数解答题的解决能力.

4.7 引导学生探究，关注解题思维历程，促进深度学习

章建跃先生多次提出“题型+技巧”的解题教学模式危害甚多，可以休矣！然而，在导数解答题的教学中如何才能避免“题型+技巧”的不良教学模式呢？精选典型问题，做好预设铺垫，引导学生积极思考探究，暴露其思维历程，促进深度学习是掌握解答导数解答题的好方法，因为解题教学的本质是数学的生成，而不仅是带有功利色彩的“规则的暴力重复“或“技巧的野蛮执行“，然而拓展探究对于学生来说并非易事，如何引导学生展开对导数解答题的探究呢？章建跃先生提出的如下探究“基本套路”，值得借鉴[5].

按上述逻辑经过长时间探究熏陶，学生就会在潜移默化中养成一种深入思考、乐于探究的好习惯，如此不仅能培养学生的高阶数学思维，更能提高其解决导数压轴题的硬实力.

4.8 关注函数与不等式综合问题

近十年全国卷51 道导数解答题中，多达32道是导数与不等式综合题，不等式不仅仅是计算与证明的工具，也常与函数的单调性、极值、最值产生深层的联系，不等式问题也能转化为函数的极值与最值问题，此外导数与不等式综合问题的解答套路少，灵活性好，对学生创造性数学思维要求高，区分度好，公平性强，倍受命题者的青睐，所以在日常的导数解答题教学中要特别关注函数与不等式综合问题.