值制思想在小学数学中的渗透

王雪茹

摘 要：目前通行的记数方法采用 10 进位值制原理。 其中的 10 进制受自然条件影响而成， 但位值制却是主观的产物。 本文探讨位值制的含义以及位值制思想在小学数学教学中如何渗透的。

关键词：位值制;位值思想

目前记数使用的印度——阿拉伯数码采用 10进位值制原理。 其中的 10 进制受自然现象影响而成， 公认它与人生有 10 指有关;而位值制却是主观的产物。 回顾记数法的历史可以发现， 位值制在记数中的重要性远远大于 10 进制， 曾被数学史家比喻为字母在文字中的重要性 〔1〕 。 位值的表现方式是多方面的， 其形成过程也是漫长的。 本文探讨位值思想在小学数学教学中如何渗透的。

一、位值的含义

记数法中的位值思想是指数码符号不仅有其本意表示的数目大小， 还要依靠它所在的位置决定该数码在整个数目中的确切数值。 例如印度——阿拉伯数码121， 右边的数码1 表示数1， 中间的2 因在10位上而表示 20， 左边同样一个数码 1因在百位上就表示100。 每位数码之间用加法组合， 整个数目表示一百二十一。 又如罗马数码Ⅳ， 右边的Ⅴ表示 5， 左边的Ⅰ表示-1， 数码之间也用加法组合， 整个数目表示 4。现在通行的印度——阿拉伯数码采用 10 进位值制记数法 ， 任何一个自然数都可以表示成  的形式。10 叫做进位基数， 是 1， 2， …， 9， 0 这 10 个数码中的某一个。 所谓位值制就是在书写时省去 10 的乘幂与加号。 如上述 121 是的简写。 其特点是只用这 10 个数码便可将任何自然数表示出来。 从右边算起， 数码所在的位置依次称为个位， 十（10）位， 百（10 2 ）位等等。 一个数码表示什么数值， 要看它在什么位置上， 这就是“ 位值”（placevalue 或 positional value）的含义。古代记数法中采用位值制的主要有巴比伦楔形文字记数法， 玛雅记数法， 中国的算筹记数法和印度——阿拉伯数码记数法。 其中巴比伦采用 60 进位记数， 玛雅有 20 进位和 18 进位混用记数， 中国算筹和印度——阿拉伯数码都用 10 进位。 玛雅人记数自下而上进行， 最下面是个位， 越往上位数越高;其余的位值制记数法都是自右向左位数依次增大。 虽然进位基数和数码排列方式不尽相同， 但在位值的含义上都一致， 这反映了人类数学发展的共性。

二、位值思想在教学中的渗透

1.实物模型培养数感，形成初步的位值观念。

师：我们除了能摆小棒，还能通过拨珠子再来认

识 13，你们会拨吗？

问：你们都这样摆了 13 个珠子，有没有什么好摆法让我很快看出是 13。生不同摆法：

通过动手操作和建立模型为后面进一步学习数位顺序表做铺垫。

师：咱们一起来看这个同学的：4 个珠子就能表示13？

师：这一个珠子表示多少？

生：10。

师：不就是一颗珠子吗？怎么表示 10？

生：这颗珠子在十位上。

师：十位，谁还听说过十位？十位上的珠子表示什么？

生：十位上的珠子表示 10，20，30……几个十。

师： 这是哪一位？

生：个位

师：个位又表示什么呢？

生：表示 3 个一，4 个一……几个一。

采用不同样式其目的就是让学生感受，同样的珠子放在不同的小位置表示的大小就不同，初步感受位值制。

师：13 里面十藏在哪？其它数里有十吗？你能指一指吗？

生：指一指，认一认。

师：让我们再来一起读读 11—20 这些数。这次的读让我听出了你们和和刚才的读有所不同。我相信你们一定对这些数有了新的认识，对吗？

让学生真正感受到数位产生给我们带来的方便，从而认识到知识形成的必要性。认识 11- 20 各数是学生建立数位概念的重要知识点之一。学生借助生活经验，对于 11- 20 各數的读法、写法具备了一定的认知基础。但对“位值”的认识还很模糊，大多数学生不理解“位值原理”。同时数概念本身也是非常抽象的，学生在理解上会有一定的难度。因此在教学中，为学生提供了充分的可感知的现实背景。设计了通过多种实物模型，直观建立数的表象的教学环节。让学生在观察、操作、活动的过程中体会数的意义，加深对数的概念理解。希望学生能通过在课堂教学活动中经历概念的形成过程，经历将具体问题“数学化”的过程，使内在的思维外化，培养学生的数感，让学生感悟数位之间的关系，形成一定的数学思想方法。

2.在数数中认识数的意义，体会“十”与“百”的关系。

（教师请学生在桌子上摆出 26 个小圆片，要求摆完以后一看就是 26 个）

师：（展示一个学生的作品）能一下看出是 26 吗？ 你们看她请谁来帮忙？ 对，请“ 10 ”朋友来帮忙，这是 10 个，这是 10 个，这是 6 个，就能很快看出这是 26 个。 26 是由个十和几个一组成的？

（教师指导学生在 26 的基础上继续一个一个地数，边操作边数数）

师： 39 再添上 1 是多少？ 40 里面有几个十？ 39 后面是几？ 49 呢？ 79 呢？ 99 呢？ 99 再添上 1 就是 100

3.积累数学活动经验，帮助学生感受“满十进一”

我想考验大家一下：我们就这样一堆一堆地摆， 100 里面有几

个十呢？：刚才我们在计数器上拨好了 999，如果再拨 1 颗珠子，会是多少呢？

生 3 ：1000。

师：请你在计数器上试着拨一拨，看看发现了什么。

生 4 ：千位上有 1 颗珠子。

师：为什么只要在千位上拨 1 颗珠子就可以了呢？

生 4 ：在 999 的个位上拨 1 颗珠子，个位满十向十位进一，所以个位上是 0;十位上的 9 加 1 等于 10，满十向百位进一，所以十位上是 0;同理，百位满十向千位进一，以百位上是 0，千位上是 1。

师：那 1000 里面有几个百，又有几个十，又有几个一呢？

生 5 ：1000里面有10个100，100个10，1000个1。

在这个教学片段中，渗透了位值制概念，凸显了从百到千的位值制，强化了“满十进一”的道理，让学生体会相邻计数单位之间的十进制关系，经历“再创造”的学习过程。

英国著名科技史专家李约瑟博士评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。